ecuación diferencial de Darboux

En matemáticas, una ecuación diferencial se denomina ecuación diferencial de Darboux si satisface la forma

$M(x,y)dx-L(x,y)dy+N(x,y)(xdy-ydx)=0$ . ^{[ 1 ]}

dónde $M(x,y)$ , $L(x,y)$ y $N(x,y)$ son polinomios de $x$ y $y$ .

La forma explícita de esta ecuación es

$y'(x)={\frac {yN(x,y)-M(x,y)}{xN(x,y)-L(x,y)}}$ . ^{[ 2 ]}

que, en comparación con la forma antes mencionada, también puede incluir puntos de equilibrio , que deben satisfacer lo siguiente:

${\begin{cases}yL(x,y)-xM(x,y)=0\\L=xN(x,y)\end{cases}}$

La solución

Caso general

Fuente: ^{[ 1 ]}

Dado que la ecuación de Darboux es, en efecto, la generalización de la ecuación de Riccati , su solución, en general, no puede hallarse mediante cuadraturas. La ecuación de Darboux puede resolverse en casos muy específicos donde se requiere una cierta cantidad de soluciones polinómicas irreducibles particulares . ${\check {P}}_{i}(x,y)$ , $1\leqslant i\leqslant p$ se encuentran. Deje $m=\max(\deg M,\deg L,\deg N)$ .

Caso 1.

Si $p\geqslant {\frac {1}{2}}m(m+1)+2$ , la solución general tiene la forma de $u(x,y)=C$ , dónde $u(x,y)=\prod _{i=1}^{p}{g(x,y,z)^{\alpha _{i}}}$ , $g_{i}(x,y,z)={\check {P}}_{i}\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)z^{\deg {\check {P}}_{i}}$ , $\alpha _{i}$ son constantes que deben determinarse y variables $z$ En este producto desaparece.

Caso 2.

Si $p={\frac {1}{2}}m(m+1)+1$ La ecuación de Darboux permite encontrar el factor integrante . Este factor tiene la forma exacta, como se muestra a continuación. $u(x,y)$ arriba.

Caso homogéneo.

Si tres polinomios $M(x,y)$ , $L(x,y)$ y $N(x,y)$ resultan ser homogéneos y $M(x,y)$ con $L(x,y)$ son del mismo grado, la solución exacta puede expresarse y hallarse en cuadraturas. ^{[ 2 ]}

Denotar $\grados M=\grados L=k$ , $\deg N=n$ .

Caso, donde $k-n=1$ , hace que toda la ecuación sea homogénea .

En cualquier otra situación sustituyendo $y(x)=xt(x)$ conduce a la ecuación de tipo Bernoulli sobre la función inversa $x=x(t)$ .

Desde $M(x,y)$ , $L(x,y)$ y $N(x,y)$ son homogéneos con grados $k$ , $k$ y $n$ respectivamente, existen polinomios $\mu (t)$ , $\lambda (t)$ y $\nu (t)$ , como

$M(x,y)=x^{k}\mu \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{k}\mu (t)$ , $L(x,y)=x^{k}\lambda \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{k}\lambda (t)$ , y $N(x,y)=x^{n}\nu \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{n}\nu (t)$ .

Al juntarlo todo se obtiene $xt'(x)={\frac {x^{n+1}t\nu (t)-x^{k}\mu (t)}{x^{n+1}\nu (t)-x^{k}\nu (t)}}-t={\frac {x^{k}{\big (}\lambda (t)-\mu (t){\big )}}{x^{n+1}\nu (t)-x^{k}\lambda (t)}}={\frac {\lambda (t)-\mu (t)}{x^{n+1-k}\nu (t)-\lambda (t)}}$ .

Si $k-n=1$ la ecuación resultante es separable , mientras que en cualquier otro caso, según la regla de la función inversa ,

$x'(t)+{\frac {\lambda (t)}{\lambda (t)-\mu (t)}}x(t)={\frac {\nu (t)}{\lambda (t)-\mu (t)}}{\big (}x(t){\big )}^{n+2-k}$ .

Esta última es la ecuación de Bernoulli, que siempre es integrable en cuadraturas.

Ecuación generalizada de Darboux

La ecuación diferencial se denomina ecuación de Darboux generalizada (homogénea) ^{[ 3 ]} si tiene la forma de

$\phi \left({\frac {y}{x}}\right)dx+\psi \left({\frac {y}{x}}\right)dy+x^{k}\chi \left({\frac {y}{x}}\right)(xdy-ydx)=0$

donde funciona $\phi ({\frac {y}{x}})=\phi (t)$ , $\psi ({\frac {y}{x}})=\psi (t)$ y $\chi ({\frac {y}{x}})=\chi (t)$ son arbitrarios.

Se puede reducir a la ecuación de Bernoulli siguiendo el mismo enfoque mencionado anteriormente. Sustituyendo $y(x)=xt(x)$ conduce a la ecuación

${\big (}\phi (t)+t\psi (t){\big )}dx+{\big (}x\psi (t)+x^{k+2}\chi (t){\big )}dt=0$

o en la forma explícita

$x'(t)+{\frac {\psi (t)}{\phi (t)+t\psi (t)}}x(t)+{\frac {\chi (t)}{\phi (t)+t\psi (t)}}{\big (}x(t){\big )}^{k+2}=0$

que es separable si $k=-2$ o la ecuación de Bernoulli sobre $x=x(t)$ de lo contrario.

Véase también

Referencias

1 2 Ince, Edward Lindsay (1956). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Libros de Dover sobre matemáticas avanzadas. Nueva York: Dover. págs. 29–32 . ISBN 978-0-486-60349-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
1 2 "Ecuación de Darboux - Enciclopedia de Matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Consultado el 15 de marzo de 2025 .
^ Losev, Dimitry Vitalievich (24 de febrero de 2025). "Уравнения Якоби и Дарбу" [ Las ecuaciones diferenciales de Jacobi y Darboux ] . Youtube (Vídeo) (en ruso) . Consultado el 16 de marzo de 2025 .

[:0-1] 1 2 Ince, Edward Lindsay (1956). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Libros de Dover sobre matemáticas avanzadas. Nueva York: Dover. págs. 29–32 . ISBN 978-0-486-60349-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[:1-2] 1 2 "Ecuación de Darboux - Enciclopedia de Matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Consultado el 15 de marzo de 2025 .

[3] Losev, Dimitry Vitalievich (24 de febrero de 2025). "Уравнения Якоби и Дарбу" [ Las ecuaciones diferenciales de Jacobi y Darboux ] . Youtube (Vídeo) (en ruso) . Consultado el 16 de marzo de 2025 .

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