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Articulo de referencia

Grado (ángulo)

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Un grado (o grado de arco , grado de arco o grado de arco ), generalmente denotado por ° (el símbolo de grado ), es una unidad de medida de un ángulo plano en la que una rotación completa tiene un valor de 360 ​​grados. [ 4 ] La unidad de medida angular en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es el radián , y un grado es equivalente a π / 180 radianes .

Historia

Un círculo con una cuerda equilátera (roja). Un sexagésimo de este arco es un grado. Seis cuerdas de este tipo completan el círculo. [ 5 ]

Se desconoce la motivación original para elegir el grado como unidad de rotación y ángulos. Una teoría afirma que está relacionada con el hecho de que 360 ​​es aproximadamente el número de días en un año. Los astrónomos antiguos observaron que el sol, que sigue la trayectoria de la eclíptica a lo largo del año, parece avanzar en su trayectoria aproximadamente un grado cada día. Algunos calendarios antiguos , como el persa y el babilónico , utilizaban 360 días para un año. El uso de un calendario con 360 días podría estar relacionado con el uso de números sexagesimales . [ 4 ]

Otra teoría es que los babilonios subdividieron el círculo usando el ángulo de un triángulo equilátero como unidad básica, y luego subdividieron este último en 60 partes siguiendo su sistema numérico sexagesimal. [ 6 ] [ 7 ] La trigonometría más antigua , utilizada por los astrónomos babilonios y sus sucesores griegos , se basaba en cuerdas de un círculo. Una cuerda de longitud igual al radio constituía una cantidad base natural. Un sexagésimo de esta, usando sus divisiones sexagesimales estándar, era un grado.

Aristarco de Samos e Hiparco parecen haber estado entre los primeros científicos griegos en explotar sistemáticamente el conocimiento y las técnicas astronómicas babilónicas. [ 8 ] [ 9 ] Timocaris , Aristarco, Aristillo , Arquímedes e Hiparco fueron los primeros griegos conocidos en dividir el círculo en 360 grados de 60 minutos de arco . Eratóstenes utilizó un sistema sexagesimal más simple que dividía un círculo en 60 partes.

Otra motivación para elegir el número 360 puede haber sido que es fácilmente divisible : 360 tiene 24 divisores , [ nota 1 ] lo que lo convierte en uno de los únicos 7 números tales que ningún número menor que el doble tiene más divisores (secuencia A02182 en el OEIS ) . [ 10 ] Además, es divisible por todos los números del 1 al 10 excepto el 7. [ nota 2 ] Esta propiedad tiene muchas aplicaciones útiles, como dividir el mundo en 24 zonas horarias , cada una de las cuales es nominalmente de 15° de longitud , para correlacionar con la convención establecida del día de 24 horas .

Finalmente, es posible que más de uno de estos factores haya influido. Según esa teoría, el número es aproximadamente 365 debido al movimiento aparente del sol con respecto a la esfera celeste, y se redondeó a 360 por algunas de las razones matemáticas citadas anteriormente.

Subdivisiones

Para muchos fines prácticos, un grado es un ángulo lo suficientemente pequeño como para que los grados enteros proporcionen la precisión necesaria. Cuando esto no es así, como en astronomía o para coordenadas geográficas ( latitud y longitud ), las mediciones en grados se pueden escribir utilizando grados decimales ( notación DD ); por ejemplo, 40,1875°.

Alternativamente, se pueden usar las subdivisiones tradicionales de unidades sexagesimales : un grado se divide en 60 minutos (de arco) y un minuto en 60 segundos (de arco) . El uso de grados, minutos y segundos también se llama notación DMS . [ 11 ] Estas subdivisiones, también llamadas minuto de arco y segundo de arco , se representan con una prima simple (′) y una prima doble (″) respectivamente. Por ejemplo, 40,1875° = 40° 11′ 15″ . Se puede proporcionar precisión adicional usando fracciones decimales de un segundo de arco.

Las cartas náuticas están marcadas en grados y minutos decimales para facilitar la medición; 1 minuto de latitud equivale a 1 milla náutica . El ejemplo anterior se representaría como 40°  11,25′.

El antiguo sistema de tercios , cuartos , etc., que continúa la subdivisión de la unidad sexagesimal, fue utilizado por al-Kashi y otros astrónomos antiguos, pero rara vez se usa hoy en día. Estas subdivisiones se denotaban escribiendo el número romano correspondiente al número de sexagésimos en superíndice: 1 I para un « primo » (minuto de arco), 1 II para un segundo , 1 III para un tercio , 1 IV para un cuarto , etc. [ 12 ] Por lo tanto, los símbolos modernos para el minuto y el segundo de arco, y la palabra «segundo», también se refieren a este sistema. [ 13 ]

Los prefijos del SI también se pueden aplicar al grado, como en miligrado , microgrado , etc.

Unidades alternativas

Una tabla para convertir entre grados y radianes.

En la mayoría de los trabajos matemáticos , más allá de la geometría práctica, los ángulos se miden típicamente en radianes en lugar de grados. Esto se debe a varias razones; por ejemplo, las funciones trigonométricas tienen propiedades más simples y "naturales" cuando sus argumentos se expresan en radianes. Estas consideraciones superan la conveniente divisibilidad del número 360. Una vuelta completa (360°) es igual a 2π radianes , por lo que 180° es igual a π radianes, o equivalentemente, el grado es una constante matemática : 1° = π / 180 .

Una vuelta (que corresponde a un ciclo o revolución) equivale a 360°.

Con la invención del sistema métrico , basado en potencias de diez, se intentó reemplazar los grados por grados decimales en Francia y países cercanos, [ nota 3 ] donde el número en un ángulo recto es igual a 100  gon con 400  gon en un círculo completo (1° = 10 ⁄ 9 gon). Esto se denominó grade (nouveau) o grad . Debido a la confusión con el término existente grad(e) en algunos países del norte de Europa (que significa un grado estándar, ⁠ 1 / 360 ⁠ de una vuelta), la nueva unidad se denominó Neugrad en alemán (mientras que el grado "antiguo" se denominaba Altgrad ), de igual manera nygrad en danés , sueco y noruego (también gradian ), y nýgráða en islandés . Para acabar con la confusión, posteriormente se adoptó el nombre gon para la nueva unidad. Aunque Napoleón abandonó la idea de la metrificación, los grados continuaron utilizándose en diversos campos y muchas calculadoras científicas los admiten. Los decigrados ( 1/4000 ) se usaron en las miras de la artillería francesa durante la Primera Guerra Mundial . 

El mil angular , que se utiliza principalmente en aplicaciones militares, tiene al menos tres variantes específicas, que van desde 1/6400 hasta 1/6000 . Es aproximadamente igual a un milirradián (aprox. 1/6283 ) . Un mil que mide 1/6000 de revolución se originó en el ejército imperial ruso , donde una cuerda equilátera se dividía en décimas para formar un círculo de 600 unidades. Esto se puede observar en un plano de alineación (un dispositivo primitivo para apuntar la artillería de fuego indirecto ) que data de alrededor de 1900 en el Museo de Artillería de San Petersburgo .

Véase también

Notas

  1. ↑ Los divisores de 360 ​​son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360.
  2. ↑ Compárese esto con el relativamente engorroso 2520 , que es el mínimo común múltiplo de todos los números del 1 al 10.
  3. ↑ Estos nuevos "grados" decimales no deben confundirse con los grados decimales .

Referencias

  1. 1 2 HP  48G Series – Guía del usuario (UG) (8.ª  ed.). Hewlett-Packard . Diciembre de 1994 [1993]. HP 00048-90126, (00048-90104) . Consultado el 6 de septiembre de 2015 .
  2. 1 2 Guía del usuario de la calculadora gráfica HP 50g (UG) (1.ª ed.). Hewlett-Packard . 1 de abril de 2006. HP F2229AA-90006 . Consultado el 10 de octubre de 2015 . 
  3. ↑ Guía del usuario de la calculadora gráfica HP Prime (UG) (PDF) (1.ª ed.). Hewlett-Packard Development Company, LP, octubre de 2014. HP 788996-001. Archivado del original (PDF) el 3 de septiembre de 2014. Consultado el 13 de octubre de 2015 . 
  4. 1 2 Weisstein, Eric W. "Grado" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
  5. ^ Euclides (2008). "Libro 4". Elementos de geometría de Euclides [ Euclidis Elementa, editit et Latine interpretatus est IL Heiberg, in aedibus BG Teubneri 1883–1885 ] . Traducido por Heiberg, Johan Ludvig ; Fitzpatrick, Richard (2 ed.). Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN  978-0-6151-7984-1.
  6. ↑ Jeans, James Hopwood (1947). El crecimiento de la ciencia física . Cambridge University Press (CUP). pág. 7 . 
  7. ↑ Murnaghan, Francis Dominic (1946). Geometría analítica . pág. 2. 
  8. ↑ Rawlins, Dennis. "Sobre Aristarco" . DIO - Revista Internacional de Historia Científica .
  9. ↑ Toomer, Gerald James . Hiparco y la astronomía babilónica .
  10. ↑ Brefeld, Werner. "Teilbarkeit hochzusammengesetzter Zahlen" [ Divisibilidad de números altamente compuestos ] (en alemán).
  11. ↑ Chang, Kang-Tsung (2019). Introducción a los sistemas de información geográfica (9.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill Education. pág. 24. ISBN   978-1-259-92964-9. LCCN 2017049567 . 
  12. ↑ Al-Biruni (1879) [1000]. Cronología de las naciones antiguas . Traducido por Sachau, C. Edward. pp. 147–149 . 
  13. ↑ Flegg, Graham H. (1989). Los números a través de las épocas . Macmillan International Higher Education . págs. 156–157 . ISBN  1-34920177-4.
  • "Los grados como medida de ángulo" ., con animación interactiva
  • Gray, Meghan; Merrifield, Michael; Moriarty, Philip (2009). "° Grado de ángulo" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .