Espacio De Branges

En matemáticas , un espacio de De Branges (a veces escrito espacio de De Branges ) es un concepto en análisis funcional y se construye a partir de una función de De Branges .

El concepto recibe su nombre de Louis de Branges, quien demostró numerosos resultados relacionados con estos espacios, especialmente como espacios de Hilbert , y utilizó esos resultados para demostrar la conjetura de Bieberbach .

Una función de Hermite-Biehler , también conocida como función de Branges, es una función completa E desde${\displaystyle \mathbb {C} }$a${\displaystyle \mathbb {C} }$que satisface la desigualdad${\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}$para todo z en la mitad superior del plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$.

Dada una función de Hermite-Biehler E , el espacio de de Branges B ( E ) se define como el conjunto de todas las funciones enteras F tales que ^{[ 1 ]}

${\displaystyle B(E)={\bigg \{}F{\text{ es entero }}{\bigg |}{\frac {F}{E}},{\frac {F^{\#}}{E}}\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+}),\int _{\mathbb {R} }{\bigg |}{\frac {F(\lambda )}{E(\lambda )}}{\bigg |}^{2}\mathrm {d} \lambda <\infty {\bigg \}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$es la mitad superior abierta del plano complejo.
• ${\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}$.
• ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$es el espacio Hardy habitual en el semiplano superior abierto.

Un espacio de De Branges también puede definirse como el conjunto de todas las funciones enteras F que satisfacen todas las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}d\lambda <\infty }$
• ${\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}$

También existe una descripción axiomática, útil en la teoría de operadores.

Dado un espacio de Branges B ( E ) . Defina el producto escalar: $${\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {d\lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}.}$$

Se puede demostrar que un espacio de De Branges con un producto escalar de este tipo es un espacio de Hilbert .

• Christian Remling (2003). "Teoría espectral inversa para operadores de Schrödinger unidimensionales: la función A". Math. Z . 245 (3): 597– 617. doi : 10.1007/s00209-003-0559-2 .