Producción en pareja

Estas propiedades se pueden derivar a través de la cinemática de la interacción. Utilizando la notación de cuatro vectores , la conservación de la energía-momento antes y después de la interacción da como resultado: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle p_{\gamma }=p_{{\text{e}}^{-}}+p_{{\text{e}}^{+}}+p_{\text{ʀ}}}$

dónde${\displaystyle p_{\text{ʀ}}}$es el retroceso del núcleo. Nótese el módulo del cuadrivector

${\displaystyle A\equiv (A^{0},\mathbf {A} )}$

es

${\displaystyle A^{2}=A^{\mu }A_{\mu }=-(A^{0})^{2}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }$

lo cual implica que${\displaystyle (p_{\gamma })^{2}=0}$para todos los casos y${\displaystyle (p_{{\text{e}}^{-}})^{2}=-m_{\text{e}}^{2}c^{2}}$Podemos elevar al cuadrado la ecuación de conservación.

${\displaystyle (p_{\gamma })^{2}=(p_{{\text{e}}^{-}}+p_{{\text{e}}^{+}}+p_{\text{ʀ}})^{2}}$

Sin embargo, en la mayoría de los casos el retroceso del núcleo es pequeño en comparación con la energía del fotón y puede despreciarse. Tomando esta aproximación de${\displaystyle p_{R}\approx 0}$y ampliando la relación restante

${\displaystyle (p_{\gamma })^{2}\approx (p_{{\text{e}}^{-}})^{2}+2p_{{\text{e}}^{-}}p_{{\text{e}}^{+}}+(p_{{\text{e}}^{+}})^{2}}$

${\displaystyle -2\,m_{\text{e}}^{2}c^{2}+2\left(-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+\mathbf {p} _{{\text{e}}^{-}}\cdot \mathbf {p} _{{\text{e}}^{+}}\right)\approx 0}$

${\displaystyle 2\,(\gamma ^{2}-1)\,m_{\text{e}}^{2}\,c^{2}\,(\cos \theta _{\text{e}}-1)\approx 0}$

Por lo tanto, esta aproximación solo puede satisfacerse si el electrón y el positrón se emiten en direcciones muy cercanas, es decir,${\displaystyle \theta _{\text{e}}\approx 0}$.

Esta derivación es una aproximación semiclasica. Se puede realizar una derivación exacta de la cinemática teniendo en cuenta la dispersión cuántica completa del fotón y el núcleo .

La transferencia de energía al electrón y al positrón en las interacciones de producción de pares viene dada por

${\displaystyle (E_{k}^{pp})_{\text{tr}}=h\nu -2\,m_{\text{e}}c^{2}}$

dónde${\displaystyle h}$es la constante de Planck ,${\displaystyle \nu }$es la frecuencia del fotón y la${\displaystyle 2\,m_{\text{e}}c^{2}}$es la masa en reposo combinada del electrón-positrón. En general, el electrón y el positrón pueden ser emitidos con diferentes energías cinéticas, pero el promedio transferido a cada uno (ignorando el retroceso del núcleo) es

${\displaystyle ({\bar {E}}_{k}^{pp})_{\text{tr}}={\frac {1}{2}}(h\nu -2\,m_{\text{e}}c^{2})}$

La forma analítica exacta para la sección eficaz de producción de pares debe calcularse mediante electrodinámica cuántica en forma de diagramas de Feynman y da como resultado una función compleja. Para simplificar, la sección eficaz se puede escribir como:

${\displaystyle \sigma =\alpha \,r_{\text{e}}^{2}\,Z^{2}\,P(E,Z)}$

dónde${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina ,${\displaystyle r_{\text{e}}}$es el radio clásico del electrón ,${\displaystyle Z}$es el número atómico del material, y${\displaystyle P(E,Z)}$es una función de valor complejo que depende de la energía y el número atómico. Las secciones transversales se presentan en tablas para diferentes materiales y energías.

En 2008, el láser Titan , apuntando a un blanco de oro  de 1 milímetro de espesor , se utilizó para generar pares positrón-electrón en grandes cantidades. ^{[ 7 ]}