Modelo de Debye

En termodinámica y física del estado sólido , el modelo de Debye es un método desarrollado por Peter Debye en 1912 para estimar la contribución de los fonones al calor específico ( capacidad calorífica ) en un sólido . ^{[ 2 ]} Trata las vibraciones de la red atómica (calor) como fonones en una caja, a diferencia del modelo de Einstein , que trata el sólido como muchos osciladores armónicos cuánticos individuales no interactuantes . El modelo de Debye predice correctamente la dependencia de la capacidad calorífica de los sólidos con la temperatura baja, que es proporcional al cubo de la temperatura: la ley de Debye T ^3. De manera similar al modelo de fotoelectrones de Einstein, reproduce la ley de Dulong-Petit a altas temperaturas. Debido a suposiciones simplificadoras, su precisión se ve afectada a temperaturas intermedias.

El modelo de Debye trata las vibraciones atómicas como fonones confinados en el volumen del sólido. Es análogo a la ley de Planck de la radiación de cuerpo negro , que trata la radiación electromagnética como un gas de fotones confinado en el vacío. La mayoría de los pasos de cálculo son idénticos, ya que ambos son ejemplos de un gas de Bose sin masa con una relación de dispersión lineal .

Para un cubo de lado de longitud , los modos resonantes de las perturbaciones sónicas (considerando por ahora solo aquellos alineados con un eje), tratados como partículas en una caja , tienen longitudes de onda dadas por ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\,,}$

donde es un número entero. La energía de un fonón viene dada por ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{n}\ =h\nu _ {n}\,,}$

donde es la constante de Planck y es la frecuencia del fonón. Haciendo la aproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, ${\displaystyle h}$${\displaystyle \nu _{n}}$

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{\rm {s}} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}\,,}$

en la que es la velocidad del sonido dentro del sólido. En tres dimensiones, la energía se puede generalizar a ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle E_{n}^{2}={p_{n}^{2}c_{\rm {s}}^{2}}=\left({hc_{\rm {s}} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$

donde es la magnitud del momento tridimensional del fonón, y , , y son las componentes del modo resonante a lo largo de cada uno de los tres ejes. ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$

La aproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda (lo que da como resultado una velocidad del sonido constante ) es válida para fonones de baja energía, pero no para fonones de alta energía, lo cual constituye una limitación del modelo de Debye. Esta aproximación conduce a resultados incorrectos a temperaturas intermedias, mientras que los resultados son exactos en los límites de baja y alta temperatura.

La energía total en la caja, , viene dada por ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\sum _ {n}E_ {n}\,{\bar {N}}(E_ {n})\,,}$

donde es el número de fonones en la caja con energía ; la energía total es igual a la suma de las energías en todos los niveles de energía, y la energía en un nivel dado se encuentra multiplicando su energía por el número de fonones con esa energía. En tres dimensiones, cada combinación de modos en cada uno de los tres ejes corresponde a un nivel de energía, lo que da como resultado la energía total: ${\displaystyle {\bar {N}}(E_{n})}$${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

El modelo de Debye y la ley de Planck sobre la radiación del cuerpo negro difieren en este punto con respecto a esta suma. A diferencia de la radiación electromagnética de fotones en una caja, existe un número finito de estados de energía de fonones , ya que un fonón no puede tener una frecuencia arbitrariamente alta. Su frecuencia está limitada por su medio de propagación: la red atómica del sólido . La siguiente ilustración describe los fonones transversales en un sólido cúbico a diferentes frecuencias:

Es razonable suponer que la longitud de onda mínima de un fonón es el doble de la separación atómica, como se muestra en el ejemplo más sencillo. Con átomos en un sólido cúbico, cada eje del cubo mide como átomos de longitud. La separación atómica viene dada por , y la longitud de onda mínima es ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{N}}}$${\displaystyle L/{\sqrt[{3}]{N}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}\,,}$

haciendo el número de moda máximo : ${\displaystyle n_{max}}$

${\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}\,.}$

Esto contrasta con los fotones, para los cuales el número máximo de modos es infinito. Este número delimita el límite superior de la suma de energías triples.

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}}^{\sqrt[{3}]{N}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

Si es una función que varía lentamente con respecto a , las sumas se pueden aproximar mediante integrales :${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Para evaluar esta integral, también se debe conocer la función y el número de fonones con energía . Los fonones obedecen la estadística de Bose-Einstein , y su distribución viene dada por la fórmula de la estadística de Bose-Einstein: ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$${\displaystyle E\,,}$

${\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Debido a que un fonón tiene tres posibles estados de polarización (uno longitudinal y dos transversales , que aproximadamente no afectan su energía), la fórmula anterior debe multiplicarse por 3.

${\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Considerar los tres estados de polarización en conjunto también implica que se debe determinar una velocidad sónica efectiva y utilizarla como valor de la velocidad sónica estándar. La temperatura de Debye definida a continuación es proporcional a ; más precisamente, , donde las velocidades de las ondas sonoras longitudinales y transversales se promedian, ponderadas por el número de estados de polarización. La temperatura de Debye o la velocidad sónica efectiva es una medida de la dureza del cristal. ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$${\displaystyle c_{s}.}$${\displaystyle T_{\rm {D}}}$${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$${\displaystyle T_{\rm {D}}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:={\frac {1}{3}}c_{\rm {long}}^{-3}+{\frac {2}{3}}c_{\rm {trans}}^{-3}}$

Sustituyendo en la integral de energía se obtiene ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Estas integrales se evalúan fácilmente para los fotones porque su frecuencia, al menos semiclasicamente, no está acotada. Lo mismo no es cierto para los fonones, por lo que para aproximar esta integral triple , Peter Debye utilizó coordenadas esféricas ,

${\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\sin \theta \cos \phi ,n\sin \theta \sin \phi ,n\cos \theta )\,,}$

y aproximó el cubo con un octavo de esfera ,

${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi \,,}$

donde es el radio de esta esfera. Como la función de energía no depende de ninguno de los ángulos, la ecuación se puede simplificar a ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \,3\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi \,\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,={\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,}$

El número de partículas en el cubo original y en el octavo de una esfera debe ser equivalente. El volumen del cubo es el volumen de la celda unitaria . ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\,,}$

de tal manera que el radio debe ser

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,.}$

La sustitución de la integral sobre una esfera por la integral correcta sobre un cubo introduce otra fuente de imprecisión en el modelo resultante.

Después de realizar la sustitución esférica y sustituir en la función , la integral de energía se convierte en ${\displaystyle E(n)\,}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{\rm {s}}n/2LkT}-1}\,dn}$.

Cambiando la variable de integración a , ${\displaystyle x={hc_{\rm {s}}n \over 2LkT}}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}kT\left({2LkT \over hc_{\rm {s}}}\right)^{3}\int _{0}^{hc_{\rm {s}}R/2LkT}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx.}$

Para simplificar la apariencia de esta expresión, definamos la temperatura de Debye.${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle T_{\rm {D}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{\rm {s}}R \over 2Lk}={hc_{\rm {s}} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}$

donde es el volumen de la caja cúbica de lado de longitud . ${\displaystyle V}$${\displaystyle L}$

Algunos autores ^{[ 3 ] [ 4 ]} describen la temperatura de Debye como una abreviatura de algunas constantes y variables dependientes del material. Sin embargo, es aproximadamente igual a la energía del fonón del modo de longitud de onda mínima, por lo que podemos interpretar la temperatura de Debye como la temperatura a la que se excita el modo de mayor frecuencia. Además, dado que todos los demás modos tienen una energía menor que el modo de mayor frecuencia, todos los modos se excitan a esta temperatura. ${\displaystyle kT_{\rm {D}}}$

A partir de la energía total, se puede calcular la energía interna específica:

${\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{\rm {D}} \over T}\right)\,,}$

donde es la tercera función de Debye . Al diferenciar esta función con respecto a se obtiene la capacidad calorífica adimensional: ${\displaystyle D_{3}(x)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx\,.}$

Estas fórmulas describen el modelo de Debye a todas las temperaturas. Las fórmulas más elementales que se presentan más adelante describen el comportamiento asintótico en los límites de bajas y altas temperaturas. La razón fundamental de la exactitud a bajas y altas energías radica, respectivamente, en que el modelo de Debye proporciona la relación de dispersión exacta a bajas frecuencias y corresponde a la densidad de estados exacta a altas temperaturas, en lo que respecta al número de vibraciones por intervalo de frecuencia. ${\displaystyle E(\nu )}$${\textstyle (\int g(\nu )\,d\nu \equiv 3N)}$

Debye derivó su ecuación de manera diferente y más sencilla. Utilizando la mecánica del continuo , descubrió que el número de estados vibracionales con una frecuencia menor que un valor particular era asintótico a

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

donde es el volumen y es un factor que calculó a partir de los coeficientes de elasticidad y la densidad. Combinando esta fórmula con la energía esperada de un oscilador armónico a temperatura (ya utilizada por Einstein en su modelo) daría una energía de ${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

si las frecuencias vibracionales continuaran hasta el infinito. Esta forma da el comportamiento que es correcto a bajas temperaturas. Pero Debye se dio cuenta de que no podía haber más de estados vibracionales para N átomos. Hizo la suposición de que en un sólido atómico , el espectro de frecuencias de los estados vibracionales continuaría siguiendo la regla anterior, hasta una frecuencia máxima elegida de modo que el número total de estados sea ${\displaystyle T^{3}}$${\displaystyle 3N}$${\displaystyle \nu _{m}}$

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

Debye sabía que esta suposición no era del todo correcta (las frecuencias más altas están más próximas entre sí de lo que se suponía), pero garantiza el comportamiento adecuado a alta temperatura (la ley de Dulong-Petit ). La energía viene dada entonces por

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,\\&=VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,.\end{aligned}}}$

Sustituyendo por , ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$${\displaystyle h\nu _{m}/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=9NkT(T/T_{\rm {D}})^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,\\&=3NkTD_{3}(T_{\rm {D}}/T)\,,\end{aligned}}}$

donde es la función que más tarde recibe el nombre de función de Debye de tercer orden . ${\displaystyle D_{3}}$

Primero, la distribución de frecuencia vibracional se deriva del Apéndice VI de An Introduction to Statistical Mechanics de Terrell L. Hill . ^{[ 5 ]} Consideremos un sólido elástico isótropo tridimensional con N átomos en forma de paralelepípedo rectangular con longitudes de lado . La onda elástica obedecerá la ecuación de onda y serán ondas planas ; consideremos el vector de onda y definamos , de modo que ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$${\displaystyle l_{x}={\frac {k_{x}}{|\mathbf {k} |}},l_{y}={\frac {k_{y}}{|\mathbf {k} |}},l_{z}={\frac {k_{z}}{|\mathbf {k} |}}}$

Las soluciones a la ecuación de onda son

${\displaystyle u(x,y,z,t)=\sin(2\pi \nu t)\sin \left({\frac {2\pi l_{x}x}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{y}y}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{z}z}{\lambda }}\right)}$

y con las condiciones de contorno en , ${\displaystyle u=0}$${\displaystyle x,y,z=0,x=L_{x},y=L_{y},z=L_{z}}$

donde son enteros positivos . Sustituyendo ( 2 ) en ( 1 ) y también usando la relación de dispersión , ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$${\displaystyle c_{s}=\lambda \nu }$

${\displaystyle {\frac {n_{x}^{2}}{(2\nu L_{x}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{(2\nu L_{y}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{(2\nu L_{z}/c_{s})^{2}}}=1.}$

La ecuación anterior, para una frecuencia fija , describe un octavo de una elipse en el "espacio modal" (un octavo porque son positivos). El número de modos con frecuencia menor que es, por lo tanto, el número de puntos enteros dentro de la elipse, que, en el límite de (es decir, para un paralelepípedo muy grande) puede aproximarse al volumen de la elipse. Por lo tanto, el número de modos con frecuencia en el rango es ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}\to \infty }$${\displaystyle N(\nu )}$${\displaystyle [0,\nu ]}$

donde es el volumen del paralelepípedo. La velocidad de la onda en la dirección longitudinal es diferente de la dirección transversal y las ondas pueden estar polarizadas de una manera en la dirección longitudinal y de dos maneras en la dirección transversal y puede definirse como . ${\displaystyle V=L_{x}L_{y}L_{z}}$${\displaystyle {\frac {3}{c_{s}^{3}}}={\frac {1}{c_{\text{long}}^{3}}}+{\frac {2}{c_{\text{trans}}^{3}}}}$

Siguiendo la derivación de A First Course in Thermodynamics , ^{[ 6 ]} se define un límite superior para la frecuencia de vibración ; dado que hay átomos en el sólido, hay osciladores armónicos cuánticos (3 para cada dirección x, y, z) que oscilan en el rango de frecuencias . se puede determinar usando ${\displaystyle \nu _{D}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 3N}$${\displaystyle [0,\nu _{D}]}$${\displaystyle \nu _{D}}$

Al definir , donde k es la constante de Boltzmann y h es la constante de Planck , y sustituyendo ( 4 ) en ( 3 ), ${\displaystyle \nu _{\rm {D}}={\frac {kT_{\rm {D}}}{h}}}$

Esta definición es más estándar; se puede encontrar la contribución de energía para todos los osciladores que oscilan a la frecuencia . Los osciladores armónicos cuánticos pueden tener energías donde y usando la estadística de Maxwell-Boltzmann , el número de partículas con energía es ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle E_{i}=(i+1/2)h\nu }$${\displaystyle i=0,1,2,\dotsc }$${\displaystyle E_{i}}$

${\displaystyle n_{i}={\frac {1}{A}}e^{-E_{i}/(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-(i+1/2)h\nu /(kT)}.}$

La contribución energética para osciladores con frecuencia es entonces ${\displaystyle \nu }$

Al observar que (porque hay modos que oscilan con frecuencia ), ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }n_{i}=dN(\nu )}$${\displaystyle dN(\nu )}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}\sum _{i=0}^{\infty }e^{-ih\nu /(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}{\frac {1}{1-e^{-h\nu /(kT)}}}=dN(\nu ).}$

Desde arriba, podemos obtener una expresión para 1/A; sustituyéndola en ( 6 ),

${\displaystyle {\begin{aligned}dU&=dN(\nu )e^{1/2h\nu /(kT)}(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu (i+1/2)/(kT)}\\\\&=dN(\nu )(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu i/(kT)}\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }ie^{-h\nu i/(kT)}\right)\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right).\end{aligned}}}$

Integrando con respecto a ν se obtiene

${\displaystyle U={\frac {9Nh^{4}}{k^{3}T_{\rm {D}}^{3}}}\int _{0}^{\nu _{D}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right)\nu ^{3}d\nu .}$

Se dice que la temperatura de un sólido de Debye es baja si , lo que lleva a ${\displaystyle T\ll T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{\infty }{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx.}$

Esta integral definida se puede evaluar exactamente:

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim {12\pi ^{4} \over 5}\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}.}$

En el límite de baja temperatura, las limitaciones del modelo de Debye mencionadas anteriormente no se aplican, y proporciona una relación correcta entre la capacidad calorífica (fonónica) , la temperatura , los coeficientes elásticos y el volumen por átomo (estas últimas cantidades están contenidas en la temperatura de Debye).

Se dice que la temperatura de un sólido de Debye es alta si . Usar si conduce a ${\displaystyle T\gg T_{\rm {D}}}$${\displaystyle e^{x}-1\approx x}$${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}$

que al integrarse da

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3\,.}$

Esta es la ley de Dulong-Petit , bastante precisa, aunque no tiene en cuenta la anarmonicidad , que provoca un aumento adicional de la capacidad calorífica . La capacidad calorífica total del sólido, si es conductor o semiconductor , también puede incluir una contribución significativa de los electrones.

Los modelos de Debye y Einstein se corresponden estrechamente con los datos experimentales, pero el modelo de Debye es correcto a bajas temperaturas, mientras que el de Einstein no lo es. Para visualizar la diferencia entre ambos modelos, lo lógico sería representarlos en el mismo sistema de ejes, pero esto no es posible de inmediato, ya que tanto el modelo de Einstein como el de Debye proporcionan una forma funcional para la capacidad calorífica. Como modelos, requieren escalas para relacionarlos con sus contrapartes del mundo real. Se puede observar que la escala del modelo de Einstein viene dada por : ${\displaystyle \epsilon /k}$

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\epsilon /kT}-1\right)^{2}}.}$

La escala del modelo de Debye es , la temperatura de Debye. Ambas se suelen encontrar ajustando los modelos a los datos experimentales. (La temperatura de Debye se puede calcular teóricamente a partir de la velocidad del sonido y las dimensiones del cristal). Debido a que los dos métodos abordan el problema desde direcciones y geometrías diferentes, las escalas de Einstein y Debye no son iguales, es decir ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\epsilon \over k}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

lo que significa que representarlos en el mismo conjunto de ejes no tiene sentido. Son dos modelos de la misma cosa, pero de diferentes escalas. Si se define la temperatura de condensación de Einstein como

${\displaystyle T_{\rm {E}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\epsilon \over k}\,,}$

entonces se puede decir

${\displaystyle T_{\rm {E}}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

y, para relacionar ambos, se utiliza la razón. ${\displaystyle {\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}\,}$

El sólido de Einstein está compuesto por osciladores armónicos cuánticos de frecuencia única , . Esa frecuencia, si existiera, estaría relacionada con la velocidad del sonido en el sólido. Si imaginamos la propagación del sonido como una secuencia de átomos que chocan entre sí, entonces la frecuencia de oscilación debe corresponder a la longitud de onda mínima sostenida por la red atómica, , donde ${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega =h\nu }$${\displaystyle \lambda _{min}}$

${\displaystyle \nu ={c_{\rm {s}} \over \lambda }={c_{\rm {s}}{\sqrt[{3}]{N}} \over 2L}={c_{\rm {s}} \over 2}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}$,

lo que hace que la temperatura de Einstein y la relación buscada sea, por lo tanto, ${\displaystyle T_{\rm {E}}={\epsilon \over k}={h\nu \over k}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}}\,,}$

${\displaystyle {T_{\rm {E}} \over T_{\rm {D}}}={\sqrt[{3}]{\pi \over 6}}\ =0.805995977...}$

Utilizando la razón, ambos modelos pueden representarse en el mismo gráfico. Es la raíz cúbica de la razón entre el volumen de un octante de una esfera tridimensional y el volumen del cubo que la contiene, que es precisamente el factor de corrección utilizado por Debye al aproximar la integral de energía anterior. Alternativamente, la razón de las dos temperaturas puede verse como la razón entre la frecuencia única de Einstein a la que oscilan todos los osciladores y la frecuencia máxima de Debye. La frecuencia única de Einstein puede verse entonces como una media de las frecuencias disponibles para el modelo de Debye. La frecuencia media en el modelo de Debye es

${\displaystyle {{\bar {\nu }}=3\int _{0}^{\nu _{\rm {D}}}{\frac {\nu ^{3}}{\nu _{\rm {D}}^{3}}}d\nu ={\frac {3}{4}}\nu _{\rm {D}}}}$

y por lo tanto la relación entre las frecuencias de Einstein y Debye (y por consiguiente la relación entre las temperaturas en ambos modelos) es:

${\displaystyle {{\frac {\nu _{\rm {E}}}{\nu _{\rm {D}}}}={\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}=0.75}}$

Aunque el modelo de Debye no es del todo correcto, proporciona una buena aproximación para la capacidad calorífica a bajas temperaturas de sólidos cristalinos aislantes donde otras contribuciones (como los electrones de conducción altamente móviles) son despreciables. Para los metales, la contribución electrónica al calor es proporcional a , que a bajas temperaturas domina el resultado de Debye para las vibraciones de la red. En este caso, se puede decir que el modelo de Debye solo aproxima la contribución de la red al calor específico. La siguiente tabla enumera las temperaturas de Debye para varios elementos puros ^{[ 3 ]} y zafiro: ${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{3}}$

El ajuste del modelo de Debye a los datos experimentales a menudo se mejora fenomenológicamente al permitir que la temperatura de Debye dependa de la temperatura; ^{[ 7 ]} por ejemplo, el valor para el hielo aumenta de aproximadamente 222 K ^{[ 8 ]} a 300 K ^{[ 9 ]} a medida que la temperatura va del cero absoluto a aproximadamente 100 K.

Para otras cuasipartículas bosónicas , por ejemplo, magnones (ondas de espín cuantizadas) en ferromagnetos en lugar de fonones (ondas sonoras cuantizadas), se pueden derivar resultados análogos. En este caso, a bajas frecuencias, se tienen diferentes relaciones de dispersión de momento y energía, por ejemplo, en el caso de los magnones, en lugar de para los fonones (con ). También se tiene diferente densidad de estados (por ejemplo, ). Como consecuencia, en los ferromagnetos se obtiene una contribución de magnones a la capacidad calorífica, , que domina a temperaturas suficientemente bajas la contribución de fonones, . En los metales, en cambio, la principal contribución a baja temperatura a la capacidad calorífica, , proviene de los electrones. Es fermiónica , y se calcula mediante diferentes métodos que se remontan al modelo de electrones libres de Sommerfeld . ${\displaystyle E(\nu )\propto k^{2}}$${\displaystyle E(\nu )\propto k}$${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$${\displaystyle \int g(\nu ){\rm {d}}\nu \equiv N\,}$${\displaystyle \Delta C_{\,{\rm {V|\,magnon}}}\,\propto T^{3/2}}$${\displaystyle \,\Delta C_{\,{\rm {V|\,phonon}}}\propto T^{3}}$${\displaystyle \propto T}$

Durante mucho tiempo se pensó que la teoría de los fonones no podía explicar la capacidad calorífica de los líquidos, ya que estos solo soportan fonones longitudinales, pero no transversales, los cuales en los sólidos son responsables de dos tercios de la capacidad calorífica. Sin embargo, experimentos de dispersión de Brillouin con neutrones y rayos X , que confirman una intuición de Yakov Frenkel , ^{[ 10 ]} han demostrado que los fonones transversales sí existen en los líquidos, aunque restringidos a frecuencias superiores a un umbral denominado frecuencia de Frenkel. Dado que la mayor parte de la energía se encuentra en estos modos de alta frecuencia, una simple modificación del modelo de Debye es suficiente para obtener una buena aproximación a las capacidades caloríficas experimentales de líquidos simples. ^{[ 11 ]} Más recientemente, se ha demostrado que los modos normales instantáneos asociados con relajaciones desde puntos de silla en el paisaje energético del líquido, que dominan el espectro de frecuencias de los líquidos a bajas frecuencias, pueden determinar el calor específico de los líquidos en función de la temperatura en un amplio rango. ^{[ 12 ]}

La frecuencia de Debye (símbolo: o ) es un parámetro del modelo de Debye que se refiere a una frecuencia angular de corte para las ondas de una cadena armónica de masas, utilizada para describir el movimiento de iones en una red cristalina y, más específicamente, para predecir correctamente que la capacidad calorífica en dichos cristales es constante a altas temperaturas (ley de Dulong-Petit). El concepto fue introducido por primera vez por Peter Debye en 1912. ^{[ 13 ]}${\displaystyle \omega _{\rm {Debye}}}$${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$

A lo largo de esta sección, se asumen condiciones de contorno periódicas .

Suponiendo que la relación de dispersión es

${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |,}$

Con la velocidad del sonido en el cristal y k el vector de onda, el valor de la frecuencia de Debye es el siguiente: ${\displaystyle v_{\rm {s}}}$

Para una cadena monoatómica unidimensional, la frecuencia de Debye es igual a ^{[ 14 ].}

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}=v_{\rm {s}}\pi /a=v_{\rm {s}}\pi N/L=v_{\rm {s}}\pi \lambda ,}$

donde es la distancia entre dos átomos vecinos en la cadena cuando el sistema está en su estado fundamental de energía, siendo en este caso que ninguno de los átomos se mueve con respecto a otro; es el número total de átomos en la cadena; es el tamaño del sistema, que es la longitud de la cadena; y es la densidad numérica lineal . Para , , y , se cumple la relación . ${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle L}$${\displaystyle N}$${\displaystyle a}$${\displaystyle L=Na}$

Para una red cuadrada monoatómica bidimensional , la frecuencia de Debye es igual a

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi }{a^{2}}}v_{\rm {s}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}\equiv 4\pi \sigma v_{\rm {s}}^{2},}$

donde es el tamaño (área) de la superficie y la densidad numérica de la superficie . ${\displaystyle A\equiv L^{2}=Na^{2}}$${\displaystyle \sigma }$

Para un cristal cúbico primitivo monoatómico tridimensional , la frecuencia de Debye es igual a ^{[ 15 ].}

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}}{a^{3}}}v_{\rm {s}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}\equiv 6\pi ^{2}\rho v_{\rm {s}}^{3},}$

con el tamaño del sistema y la densidad numérica volumétrica . ${\displaystyle V\equiv L^{3}=Na^{3}}$${\displaystyle \rho }$

La fórmula general para la frecuencia de Debye en función de , el número de dimensiones para una red (hiper)cúbica es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{n}=2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{2}}\right){\frac {N}{L^{n}}}v_{\rm {s}}^{n},}$

siendo la función gamma . ${\displaystyle \Gamma }$

La velocidad del sonido en el cristal depende de la masa de los átomos, la intensidad de su interacción, la presión sobre el sistema y la polarización de la onda de espín (longitudinal o transversal), entre otros factores. A continuación, se supone que la velocidad del sonido es la misma para cualquier polarización, aunque esto limita la aplicabilidad del resultado. ^{[ 16 ]}

Se demuestra fácilmente que la relación de dispersión supuesta es inexacta para una cadena unidimensional de masas, pero en el modelo de Debye, esto no resulta problemático.

La temperatura de Debye , otro parámetro del modelo de Debye, está relacionada con la frecuencia de Debye mediante la relación donde es la constante de Planck reducida y es la constante de Boltzmann . ${\displaystyle \theta _{\rm {D}}}$$${\displaystyle \theta _{\rm {D}}={\frac {\hbar }{k_{\rm {B}}}}\omega _{\rm {D}},}$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

En la derivación de la capacidad calorífica de Debye , suma sobre todos los modos posibles del sistema, teniendo en cuenta las diferentes direcciones y polarizaciones. Supuso que el número total de modos por polarización era , la cantidad de masas en el sistema y el total era ^{[ 16 ].}${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N,}$

con tres polarizaciones por modo. La suma se realiza sobre todos los modos sin diferenciar entre las distintas polarizaciones, y luego se cuenta el número total de combinaciones de polarización y modo. Debye hizo esta suposición basándose en una premisa de la mecánica clásica según la cual el número de modos por polarización en una cadena de masas siempre debe ser igual al número de masas en la cadena.

El lado izquierdo se puede explicitar para mostrar cómo depende de la frecuencia de Debye, introducida inicialmente como una frecuencia de corte más allá de la cual no existen frecuencias. Al relacionar la frecuencia de corte con el número máximo de modos, se puede derivar una expresión para dicha frecuencia.

En primer lugar, al suponer que es muy grande ( ≫ 1, con el tamaño del sistema en cualquiera de las tres direcciones), el vector de onda más pequeño en cualquier dirección podría aproximarse mediante: , con . No pueden existir vectores de onda más pequeños debido a las condiciones de contorno periódicas . Por lo tanto, la suma se convertiría en ^{[ 17 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle dk_{i}=2\pi /L}$${\displaystyle i=x,y,z}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ,}$

donde ; es el tamaño del sistema; y la integral es (como sumatoria) sobre todos los modos posibles, que se supone que es una región finita (limitada por la frecuencia de corte). ${\displaystyle \mathbf {k} \equiv (k_{x},k_{y},k_{z})}$${\displaystyle V\equiv L^{3}}$

La integral triple podría reescribirse como una integral simple sobre todos los valores posibles del valor absoluto de (véase el jacobiano para coordenadas esféricas ). El resultado es ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ,}$

con el valor absoluto del vector de onda correspondiente a la frecuencia de Debye, por lo tanto . ${\displaystyle k_{\rm {D}}}$${\displaystyle k_{\rm {D}}=\omega _{\rm {D}}/v_{\rm {s}}}$

Dado que la relación de dispersión es , se puede escribir como una integral sobre todos los posibles : ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega ^{2}d\omega ,}$

Después de resolver la integral, se iguala nuevamente para encontrar ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle {\frac {V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\omega _{\rm {D}}^{3}=3N.}$

Se puede reorganizar en

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}.}$

La misma derivación podría hacerse para una cadena unidimensional de átomos. El número de modos permanece sin cambios, porque todavía hay tres polarizaciones, por lo que

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

El resto de la derivación es análoga a la anterior, por lo que el lado izquierdo se reescribe con respecto a la frecuencia de Debye:

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3L}{2\pi }}\int _{-k_{\rm {D}}}^{k_{\rm {D}}}dk={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega .}$

El último paso se multiplica por dos porque el integrando en la primera integral es par y los límites de integración son simétricos con respecto al origen, por lo que la integral se puede reescribir como de 0 a después de escalarla por un factor de 2. Esto también es equivalente a la afirmación de que el volumen de una bola unidimensional es el doble de su radio. Aplicando un cambio, una sustitución de , nuestros límites ahora son de 0 a , lo que nos da nuestra integral de la derecha. Continuamos; ${\displaystyle k_{D}}$${\displaystyle k={\frac {\omega }{v_{s}}}}$${\displaystyle \omega _{D}=k_{D}v_{s}}$

${\displaystyle {\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega ={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\omega _{\rm {D}}=3N.}$

Conclusión:

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}N}{L}}.}$

La misma derivación podría hacerse para un cristal bidimensional. El número de modos permanece sin cambios, porque todavía hay tres polarizaciones. La derivación es análoga a las dos anteriores. Comenzamos con la misma ecuación,

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

Y luego el lado izquierdo se reescribe y se iguala a${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3A}{(2\pi )^{2}}}\iint d\mathbf {k} ={\frac {3A}{2\pi v_{\rm {s}}^{2}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega d\omega ={\frac {3A\omega _{\rm {D}}^{2}}{4\pi v_{\rm {s}}^{2}}}=3N,}$

¿Cuál es el tamaño del sistema? ${\displaystyle A\equiv L^{2}}$

Se puede reescribir como

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}.}$

En realidad, las ondas longitudinales suelen tener una velocidad distinta a la de las ondas transversales. Suponer que las velocidades son iguales simplificó el resultado final, pero reintroducir esta distinción mejora su precisión.

La relación de dispersión se convierte en , donde , cada uno correspondiente a una de las tres polarizaciones. Sin embargo, la frecuencia de corte no depende de . Podemos escribir el número total de modos como , que nuevamente es igual a . Aquí la suma sobre los modos ahora depende de . ${\displaystyle \omega _{i}=v_{s,i}|\mathbf {k} |}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1}$${\displaystyle 3N}$${\displaystyle i}$

La suma sobre los modos se reescribe

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1=\sum _{i}{\frac {L}{\pi v_{s,i}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega _{i}=3N.}$

El resultado es

${\displaystyle {\frac {L\omega _{\rm {D}}}{\pi }}({\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}})=3N.}$

De esta forma se encuentra la frecuencia de Debye.

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi N}{L}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}}}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3}}{v_{s,2}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,2}}}={\frac {\pi N}{L}}v_{\mathrm {eff} }\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la media armónica de las velocidades para cada polarización. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales tienen la misma velocidad de fase y frecuencia, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,t}v_{s,l}}{2v_{s,l}+v_{s,t}}}.}$

Esta configuración recupera la expresión derivada previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

La misma derivación se puede realizar para un cristal bidimensional para encontrar

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{2}}}}}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{2}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,2})^{2}}}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\mathrm {eff} }^{2}\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la raíz cuadrada de la media armónica de los cuadrados de las velocidades. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{2}}{2v_{s,l}^{2}+v_{s,t}^{2}}}.}$

Esta configuración recupera la expresión derivada previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

La misma derivación se puede realizar para un cristal tridimensional para encontrar (la derivación es análoga a las derivaciones anteriores)

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{3}}}}}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{3}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,2})^{3}}}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\mathrm {eff} }^{3}\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la raíz cúbica de la media armónica de los cubos de velocidades. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{3}}{2v_{s,l}^{3}+v_{s,t}^{3}}}.}$

Esta configuración recupera la expresión derivada previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Este problema podría hacerse más aplicable relajando la suposición de linealidad de la relación de dispersión. En lugar de usar la relación de dispersión , se puede usar una relación de dispersión más precisa. En mecánica clásica, se sabe que para una cadena equidistante de masas que interactúan armónicamente entre sí, la relación de dispersión es ^{[ 16 ].}${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}k}$

$${\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|,}$$

donde es la masa de cada átomo, la constante elástica del oscilador armónico y sigue siendo el espaciado entre átomos en el estado fundamental. Tras graficar esta relación, la estimación de Debye de la longitud de onda de corte basada en la suposición lineal sigue siendo precisa, porque para cada número de onda mayor que (es decir, para es menor que ), se podría encontrar un número de onda menor que con la misma frecuencia angular. Esto significa que la manifestación física resultante para el modo con el mayor número de onda es indistinguible de la que tiene el menor número de onda. Por lo tanto, el estudio de la relación de dispersión puede limitarse a la primera zona de Brillouin sin pérdida de precisión ni información. ^{[ 18 ]} Esto es posible porque el sistema consta de puntos discretizados , como se demuestra en la imagen animada. Dividiendo la relación de dispersión por e insertando para , encontramos que la velocidad de una onda con es ${\displaystyle m}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi /a}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle \pi /a}$${\textstyle k\in \left[-{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \pi /a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\pi /a}$$${\displaystyle v_{\rm {s}}(k=\pi /a)={\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}.}$$

Simplemente insertando en la relación de dispersión original encontramos ${\displaystyle k=\pi /a}$$${\displaystyle \omega (k=\pi /a)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}=\omega _{\rm {D}}.}$$

Al combinar estos resultados se obtiene nuevamente el mismo resultado. $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

Sin embargo, para cualquier cadena de mayor complejidad, incluidas las diatómicas, la frecuencia de corte y la longitud de onda asociadas no son muy precisas, ya que la longitud de onda de corte es el doble y la relación de dispersión consta de ramas adicionales, dos en total para una cadena diatómica. Tampoco se puede afirmar con certeza, a partir de este resultado, si para sistemas de dimensiones superiores la frecuencia de corte fue predicha con precisión por Debye al considerar la relación de dispersión más precisa.

Para una cadena unidimensional, la fórmula de la frecuencia de Debye también puede reproducirse utilizando un teorema que describe el aliasing . Para esta derivación se utiliza el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , con la principal diferencia de que, en el caso de una cadena unidimensional, la discretización no se realiza en el tiempo, sino en el espacio.

La frecuencia de corte se puede determinar a partir de la longitud de onda de corte. Según el teorema de muestreo, sabemos que para longitudes de onda menores que , o el doble de la distancia de muestreo, cada modo es una repetición de un modo con longitud de onda mayor que , por lo que la longitud de onda de corte debería estar en . Esto resulta de nuevo en , lo que produce ${\displaystyle 2a}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=2a}$${\displaystyle k_{\rm {D}}={\frac {2\pi }{\lambda _{D}}}=\pi /a}$$${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

Da igual qué relación de dispersión se utilice, ya que se calcularía la misma frecuencia de corte.

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