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onda de materia

Las ondas de materia son una parte fundamental de la teoría de la mecánica cuántica , constituyendo la mitad de la dualidad onda-partícula . En todas las escalas donde las medic...

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Las ondas de materia son una parte fundamental de la teoría de la mecánica cuántica , constituyendo la mitad de la dualidad onda-partícula . En todas las escalas donde las mediciones han sido factibles, la materia exhibe un comportamiento ondulatorio . Por ejemplo, un haz de electrones puede difractarse igual que un haz de luz o una onda de agua.

El concepto de que la materia se comporta como una onda fue propuesto por el físico francés Louis de Broglie ( / d ə ˈ b r ɔɪ / ) en 1924, por lo que las ondas de materia también se conocen como ondas de De Broglie .

La longitud de onda de De Broglie es la longitud de onda , λ , asociada a una partícula con momento p a través de la constante de Planck , h : λ=hpag.{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}

El comportamiento ondulatorio de la materia se ha demostrado experimentalmente, primero para los electrones en 1927 (de forma independiente por Davisson y Germer y George Thomson ) y más tarde para otras partículas elementales , átomos neutros y moléculas .

Las ondas de materia presentan relaciones de velocidad más complejas que los objetos sólidos y también difieren de las ondas electromagnéticas (luz). Las ondas de materia colectivas se utilizan para modelar fenómenos en la física del estado sólido; las ondas de materia estacionarias se emplean en química molecular.

Los conceptos de ondas de materia se utilizan ampliamente en el estudio de materiales, donde se aprovechan las diferentes longitudes de onda y características de interacción de electrones, neutrones y átomos para tecnologías avanzadas de microscopía y difracción.

Historia

Fondo

A finales del siglo XIX, se creía que la luz consistía en ondas de campos electromagnéticos que se propagaban según las ecuaciones de Maxwell , mientras que se pensaba que la materia consistía en partículas localizadas (véase la historia de la dualidad onda-partícula ). En 1900, esta división fue cuestionada cuando, al investigar la teoría de la radiación del cuerpo negro , Max Planck propuso que la energía térmica de los átomos oscilantes se divide en porciones discretas, o cuantos. [ 1 ] Ampliando la investigación de Planck de varias maneras, incluyendo su conexión con el efecto fotoeléctrico , Albert Einstein propuso en 1905 que la luz también se propaga y absorbe en cuantos, [ 2 ] : 87 ahora llamados fotones . Estos cuantos tendrían una energía dada por la relación de Planck-Einstein : mi=hν{\displaystyle E=h\nu } y un vector de momentopag{\displaystyle \mathbf {p} }|pag|=pag=mido=hλ,{\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},} donde ν (letra griega minúscula nu ) y λ ( letra griega minúscula lambda ) denotan la frecuencia y la longitud de onda de la luz respectivamente, c la velocidad de la luz y h la constante de Planck . [ 3 ] En la convención moderna, la frecuencia se simboliza con f, como se hace en el resto de este artículo. El postulado de Einstein fue verificado experimentalmente [ 2 ] : 89 por KT Compton y OW Richardson [ 4 ] y por AL Hughes [ 5 ] en 1912, incluyendo más cuidadosamente una medición de la constante de Planck en 1916 por Robert Millikan . [ 6 ]

Hipótesis de De Broglie

Propagación de ondas de De Broglie en una dimensión: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como la opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto x dado se distribuye como una onda; no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la pendiente disminuye, por lo que la amplitud disminuye de nuevo, y viceversa. El resultado es una amplitud alternante: una onda. Arriba: onda plana . Abajo: paquete de ondas .

Cuando concebí las primeras ideas básicas de la mecánica ondulatoria entre 1923 y 1924, me guiaba el objetivo de realizar una síntesis física real, válida para todas las partículas, de la coexistencia de los aspectos ondulatorios y corpusculares que Einstein había introducido para los fotones en su teoría de los cuantos de luz en 1905.

— de Broglie [ 7 ]

De Broglie , en su tesis doctoral de 1924, [ 8 ] propuso que, así como la luz posee propiedades tanto ondulatorias como corpusculares, los electrones también poseen propiedades ondulatorias. Su tesis partió de la hipótesis de que a cada porción de energía con una masa propia m₀ se le puede asociar un fenómeno periódico de frecuencia ν₀ , de modo que se cumple: hν₀ = m₀c² . La frecuencia ν₀ debe medirse, por supuesto, en el sistema de referencia del paquete de energía. Esta hipótesis es la base de nuestra teoría. [ 9 ] [ 8 ] : 8 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] ( Esta frecuencia también se conoce como frecuencia de Compton ) .

Para hallar la longitud de onda equivalente a un cuerpo en movimiento, de Broglie [ 2 ] : 214 establece la energía total de la relatividad especial para ese cuerpo igual a h ν : mi=metrodo21−v2do2=hν{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu }

(La física moderna ya no utiliza esta forma de energía total; la relación energía-momento ha demostrado ser más útil). De Broglie identificó la velocidad de la partícula,v{\displaystyle v}, con la velocidad de grupo de la onda en el espacio libre: vgramo≡∂ω∂k=dνd(1/λ){\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}

(La definición moderna de velocidad de grupo utiliza la frecuencia angular ω y el número de onda k ). Al aplicar los diferenciales a la ecuación de energía e identificar el momento relativista : pag=metrov1−v2do2{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

Luego, integrando, de Broglie llegó a su fórmula para la relación entre la longitud de onda , λ , asociada con un electrón y el módulo de su momento , p , a través de la constante de Planck , h : [ 14 ]λ=hpag.{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}

ecuación de onda (de la materia) de Schrödinger

Siguiendo las ideas de De Broglie, el físico Peter Debye comentó casualmente que si las partículas se comportaban como ondas, deberían satisfacer algún tipo de ecuación de onda. Inspirado por la observación de Debye, Erwin Schrödinger decidió encontrar una ecuación de onda tridimensional adecuada para el electrón. Se guió por la analogía de William Rowan Hamilton entre la mecánica y la óptica (véase la analogía óptico-mecánica de Hamilton ), codificada en la observación de que el límite de longitud de onda cero de la óptica se asemeja a un sistema mecánico: las trayectorias de los rayos de luz se convierten en trazas nítidas que obedecen al principio de Fermat , un análogo del principio de mínima acción . [ 15 ]

En 1926, Schrödinger publicó la ecuación de onda que ahora lleva su nombre [ 16 ] —el análogo de onda de materia de las ecuaciones de Maxwell— y la utilizó para derivar el espectro de energía del hidrógeno . Las frecuencias de las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista difieren de las ondas de De Broglie por la frecuencia de Compton, ya que la energía correspondiente a la masa en reposo de una partícula no forma parte de la ecuación de Schrödinger no relativista. La ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal de una función de onda , una función que asigna un número complejo a cada punto del espacio. Schrödinger intentó interpretar el módulo al cuadrado de la función de onda como una densidad de carga. Sin embargo, este enfoque no tuvo éxito. [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] Max Born propuso que el módulo al cuadrado de la función de onda es, en cambio, una densidad de probabilidad , una propuesta exitosa ahora conocida como la regla de Born . [ 17 ]

Densidad de probabilidad en el espacio de posiciones de un estado inicialmente gaussiano que se mueve en una dimensión con un momento constante y mínimamente incierto en el espacio libre.

Al año siguiente, en 1927, C.G. Darwin (nieto del famoso biólogo Charles Darwin ) exploró la ecuación de Schrödinger en varios escenarios idealizados. [ 20 ] Para un electrón no ligado en el espacio libre, calculó la propagación de la onda, asumiendo un paquete de ondas gaussiano inicial . Darwin demostró que en el tiempot{\displaystyle t}más tarde la posiciónincógnita{\displaystyle x}del paquete que viaja a velocidadv{\displaystyle v}sería incógnita0+vt±σ2+(ht2πσmetro)2,{\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+\left({\frac {ht}{2\pi \sigma m}}\right)^{2}}},} dóndeσ{\displaystyle \sigma }es la incertidumbre en la posición inicial. Esta incertidumbre de posición crea incertidumbre en la velocidad (el segundo término adicional en la raíz cuadrada) de acuerdo con la relación de incertidumbre de Heisenberg . El paquete de ondas se expande como se muestra en la figura.

Confirmación experimental

En 1927, se confirmó experimentalmente por primera vez la existencia de ondas de materia en el experimento de difracción de George Paget Thomson y Alexander Reid [ 21 ] y en el experimento de Davisson-Germer , [ 22 ] [ 23 ] ambos para electrones. [ 24 ] [ 25 ] : 56

Cámara de difracción de electrones original fabricada y utilizada por el premio Nobel GP Thomson y su alumno Alexander Reid en 1925.
Ejemplo de fotografía original de difracción de electrones del laboratorio de GP Thomson, registrada entre 1925 y 1927.

La hipótesis de De Broglie y la existencia de ondas de materia se han confirmado para otras partículas elementales, átomos neutros e incluso moléculas. [ 26 ]

Los primeros patrones de interferencia de ondas electrónicas que demostraron directamente la dualidad onda-partícula utilizaron biprismas electrónicos [ 27 ] [ 28 ] (esencialmente un alambre colocado en un microscopio electrónico) y midieron electrones individuales que construían el patrón de difracción. Una copia cercana del famoso experimento de la doble rendija [ 29 ] : 260 utilizando electrones a través de aberturas físicas produjo la película mostrada. [ 30 ]

Patrón de difracción de doble rendija de ondas de materia que se construye electrón a electrón. Cada punto blanco representa un solo electrón que incide en un detector; con un número estadísticamente grande de electrones aparecen franjas de interferencia. [ 30 ]

Electrones

En 1927, en los Laboratorios Bell, Clinton Davisson y Lester Germer dispararon electrones de movimiento lento contra un blanco de níquel cristalino . [ 22 ] [ 23 ] Se midió la intensidad del electrón difractado y se determinó que tenía una dependencia angular similar a los patrones de difracción predichos por Bragg para los rayos X. Al mismo tiempo, George Paget Thomson y Alexander Reid en la Universidad de Aberdeen disparaban electrones de forma independiente contra láminas delgadas de celuloide y, posteriormente, películas metálicas, observando anillos que pueden interpretarse de manera similar. [ 21 ] (Alexander Reid, quien fue estudiante de posgrado de Thomson, realizó los primeros experimentos, pero murió poco después en un accidente de motocicleta [ 31 ] y rara vez se le menciona). Antes de la aceptación de la hipótesis de De Broglie, se pensaba que la difracción era una propiedad que solo exhibían las ondas. Por lo tanto, la presencia de cualquier efecto de difracción por la materia demostraba la naturaleza ondulatoria de la materia. [ 32 ] La interpretación de ondas de materia fue establecida sobre una base sólida en 1928 por Hans Bethe , [ 33 ] quien resolvió la ecuación de Schrödinger , [ 16 ] mostrando cómo esto podría explicar los resultados experimentales. Su enfoque es similar al que se utiliza en los enfoques modernos de difracción de electrones . [ 34 ] [ 35 ]

Este fue un resultado fundamental en el desarrollo de la mecánica cuántica . Así como el efecto fotoeléctrico demostró la naturaleza corpuscular de la luz, estos experimentos demostraron la naturaleza ondulatoria de la materia.

Neutrones

Los neutrones , producidos en reactores nucleares con una energía cinética de alrededor de1  MeV , termalizar a alrededor de0,025  eV al dispersarse por átomos ligeros. La  longitud de onda de De Broglie resultante (alrededor de180 pm  ) coincide con el espaciado interatómico y los neutrones se dispersan fuertemente de los átomos de hidrógeno. En consecuencia, las ondas de materia de neutrones se utilizan en cristalografía , especialmente para materiales biológicos. [ 36 ] Los neutrones fueron descubiertos a principios de la década de 1930, y su difracción se observó en 1936. [ 37 ] En 1944, Ernest O. Wollan , con antecedentes en dispersión de rayos X de su trabajo de doctorado [ 38 ] bajo Arthur Compton , reconoció el potencial de aplicar neutrones térmicos del reactor nuclear X-10 recién operativo a la cristalografía . Junto con Clifford G. Shull , desarrollaron [ 39 ] la difracción de neutrones a lo largo de la década de 1940. En la década de 1970, un interferómetro de neutrones demostró la acción de la gravedad en relación con la dualidad onda-partícula. [ 40 ] El experimento de doble rendija se realizó utilizando neutrones en 1988. [ 41 ]

Átomos

La interferencia de las ondas de materia atómica fue observada por primera vez por Immanuel Estermann y Otto Stern en 1930, cuando un haz de Na se difractó en una superficie de NaCl. [ 42 ] La corta longitud de onda de De Broglie de los átomos impidió el progreso durante muchos años hasta que dos avances tecnológicos reavivaron el interés: la microlitografía, que permite la creación de dispositivos pequeños y precisos, y el enfriamiento láser, que permite ralentizar los átomos, aumentando así su longitud de onda de De Broglie. [ 43 ] El experimento de la doble rendija en átomos se realizó en 1991. [ 44 ]

Los avances en el enfriamiento láser permitieron enfriar átomos neutros hasta temperaturas de nanokelvin. A estas temperaturas, las longitudes de onda de De Broglie se encuentran en el rango de los micrómetros. Utilizando la difracción de Bragg de átomos y una técnica de interferometría de Ramsey, se midió explícitamente la longitud de onda de De Broglie de átomos de sodio fríos y se encontró que era consistente con la temperatura medida por un método diferente. [ 45 ]

Moléculas

Experimentos recientes confirman las relaciones para moléculas e incluso macromoléculas que de otro modo podrían considerarse demasiado grandes para experimentar efectos mecánicos cuánticos. En 1999, un equipo de investigación en Viena demostró la difracción para moléculas tan grandes como los fullerenos . [ 46 ] Los investigadores calcularon una longitud de onda de De Broglie de la velocidad más probable del C 60 como2.5 pm  . Experimentos más recientes demuestran la naturaleza cuántica de las moléculas formadas por 810 átomos y con una masa de10 123 Da  . [ 47 ] A partir de 2019, esto se ha trasladado a moléculas de25 000  Da . [ 48 ]

En estos experimentos, la acumulación de tales patrones de interferencia pudo registrarse en tiempo real y con sensibilidad de molécula individual. [ 49 ] Las moléculas grandes son ya tan complejas que brindan acceso experimental a algunos aspectos de la interfaz cuántico-clásica, es decir, a ciertos mecanismos de decoherencia . [ 50 ] [ 51 ]

Otros

Se han detectado ondas de materia en moléculas de van der Waals , [ 52 ] mesones rho , [ 53 ] [ 54 ] y condensado de Bose-Einstein . [ 53 ]

Ondas de materia viajeras

Las ondas tienen conceptos de velocidad más complicados que los objetos sólidos. El enfoque más simple es centrarse en la descripción en términos de ondas de materia planas para una partícula libre , es decir, una función de onda descrita por ψ(r)=miik⋅r−iωt,{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},} dónder{\displaystyle \mathbf {r} }es una posición en el espacio real,k{\displaystyle \mathbf {k} } es el vector de onda en unidades de metros inversos, ω es la frecuencia angular con unidades de tiempo inverso yt{\displaystyle t}es el tiempo. (Aquí se utiliza la definición física del vector de onda, que es2π{\displaystyle 2\pi }veces el vector de onda utilizado en cristalografía , véase vector de onda .) Las ecuaciones de De Broglie relacionan la longitud de onda λ con el módulo del momento|pag|=pag{\displaystyle |\mathbf {p} |=p}y la frecuencia f a la energía total E de una partícula libre como se escribió anteriormente: [ 55 ]λ=2π|k|=hpagF=ω2π=mih{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}={\frac {h}{p}}\\&f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}\end{aligned}}} donde h es la constante de Planck . Las ecuaciones también se pueden escribir como pag=ℏkmi=ℏω.{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega .\\\end{aligned}}} Aquí, ħ = h /2 π es la constante de Planck reducida. La segunda ecuación también se conoce como la relación de Planck-Einstein .

Velocidad de grupo

En la hipótesis de De Broglie, la velocidad de una partícula es igual a la velocidad de grupo de la onda de materia. [ 2 ] : 214 En medios isotrópicos o en el vacío, la velocidad de grupo de una onda se define por: vgramo=∂ω(k)∂k{\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}} La relación entre la frecuencia angular y el vector de onda se denomina relación de dispersión . Para el caso no relativista, esta es: ω(k)≈metro0do2ℏ+ℏk22metro0,{\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,,} dóndemetro0{\displaystyle m_{0}}es la masa en reposo. Aplicando la derivada se obtiene la velocidad de grupo de la onda de materia (no relativista) : vgramo=ℏkmetro0.{\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}\,.} Para comparar, la velocidad de grupo de la luz, con una dispersiónω(k)=dok{\displaystyle \omega (k)=ck}es la velocidad de la luzdo{\displaystyle c}.

Como alternativa, se puede utilizar la relación de dispersión relativista para las ondas de materia. ω(k)=k2do2+(metro0do2ℏ)2,{\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,,} entonces vgramo=kdo2ω.{\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}\,.} Esta forma relativista se relaciona con la velocidad de fase, como se explica más adelante.

Para medios no isótropos, utilizamos la forma energía-momento :vgramo=∂ω∂k=∂(mi/ℏ)∂(pag/ℏ)=∂mi∂pag=∂∂pag(pag2do2+metro02do4)=pagdo2pag2do2+metro02do4=pagdo2mi.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}

Pero (véase más abajo), dado que la velocidad de fase esvpag=mi/pag=do2/v{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }, entonces vgramo=pagdo2mi=do2vpag=v,{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}} dóndev{\displaystyle \mathbf {v} }es la velocidad del centro de masa de la partícula, idéntica a la velocidad de grupo.

Velocidad de fase

La velocidad de fase en medios isotrópicos se define como: vpag=ωk{\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}} Utilizando la velocidad de grupo relativista anterior: [ 2 ] : 215vpag=do2vgramo{\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}} Esto demuestra quevpag⋅vgramo=do2{\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}como informaron RW Ditchburn en 1948 y JL Synge en 1952. Las ondas electromagnéticas también obedecen vpag⋅vgramo=do2{\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}, como ambos|vpag|=do{\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}y|vgramo|=do{\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}. Dado que para las ondas de materia,|vgramo|<do{\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}De ello se deduce que|vpag|>do{\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}, pero solo la velocidad de grupo transporta información. Por lo tanto, la velocidad de fase superlumínica no viola la relatividad especial, ya que no transporta información.

Para medios no isótropos, entonces vpag=ωk=mi/ℏpag/ℏ=mipag.{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}

Utilizando las relaciones relativistas para la energía y el momento se obtienevpag=mipag=metrodo2metrov=γmetro0do2γmetro0v=do2v.{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.} La variablev{\displaystyle \mathbf {v} }puede interpretarse como la velocidad de la partícula o la velocidad de grupo de la onda de materia correspondiente; ambas son lo mismo. Dado que la velocidad de la partícula|v|<do{\displaystyle |\mathbf {v} |<c}para cualquier partícula que tenga masa distinta de cero (según la relatividad especial ), la velocidad de fase de las ondas de materia siempre supera c , es decir, |vpag|>do,{\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,} que se aproxima a c cuando la velocidad de la partícula es relativista. La velocidad de fase superlumínica no viola la relatividad especial, de forma similar al caso anterior para medios no isótropos. Consulte el artículo sobre Dispersión (óptica) para obtener más detalles.

relatividad especial

Utilizando dos fórmulas de la relatividad especial , una para la energía de masa relativista y otra para el momento relativistami=metrodo2=γmetro0do2pag=metrov=γmetro0v{\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}} permite que las ecuaciones para la longitud de onda y la frecuencia de De Broglie se escriban como λ=hγmetro0v=hmetro0v1−v2do2F=γmetro0do2h=metro0do2h1−v2do2,{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}} dóndev=|v|{\displaystyle v=|\mathbf {v} |}es la velocidad ,γ{\displaystyle \gamma }el factor de Lorentz ydo{\displaystyle c}la velocidad de la luz en el vacío. [ 56 ] [ 57 ] Esto muestra que a medida que la velocidad de una partícula se acerca a cero (reposo), la longitud de onda de De Broglie se acerca al infinito.

Cuatro vectores

Utilizando cuadrivectores, las relaciones de De Broglie forman una única ecuación: PAG=ℏK,{\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,} que es independiente del sistema de referencia . De igual modo, la relación entre la velocidad de grupo/partícula y la velocidad de fase se expresa en forma independiente del sistema de referencia mediante: K=(ω0do2)U,{\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,} dónde

  • Cuatro momentosPAG=(mido,pag){\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}
  • Vector de cuatro ondasK=(ωdo,k){\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}
  • Cuatro velocidadesU=γ(do,tú)=γ(do,vgramotú^){\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}

ondas de materia generales

Las secciones anteriores se refieren específicamente a partículas libres cuyas funciones de onda son ondas planas. Existen otras ondas de materia significativas, que pueden dividirse en tres clases principales: ondas de materia de una sola partícula, ondas de materia colectivas y ondas estacionarias.

Ondas de materia de una sola partícula

La descripción más general de las ondas de materia correspondientes a un solo tipo de partícula (por ejemplo, un solo electrón o neutrón) tendría una forma similar a ψ(r)=tú(r,k)exp⁡(ik⋅r−imi(k)t/ℏ){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )} donde ahora hay un término espacial adicionaltú(r,k){\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}en el frente, y la energía se ha escrito de forma más general como una función del vector de onda. Los diversos términos dados anteriormente siguen siendo válidos, aunque la energía ya no es siempre proporcional al cuadrado del vector de onda. Un enfoque común es definir una masa efectiva que, en general, es un tensor.metroij∗{\displaystyle m_{ij}^{*}}dado por metroij∗−1=1ℏ2∂2mi∂ki∂kj{\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}} de modo que, en el caso simple en el que todas las direcciones son iguales, la forma es similar a la de una onda libre descrita anteriormente.mi(k)=ℏ2k22metro∗{\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}En general, la velocidad de grupo se reemplazaría por la corriente de probabilidad [ 58 ].j(r)=ℏ2metroi(ψ∗(r)∇ψ(r)−ψ(r)∇ψ∗(r)){\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)} dónde∇{\displaystyle \nabla }es el operador del o gradiente . El momento se describiría entonces utilizando el operador de momento cinético , [ 58 ]pag=−iℏ∇{\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla } La longitud de onda se sigue describiendo como la inversa del módulo del vector de onda, aunque su medición es más compleja. Existen muchos casos en los que este enfoque se utiliza para describir ondas de materia de una sola partícula:

Ondas de materia colectivas

Otras clases de ondas de materia involucran más de una partícula, por lo que se denominan ondas colectivas y a menudo son cuasipartículas . Muchas de ellas se presentan en sólidos; véase Ashcroft y Mermin . Algunos ejemplos son:

  • En los sólidos, una cuasipartícula electrónica es un electrón al que se le han incluido las interacciones con otros electrones del sólido. Una cuasipartícula electrónica tiene la misma carga y espín que un electrón "normal" ( partícula elemental ) y, al igual que un electrón normal, es un fermión . Sin embargo, su masa efectiva puede diferir sustancialmente de la de un electrón normal. [ 61 ] Su campo eléctrico también se modifica como resultado del apantallamiento del campo eléctrico .
  • Un hueco es una cuasipartícula que puede considerarse como una vacante de un electrón en un estado; se usa más comúnmente en el contexto de estados vacíos en la banda de valencia de un semiconductor . [ 61 ] Un hueco tiene la carga opuesta a la de un electrón.
  • Un polarón es una cuasipartícula en la que un electrón interactúa con la polarización de los átomos cercanos.
  • Un excitón es un par formado por un electrón y un hueco que están unidos entre sí.
  • Un par de Cooper está formado por dos electrones unidos entre sí, de modo que se comportan como una única onda de materia.

ondas de materia estacionaria

Algunas trayectorias de una partícula en una caja según las leyes de la mecánica clásica de Newton (A) y las ondas de materia (B-F). En (B-F), el eje horizontal representa la posición y el eje vertical la parte real (azul) y la parte imaginaria (roja) de la función de onda . Los estados (B, C, D) son autoestados de energía , pero (E, F) no lo son.

La tercera clase son las ondas de materia que tienen un vector de onda, una longitud de onda y varían con el tiempo, pero tienen una velocidad de grupo o flujo de probabilidad cero . La más simple de estas, similar a la notación anterior, sería porque⁡(k⋅r−ωt){\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)} Estos ocurren como parte de la partícula en una caja , y otros casos como en un anillo . Esto puede, y posiblemente debería, extenderse a muchos otros casos. Por ejemplo, en trabajos tempranos, de Broglie utilizó el concepto de que una onda de materia electrónica debe ser continua en un anillo para conectar con la condición de Bohr-Sommerfeld en los primeros enfoques de la mecánica cuántica. [ 62 ] En ese sentido, los orbitales atómicos alrededor de los átomos, y también los orbitales moleculares, son ondas de materia electrónica. [ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]

Ondas de materia frente a ondas electromagnéticas (luz)

Schrödinger aplicó la analogía óptico-mecánica de Hamilton para desarrollar su mecánica ondulatoria para partículas subatómicas. [ 66 ] : xi En consecuencia, las soluciones ondulatorias de la ecuación de Schrödinger comparten muchas propiedades con los resultados de la óptica ondulatoria de la luz . En particular, la fórmula de difracción de Kirchhoff funciona bien para la óptica electrónica [ 29 ] : 745 y para la óptica atómica . [ 67 ] La aproximación funciona bien siempre que los campos eléctricos cambien más lentamente que la longitud de onda de De Broglie. Los aparatos macroscópicos cumplen esta condición; los electrones lentos que se mueven en sólidos no.

Más allá de las ecuaciones de movimiento, otros aspectos de la óptica ondulatoria de la materia difieren de los casos correspondientes de la óptica de la luz.

Sensibilidad de las ondas de materia a las condiciones ambientales. Muchos ejemplos de difracción electromagnética (de luz) ocurren en el aire bajo diversas condiciones ambientales. Obviamente , la luz visible interactúa débilmente con las moléculas del aire. Por el contrario, las partículas que interactúan fuertemente, como los electrones lentos y las moléculas, requieren vacío: las propiedades de las ondas de materia se desvanecen rápidamente cuando se exponen incluso a bajas presiones de gas. [ 68 ] Con aparatos especiales, se pueden usar electrones de alta velocidad para estudiar líquidos y gases . Los neutrones, una excepción importante, interactúan principalmente por colisiones con núcleos y, por lo tanto, viajan varios cientos de pies en el aire. [ 69 ]

Dispersión. Las ondas de luz de todas las frecuencias viajan a la misma velocidad de la luz, mientras que la velocidad de las ondas de materia varía fuertemente con la frecuencia. La relación entre la frecuencia (proporcional a la energía) y el número de onda o la velocidad (proporcional al momento) se denomina relación de dispersión . Las ondas de luz en el vacío tienen una relación de dispersión lineal entre la frecuencia:ω=dok{\displaystyle \omega =ck}Para las ondas de materia, la relación es no lineal: ω(k)≈metro0do2ℏ+ℏk22metro0.{\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}Esta relación de dispersión de ondas de materia no relativista dice que la frecuencia en el vacío varía con el número de onda (k=1/λ{\displaystyle k=1/\lambda }) en dos partes: una parte constante debida a la frecuencia de De Broglie de la masa en reposo (ℏω0=metro0do2{\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}) y una parte cuadrática debida a la energía cinética. El término cuadrático provoca una rápida propagación de los paquetes de ondas de materia .

Coherencia La visibilidad de las características de difracción utilizando un enfoque de teoría óptica depende de la coherencia del haz , [ 29 ] que a nivel cuántico es equivalente a un enfoque de matriz de densidad . [ 70 ] [ 71 ] Al igual que con la luz, la coherencia transversal (a través de la dirección de propagación) puede incrementarse mediante la colimación . Los sistemas ópticos electrónicos utilizan alto voltaje estabilizado para proporcionar una dispersión de energía estrecha en combinación con lentes colimadoras (paralelizadoras) y fuentes de filamentos puntiagudos para lograr una buena coherencia. [ 72 ] Debido a que la luz en todas las frecuencias viaja a la misma velocidad, la coherencia longitudinal y temporal están vinculadas; en las ondas de materia, estas son independientes. Por ejemplo, para los átomos, la selección de velocidad (energía) controla la coherencia longitudinal y la pulsación o modulación controla la coherencia temporal. [ 67 ] : 154

Ondas de materia con forma óptica La manipulación óptica de la materia desempeña un papel fundamental en la óptica de ondas de materia: "Las ondas de luz pueden actuar como estructuras refractivas, reflectantes y absorbentes para las ondas de materia, al igual que el vidrio interactúa con las ondas de luz". [ 73 ] La transferencia de momento de la luz láser puede enfriar partículas de materia y alterar el estado de excitación interna de los átomos. [ 74 ]

Experimentos de múltiples partículas Si bien las ecuaciones de ondas ópticas y de materia en el espacio libre para una sola partícula son idénticas, los sistemas de múltiples partículas, como los experimentos de coincidencia, no lo son. [ 75 ]

Aplicaciones de las ondas de materia

Las siguientes subsecciones proporcionan enlaces a páginas que describen aplicaciones de ondas de materia como sondas de materiales o de propiedades cuánticas fundamentales . En la mayoría de los casos, estas implican algún método para producir ondas de materia viajeras que inicialmente tienen la forma simpleexp⁡(ik⋅r−iωt){\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t)}y luego utilizarlos para analizar materiales.

Como se muestra en la tabla a continuación, la masa de las ondas de materia abarca más de 6 órdenes de magnitud y la energía más de 9 órdenes, pero las longitudes de onda están todas en el rango de picómetros , comparable a los espaciamientos atómicos. ( Los diámetros atómicos varían de 62 a 520  pm, y la longitud típica de un enlace simple carbono-carbono es de 154  pm). Alcanzar longitudes de onda más largas requiere técnicas especiales como el enfriamiento láser para alcanzar energías más bajas; las longitudes de onda más cortas hacen que los efectos de difracción sean más difíciles de discernir. [ 43 ] Por lo tanto, muchas aplicaciones se centran en estructuras de materiales , en paralelo con las aplicaciones de ondas electromagnéticas, especialmente rayos X. A diferencia de la luz, las partículas de ondas de materia pueden tener masa , carga eléctrica , momentos magnéticos y estructura interna, lo que presenta nuevos desafíos y oportunidades.

Electrones

Los patrones de difracción de electrones surgen cuando los electrones energéticos se reflejan o penetran en sólidos ordenados; el análisis de estos patrones permite elaborar modelos de la disposición atómica en dichos sólidos.

Se utilizan para obtener imágenes desde la escala micrométrica hasta la atómica mediante microscopios electrónicos , en transmisión , mediante barrido y para superficies a bajas energías .

Las mediciones de la energía que pierden los electrones en la espectroscopia de pérdida de energía proporcionan información sobre la química y la estructura electrónica de los materiales. Los haces de electrones también generan rayos X característicos en la espectroscopia de energía dispersiva, que pueden proporcionar información sobre la composición química a nanoescala.

El efecto túnel cuántico explica cómo los electrones escapan de los metales en un campo electrostático a energías inferiores a las que permiten las predicciones clásicas: la onda de materia penetra la barrera de la función de trabajo en el metal.

El microscopio de efecto túnel aprovecha el efecto túnel cuántico para obtener imágenes de la capa atómica superior de las superficies sólidas.

La holografía electrónica , el análogo de la holografía óptica basado en ondas de materia electrónica , permite sondear los campos eléctricos y magnéticos en películas delgadas.

Neutrones

La difracción de neutrones complementa la difracción de rayos X gracias a las diferentes secciones transversales de dispersión y a su sensibilidad al magnetismo.

La dispersión de neutrones a ángulos pequeños proporciona una forma de obtener la estructura de sistemas desordenados que son sensibles a elementos ligeros, isótopos y momentos magnéticos.

La reflectometría de neutrones es una técnica de difracción de neutrones que se utiliza para medir la estructura de películas delgadas.

átomos neutros

Los interferómetros atómicos , similares a los interferómetros ópticos , miden la diferencia de fase entre las ondas de materia atómica a lo largo de diferentes trayectorias.

La óptica atómica imita muchos dispositivos ópticos de luz, incluidos espejos y placas de zona de enfoque atómico.

La microscopía de helio por barrido utiliza ondas de átomos de helio para obtener imágenes de estructuras sólidas de forma no destructiva.

La reflexión cuántica utiliza el comportamiento de las ondas de materia para explicar la reflexión atómica en ángulo rasante, que es la base de algunos espejos atómicos .

Las mediciones de decoherencia cuántica se basan en la interferencia de ondas de átomos de rubidio.

Moléculas

La superposición cuántica revelada por la interferencia de ondas de materia de moléculas grandes explora los límites de la dualidad onda-partícula y la macroscopicidad cuántica. [ 84 ] [ 85 ]

Los interferómetros de ondas de materia generan nanoestructuras en haces moleculares que pueden leerse con precisión nanométrica y, por lo tanto, utilizarse para mediciones de fuerza de alta sensibilidad, a partir de las cuales se puede deducir una gran cantidad de propiedades de moléculas complejas individualizadas. [ 86 ]

Véase también

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  • Broglie, Louis de, La naturaleza ondulatoria del electrón, Conferencia Nobel, 12, 1929
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  • Cronin, Alexander D.; Schmiedmayer, Jörg; Pritchard, David E. (28 de julio de 2009). "Óptica e interferometría con átomos y moléculas" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 81 (3): 1051– 1129. arXiv : 0712.3703 . Bibcode : 2009RvMP...81.1051C . doi : 10.1103/RevModPhys.81.1051 . hdl : 1721.1/52372 . Archivado del original (PDF) el 19 de julio de 2011 – vía Atomwave.
  • "Documentos científicos presentados a Max Born con motivo de su jubilación de la cátedra Tait de Filosofía Natural en la Universidad de Edimburgo" , 1953 (Oliver y Boyd)