La fórmula de De Moivre

En matemáticas , la fórmula de De Moivre (también conocida como teorema de De Moivre e identidad de De Moivre ) establece que para cualquier número real $x$ y entero $n$ , ${\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx,$ donde $i$ es la unidad imaginaria ( $i² = -1)$ . La fórmula lleva el nombre de Abraham de Moivre , ^{[ 1 ]} aunque nunca la mencionó en sus obras. ^{[ 2 ]} La expresión $cos x + i sin x$ a veces se abrevia como $cis x$ .

La fórmula es importante porque conecta los números complejos con la trigonometría . Al expandir el lado izquierdo y luego comparar las partes real e imaginaria bajo el supuesto de que $x$ es real, es posible obtener expresiones útiles para $cos nx$ y $sin nx$ en términos de $cos x$ y $sin x$ .

Tal como está escrita, la fórmula no es válida para potencias no enteras $n$ . Sin embargo, existen generalizaciones de esta fórmula válidas para otros exponentes. Estas pueden usarse para dar expresiones explícitas para las raíces $enésimas$ de la unidad , es decir, números complejos $z$ tales que $z n = 1$ .

Utilizando las extensiones estándar de las funciones seno y coseno a números complejos, la fórmula es válida incluso cuando $x$ es un número complejo arbitrario.

Ejemplo

Para $x={\frac {\pi }{6}}$ y $n=2$ , la fórmula de de Moivre afirma que $\left(\cos {\bigg (}{\frac {\pi }{6}}{\bigg )}+i\sin {\bigg (}{\frac {\pi }{6}}{\bigg )}\right)^{2}=\cos {\bigg (}2\cdot {\frac {\pi }{6}}{\bigg )}+i\sin {\bigg (}2\cdot {\frac {\pi }{6}}{\bigg )},$ o equivalentemente que $\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.$ En este ejemplo, es fácil comprobar la validez de la ecuación multiplicando el lado izquierdo.

Relación con la fórmula de Euler

La fórmula de De Moivre es una precursora de la fórmula de Euler. $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ con $x$ expresada en radianes en lugar de grados , lo que establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja.

La fórmula de De Moivre se puede derivar utilizando la fórmula de Euler y la ley exponencial para potencias enteras.

\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},

ya que la fórmula de Euler implica que el lado izquierdo es igual a $\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}$ mientras que el lado derecho es igual a $\cos nx+i\sin nx.$

Demostración por inducción

La veracidad del teorema de De Moivre puede establecerse mediante inducción matemática para los números naturales, y extenderse a todos los enteros a partir de ahí. Para un entero $n$ , llamemos a la siguiente proposición $S(n)$ :

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.

Para $n > 0$ , procedemos por inducción matemática . $S(1)$ es claramente verdadero. Para nuestra hipótesis, suponemos que $S(k) es verdadero para algún$ $k$ natural . Es decir, suponemos

\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.

Ahora, considerando $S(k + 1)$ :

{\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{via induction hypothesis}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{via trigonometric identities}}\end{alignedat}}

Consulte las identidades de suma y diferencia de ángulos .

Deducimos que $S(k)$ implica $S(k + 1)$ . Por el principio de inducción matemática se deduce que el resultado es verdadero para todos los números naturales. Ahora bien, $S(0)$ es claramente verdadero ya que $cos(0 x) + i sin(0 x) = 1 + 0 i = 1.$ Finalmente, para los casos de enteros negativos, consideramos un exponente de $-n$ $para$ $n$ natural .

{\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos nx-i\sin nx\qquad \qquad (*)\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\\\end{aligned}}

La ecuación (*) es resultado de la identidad

z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},

para $z = cos nx + i sin nx$ . Por lo tanto, $S(n)$ se cumple para todos los enteros $n$ .

Fórmulas para el coseno y el seno individualmente

Para que exista una igualdad entre números complejos , es necesario que tanto las partes reales como las imaginarias de ambos miembros de la ecuación sean iguales. Si $x$ , y por lo tanto también $cos x$ y $sin x$ , son números reales , entonces la identidad de estas partes se puede expresar utilizando coeficientes binomiales . Esta fórmula fue dada por el matemático francés del siglo XVI François Viète .

{\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}

En cada una de estas dos ecuaciones, la función trigonométrica final es igual a uno, menos uno o cero, eliminando así la mitad de las entradas en cada una de las sumas. Estas ecuaciones son válidas incluso para valores complejos de $x$ , porque ambos lados son funciones enteras (es decir, holomorfas en todo el plano complejo ) de $x$ , y dos funciones de este tipo que coinciden en el eje real necesariamente coinciden en todas partes. Aquí están los ejemplos concretos de estas ecuaciones para $n = 2$ y $n = 3$ :

{\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}

El lado derecho de la fórmula para $cos nx$ es de hecho el valor $T n (cos x)$ del polinomio de Chebyshev $T n$ en $cos x$ .

Fallo para potencias no enteras y generalización.

La fórmula de De Moivre no se cumple para potencias no enteras. La derivación de la fórmula de De Moivre anterior implica un número complejo elevado a la potencia entera $n$ . Si un número complejo se eleva a una potencia no entera, el resultado es multivaluado (véase el fallo de las identidades de potencia y logaritmo ).

Raíces de números complejos

Una modesta extensión de la versión de la fórmula de De Moivre que se presenta en este artículo puede utilizarse para hallar las raíces $n$ $-ésimas de un número complejo para un entero n$ distinto de cero . Si $z$ es un número complejo, escrito en forma polar como $z=r\left(\cos x+i\sin x\right),$ entonces las raíces $n -ésimas de$ $z$ están dadas por $r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)$ donde $k$ varía sobre los valores enteros de 0 a $| n | - 1$ . Esta fórmula también se conoce a veces como la fórmula de De Moivre. ^{[ 3 ]}

Números complejos elevados a una potencia arbitraria

Generalmente, si $z=r\left(\cos x+i\sin x\right)$ (en forma polar) y $w$ son números complejos arbitrarios, entonces el conjunto de valores posibles es $z^{w}=r^{w}\left(\cos x+i\sin x\right)^{w}=\lbrace r^{w}\cos(xw+2\pi kw)+ir^{w}\sin(xw+2\pi kw)|k\in \mathbb {Z} \rbrace \,.$ (Nótese que si $w$ es un número racional igual a $p / q$ en su mínima expresión , este conjunto tendrá exactamente $q$ valores distintos en lugar de infinitos. En particular, si $w$ es un entero, el conjunto tendrá exactamente un valor, como se explicó anteriormente). En contraste, la fórmula de De Moivre da $r^{w}(\cos xw+i\sin xw)\,,$ que es simplemente el único valor de este conjunto que corresponde a $k = 0$ .

Análogos en otros entornos

Trigonometría hiperbólica

Dado que $cosh x + sinh x = e x$ , también se aplica un análogo a la fórmula de de Moivre a la trigonometría hiperbólica . Para todos los enteros $n$ ,

$(\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.$

Si $n$ es un número racional (pero no necesariamente un entero), entonces $cosh nx + sinh nx$ será uno de los valores de $(cosh x + sinh x) n$ . ^{[ 4 ]}

Extensión a números complejos

Para cualquier número entero $n$ , la fórmula se cumple para cualquier número complejo. $z=x+iy$

(\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.

dónde

{\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}

Cuaterniones

Para hallar las raíces de un cuaternión existe una forma análoga de la fórmula de De Moivre. Un cuaternión en la forma

q=d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}}

puede representarse en la forma

q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}0\leq \theta <2\pi .

En esta representación,

k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},

y las funciones trigonométricas se definen como

\cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.

En el caso de que $a 2 + b 2 + c 2 \neq 0$ ,

\varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},

es decir, el vector unitario . Esto conduce a la variación de la fórmula de De Moivre:

q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).

^{[ 5 ]}

Ejemplo

Para hallar las raíces cúbicas de

Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,

escribe el cuaternión en la forma

Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad {\mbox{where }}\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.

Entonces, las raíces cúbicas vienen dadas por:

{\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}\theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.

matrices de 2 × 2

Con matrices, ${\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &-\sin n\phi \\\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}$ cuando $n$ es un entero. Esto es una consecuencia directa del isomorfismo entre las matrices de tipo ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$ y el plano complejo .

Referencias

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Manual de funciones matemáticas . Nueva York: Dover Publications. pág . 74. ISBN 0-486-61272-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .

^ Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [ De ciertas ecuaciones de tercera, quinta, séptima, novena y potencia superior, hasta el infinito, procediendo, en términos finitos, en forma de reglas para cúbicas que son llamado por Cardano, resolución por análisis. ] . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 25 (309): 2368–2371 . doi : 10.1098/rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 .
- Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009)
En la página 2370, de Moivre afirmó que si una serie tiene la forma $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ donde n es cualquier entero impar dado (positivo o negativo) y donde y y a pueden ser funciones, entonces al resolver para y , el resultado es la ecuación (2) en la misma página: $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ Si y = cos x y a = cos nx, entonces el resultado es $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$ $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
- En 1676, Isaac Newton encontró la relación entre dos longitudes de cuerdas donde las longitudes de arco correspondientes estaban en la proporción de n a 1; la relación fue expresada por la serie anterior. La serie aparece en una carta: Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — del 13 de junio de 1676 de Isaac Newton a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; Se envió una copia de la carta a Gottfried Wilhelm Leibniz . Ver pág. 106 de: Biot, J.-B.; Lefort, F., eds. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou… (en latín). París, Francia: Mallet-Bachelier. págs. 102-112 .
- En 1698, de Moivre derivó la misma serie. Véase: de Moivre, A. (1698). "Un método para extraer raíces de una ecuación infinita" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 20 (240): 190– 193. doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . ; véase la página 192.
- En 1730, de Moivre consideró explícitamente el caso en el que las funciones son cos θ y cos nθ. Ver: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (en latín). Londres, Inglaterra: J. Tonson y J. Watts. pag. 1. De la pág. 1: "Lema 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ ." (Si l y x son cosenos de dos arcos A y B, ambos descritos por el mismo radio 1 y de los cuales el primero es un múltiplo del segundo en esa proporción en que el número n tiene a 1, entonces será [cierto que] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Entonces, si el arco A = n × arco B, entonces l = cos A = cos nB y x = cos B. Por lo tanto $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
Véase también:
- Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Conferencias sobre historia de las matemáticas ] . Bibliotheca mathematica Teuberiana, Bd. 8-9 (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 624.
- Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [ Sobre la historia del origen del llamado teorema de Moivre ] . Biblioteca Matemática . 3ª serie (en alemán). 2 : 97-102 .; véase la pág. 98.
↑ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). Álgebra y trigonometría universitarias (4.ª ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. pág. 792. ISBN 9780321497444.
↑ "Fórmula de De Moivre" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
↑ Mukhopadhyay, Utpal (agosto de 2006). "Algunas características interesantes de las funciones hiperbólicas". Resonance . 11 (8): 81– 85. doi : 10.1007/BF02855783 . S2CID 119753430 .
↑ Brand, Louis (octubre de 1942). "Las raíces de un cuaternión". The American Mathematical Monthly . 49 (8): 519– 520. doi : 10.2307/2302858 . JSTOR 2302858 .

Enlaces externos

Teorema de De Moivre para identidades trigonométricas por Michael Croucher, Proyecto de demostraciones de Wolfram .

[1] Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [ De ciertas ecuaciones de tercera, quinta, séptima, novena y potencia superior, hasta el infinito, procediendo, en términos finitos, en forma de reglas para cúbicas que son llamado por Cardano, resolución por análisis. ] . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 25 (309): 2368–2371 . doi : 10.1098/rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 .
Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009)
En la página 2370, de Moivre afirmó que si una serie tiene la forma $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ donde n es cualquier entero impar dado (positivo o negativo) y donde y y a pueden ser funciones, entonces al resolver para y , el resultado es la ecuación (2) en la misma página: $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ Si y = cos x y a = cos nx, entonces el resultado es $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
En 1676, Isaac Newton encontró la relación entre dos longitudes de cuerdas donde las longitudes de arco correspondientes estaban en la proporción de n a 1; la relación fue expresada por la serie anterior. La serie aparece en una carta: Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — del 13 de junio de 1676 de Isaac Newton a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; Se envió una copia de la carta a Gottfried Wilhelm Leibniz . Ver pág. 106 de: Biot, J.-B.; Lefort, F., eds. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou… (en latín). París, Francia: Mallet-Bachelier. págs. 102-112 .
En 1698, de Moivre derivó la misma serie. Véase: de Moivre, A. (1698). "Un método para extraer raíces de una ecuación infinita" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 20 (240): 190– 193. doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . ; véase la página 192.
En 1730, de Moivre consideró explícitamente el caso en el que las funciones son cos θ y cos nθ. Ver: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (en latín). Londres, Inglaterra: J. Tonson y J. Watts. pag. 1. De la pág. 1: "Lema 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ ." (Si l y x son cosenos de dos arcos A y B, ambos descritos por el mismo radio 1 y de los cuales el primero es un múltiplo del segundo en esa proporción en que el número n tiene a 1, entonces será [cierto que] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Entonces, si el arco A = n × arco B, entonces l = cos A = cos nB y x = cos B. Por lo tanto $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
Véase también:
Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Conferencias sobre historia de las matemáticas ] . Bibliotheca mathematica Teuberiana, Bd. 8-9 (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 624.
Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [ Sobre la historia del origen del llamado teorema de Moivre ] . Biblioteca Matemática . 3ª serie (en alemán). 2 : 97-102 .; véase la pág. 98.

[mwASM] Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009)

[mwAgY] En 1676, Isaac Newton encontró la relación entre dos longitudes de cuerdas donde las longitudes de arco correspondientes estaban en la proporción de n a 1; la relación fue expresada por la serie anterior. La serie aparece en una carta: Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — del 13 de junio de 1676 de Isaac Newton a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; Se envió una copia de la carta a Gottfried Wilhelm Leibniz . Ver pág. 106 de: Biot, J.-B.; Lefort, F., eds. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou… (en latín). París, Francia: Mallet-Bachelier. págs. 102-112 .

[mwAhE] En 1698, de Moivre derivó la misma serie. Véase: de Moivre, A. (1698). "Un método para extraer raíces de una ecuación infinita" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 20 (240): 190– 193. doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . ; véase la página 192.

[mwAh4] En 1730, de Moivre consideró explícitamente el caso en el que las funciones son cos θ y cos nθ. Ver: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (en latín). Londres, Inglaterra: J. Tonson y J. Watts. pag. 1. De la pág. 1: "Lema 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ ." (Si l y x son cosenos de dos arcos A y B, ambos descritos por el mismo radio 1 y de los cuales el primero es un múltiplo del segundo en esa proporción en que el número n tiene a 1, entonces será [cierto que] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Entonces, si el arco A = n × arco B, entonces l = cos A = cos nB y x = cos B. Por lo tanto $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$

[mwAtU] Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Conferencias sobre historia de las matemáticas ] . Bibliotheca mathematica Teuberiana, Bd. 8-9 (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 624.

[mwAuA] Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [ Sobre la historia del origen del llamado teorema de Moivre ] . Biblioteca Matemática . 3ª serie (en alemán). 2 : 97-102 .; véase la pág. 98.

[2] Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). Álgebra y trigonometría universitarias (4.ª ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. pág. 792. ISBN 9780321497444.

[3] "Fórmula de De Moivre" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[4] Mukhopadhyay, Utpal (agosto de 2006). "Algunas características interesantes de las funciones hiperbólicas". Resonance . 11 (8): 81– 85. doi : 10.1007/BF02855783 . S2CID 119753430 .

[5] Brand, Louis (octubre de 1942). "Las raíces de un cuaternión". The American Mathematical Monthly . 49 (8): 519– 520. doi : 10.2307/2302858 . JSTOR 2302858 .

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