Decágono

La imagen muestra un decágono regular con longitud de lado${\displaystyle a}$y radio${\displaystyle R}$del círculo circunscrito .

• El triángulo${\displaystyle E_{10}E_{1}M}$tiene dos patas de igual longitud${\displaystyle R}$y una base con longitud${\displaystyle a}$
• El círculo alrededor${\displaystyle E_{1}}$con radio${\displaystyle a}$interseca${\displaystyle ]M\,E_{10}[}$en un punto${\displaystyle P}$(no indicado en la imagen).
• Ahora el triángulo${\displaystyle {E_{10}E_{1}P}\;}$es un triángulo isósceles con vértice${\displaystyle E_{1}}$y con ángulos de base${\displaystyle m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;}$.
• Por lo tanto${\displaystyle m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;}$. Entonces${\displaystyle \;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;}$y por lo tanto${\displaystyle \;E_{1}MP\;}$es también un triángulo isósceles con vértice${\displaystyle P}$. La longitud de sus patas es${\displaystyle a}$, por lo que la longitud de${\displaystyle [P\,E_{10}]}$es${\displaystyle Ra}$.
• Los triángulos isósceles${\displaystyle E_{10}E_{1}M\;}$y${\displaystyle PE_{10}E_{1}\;}$tienen ángulos iguales de 36° en el vértice, por lo que son semejantes , por lo tanto:${\displaystyle \;{\frac {a}{R}}={\frac {Ra}{a}}}$
• Multiplicación con denominadores${\displaystyle R,a>0}$conduce a la ecuación cuadrática:${\displaystyle \;a^{2}=R^{2}-aR\;}$
• Esta ecuación para la longitud del lado${\displaystyle a\,}$tiene una solución positiva:${\displaystyle \;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})}$

Así pues, el decágono regular se puede construir con regla y compás .

Conclusiones adicionales

${\displaystyle \;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;}$y la altura base de${\displaystyle \Delta \,E_{10}E_{1}M\,}$(es decir, la longitud de${\displaystyle [M\,D]}$) es${\displaystyle h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;}$y el triángulo tiene el área:${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$.

El área de un decágono regular de longitud de lado a viene dada por: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

En términos de la apotema r (véase también la figura inscrita ), el área es:

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}$

En términos del radio de la circunferencia circunscrita R , el área es:

${\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}$

Una fórmula alternativa es${\displaystyle A=2.5da}$donde d es la distancia entre lados paralelos, o la altura cuando el decágono se apoya sobre un lado como base, o el diámetro del círculo inscrito del decágono . Por trigonometría simple ,

${\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}$

y se puede escribir algebraicamente como

${\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

Como 10 = 2 × 5, una potencia de dos veces un primo de Fermat , se deduce que un decágono regular se puede construir usando compás y regla , o mediante la bisección de un pentágono regular . ^{[ 4 ]}

Construcción del decágono

Construcción del pentágono

Un método alternativo (pero similar) es el siguiente:

1. Construye un pentágono dentro de un círculo mediante uno de los métodos mostrados en la sección sobre cómo construir un pentágono .
2. Traza una línea desde cada vértice del pentágono, pasando por el centro del círculo , hasta el lado opuesto de ese mismo círculo. El punto donde cada línea corta el círculo es un vértice del decágono. En otras palabras, la imagen de un pentágono regular, reflejada respecto a su centro, es un pentágono concéntrico y congruente , y ambos pentágonos suman en total los vértices de un decágono regular concéntrico .
3. Los cinco vértices del pentágono forman vértices alternos del decágono. Une estos puntos con los nuevos puntos adyacentes para formar el decágono.

El decágono sesgado regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, mostrados en estas proyecciones ortogonales en varios planos de Coxeter : ^{[ 9 ]} El número de lados en el polígono de Petrie es igual al número de Coxeter , h , para cada familia de simetría.