Decimal

Un sistema decimal (también llamado decenario o base diez ) es un sistema numérico que utiliza el diez como su base . Los sistemas decimales son el estándar global para representar números enteros y no enteros . La forma de representar números en un sistema decimal se conoce comúnmente como notación decimal . ^{[ 1 ]} Actualmente, el sistema decimal más común es el sistema de numeración indoarábigo , que es un sistema de numeración posicional . Sin embargo, también existen sistemas de base diez no posicionales, como los números romanos o chinos .

Un numeral decimal (también a menudo simplemente decimal o, menos correctamente, número decimal ) generalmente se refiere a la notación de un número en un sistema de numeración decimal. Los decimales no enteros pueden identificarse mediante un separador decimal (generalmente "." o "," como en 25.9703 o 3.1415 ). ^{[ 2 ]} En inglés, la palabra decimal a menudo se refiere a los dígitos después del separador decimal, por ejemplo, que " 3.14 es la aproximación de π a dos decimales " o " dos decimales ".

Los números que pueden representarse con exactitud mediante un decimal de longitud finita son las fracciones decimales . Es decir, fracciones de la forma a /10ⁿ ^, donde a es un número entero y n es un número entero no negativo . Las fracciones decimales también resultan de la suma de un número entero y una parte fraccionaria ; la suma resultante a veces se denomina número fraccionario .

Los decimales se utilizan comúnmente para aproximar números reales. Al aumentar el número de dígitos después del separador decimal, se pueden reducir los errores de aproximación tanto como se desee, siempre que se disponga de un método para calcular los nuevos dígitos. En ciencias, el número de decimales suele indicar la precisión con la que se conoce una cantidad; por ejemplo, si se indica una masa de 1,32 miligramos, generalmente significa que existe una confianza razonable en que la masa real se encuentra entre 1,315 y 1,325 miligramos, mientras que si se indica 1,320 miligramos, entonces es probable que esté entre 1,3195 y 1,3205 miligramos. Lo mismo ocurre en matemáticas puras; por ejemplo, si se calcula la raíz cuadrada de 22 con dos decimales, el resultado es 4,69, mientras que si se calcula con tres decimales, el resultado es 4,690. El cero adicional al final es significativo, a pesar de que 4,69 y 4,690 son el mismo número real.

En principio, la expansión decimal de cualquier número real puede llevarse a cabo hasta donde se desee más allá del punto decimal. Si la expansión llega a un punto donde todos los dígitos restantes son cero, entonces el resto puede omitirse, y dicha expansión se llama decimal finito . Un decimal periódico es un decimal infinito que, después de cierta posición, repite indefinidamente la misma secuencia de dígitos (por ejemplo, 5.123144144144144... = 5.123 144 ). ^{[ 3 ]} Un decimal infinito representa un número racional , el cociente de dos enteros, si y solo si es un decimal periódico o tiene un número finito de dígitos distintos de cero.

Muchos sistemas de numeración de civilizaciones antiguas utilizan el diez y sus exponentes para representar números, posiblemente porque hay diez dedos en cada mano y la gente comenzó a contar usando los dedos. Ejemplos de ello son, en primer lugar, los numerales egipcios , luego los numerales brahmi , los numerales griegos , los numerales hebreos , los numerales romanos y los numerales chinos . ^{[ 4 ]} Los números muy grandes eran difíciles de representar en estos antiguos sistemas de numeración, y solo los mejores matemáticos eran capaces de multiplicar o dividir números grandes. Estas dificultades se resolvieron por completo con la introducción del sistema de numeración indoarábigo para representar números enteros . Este sistema se ha extendido para representar algunos números no enteros, llamados fracciones decimales o números decimales , para formar el sistema de numeración decimal . ^{[ 4 ]}

Para escribir números, un sistema decimal normalmente utiliza diez dígitos decimales , una marca decimal y, para los números negativos , un signo menos "−". Los dígitos decimales en números arábigos son 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; ^{[ 5 ]} el separador decimal es el punto " . " en muchos países (principalmente de habla inglesa), ^{[ 6 ]} y una coma " , " en otros países. ^{[ 2 ]}

Para representar un número no negativo , un numeral decimal consta de:

• ya sea una secuencia (finita) de dígitos (como "2017"), donde toda la secuencia representa un número entero:

  ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}$

• o una marca decimal que separa dos secuencias de dígitos (como "20.70828").

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$.

Si m > 0 , es decir, si la primera secuencia contiene al menos dos dígitos, generalmente se asume que el primer dígito a _m no es cero. En algunas circunstancias puede ser útil tener uno o más 0 a la izquierda; esto no cambia el valor representado por el decimal: por ejemplo, 3.14 = 03.14 = 003.14 . De manera similar, si el último dígito a la derecha de la marca decimal es cero, es decir, si b _n = 0 , se puede eliminar; por el contrario, se pueden agregar ceros finales después de la marca decimal sin cambiar el número representado; ^{[ nota 1 ]} por ejemplo, 15 = 15.0 = 15.00 y 5.2 = 5.20 = 5.200 .

Para representar un número negativo , se coloca un signo menos delante de la _m .

El numeral${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$representa el número

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$.

La parte entera de un número decimal es el número entero que se encuentra a la izquierda del separador decimal (véase también truncamiento ). Para un número decimal no negativo, es el mayor entero que no es mayor que el decimal. La parte que se encuentra a la derecha del separador decimal es la parte fraccionaria , que equivale a la diferencia entre el número y su parte entera.

Cuando la parte entera de un número es cero, puede ocurrir, sobre todo en informática , que no se escriba la parte entera (por ejemplo, .1234 en lugar de 0.1234 ). En la escritura normal, esto se suele evitar, debido al riesgo de confusión entre la coma decimal y otros signos de puntuación.

En resumen, la contribución de cada dígito al valor de un número depende de su posición en el numeral.

Las fracciones decimales (a veces llamadas números decimales , especialmente en contextos que involucran fracciones explícitas) son los números racionales que pueden expresarse como una fracción cuyo denominador es una potencia de diez. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, las expresiones decimales${\displaystyle 0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159}$representan las fracciones ⁠ 8 / 10 ⁠ , ⁠ 1489 / 100 ⁠ , ⁠ 79 / 100000 ⁠ , ⁠ + 1618 / 1000 ⁠ y ⁠ + 314159 / 100000 ⁠ , y por lo tanto denotan fracciones decimales. Un ejemplo de una fracción que no puede representarse mediante una expresión decimal (con un número finito de dígitos) es ⁠ 1 / 3 ⁠ , ya que 3 no es una potencia de 10.

En términos más generales, un decimal con n dígitos después del separador (un punto o una coma) representa la fracción con denominador 10 ⁿ , cuyo numerador es el entero obtenido al eliminar el separador.

De ello se deduce que un número es una fracción decimal si y solo si tiene una representación decimal finita.

Expresados ​​como fracciones totalmente simplificadas , los números decimales son aquellos cuyo denominador es producto de una potencia de 2 y una potencia de 5. Por lo tanto, los denominadores más pequeños de los números decimales son:

${\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }$

Para un número real x y un entero n ≥ 0 , sea [ x ] _n la expansión decimal (finita) del mayor número que no es mayor que x que tiene exactamente n dígitos después de la coma decimal. Sea d _i el último dígito de [ x ] _i . Es fácil ver que [ x ] _n se puede obtener agregando d _n a la derecha de [ x ] _{n −1} . De esta manera se tiene

[ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _{n −1} d _n ,

y la diferencia de [ x ] _{n −1} y [ x ] _n es igual a

${\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}$,

que es 0, si d _n = 0 , o se vuelve arbitrariamente pequeño cuando n tiende a infinito. Según la definición de límite , x es el límite de [ x ] _n cuando n tiende a infinito . Esto se escribe como${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$o

x = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ... ,

lo cual se denomina una expansión decimal infinita de x .

Por el contrario, para cualquier entero [ x ] ₀ y cualquier secuencia de dígitos${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$La expresión (infinita) [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ... es una expansión decimal infinita de un número real x . Esta expansión es única si ni todos los d _n son iguales a 9 ni todos los d _n son iguales a 0 para n suficientemente grande (para todo n mayor que algún número natural N ).

Si todos los d _n para n > N son iguales a 9 y [ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n , el límite de la secuencia${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$es la fracción decimal que se obtiene al reemplazar el último dígito que no es un 9, es decir: d _N , por d _N + 1 , y reemplazar todos los 9 subsiguientes por 0 (ver 0,999... ).

Cualquier fracción decimal de este tipo, es decir: d _n = 0 para n > N , puede convertirse a su expansión decimal infinita equivalente reemplazando d _N por d _N − 1 y reemplazando todos los 0 subsiguientes por 9 (ver 0,999... ).

En resumen, cada número real que no es una fracción decimal tiene una única expansión decimal infinita. Cada fracción decimal tiene exactamente dos expansiones decimales infinitas: una que contiene solo ceros después de alguna posición, que se obtiene mediante la definición anterior de [ x ] _n , y otra que contiene solo nueves después de alguna posición, que se obtiene definiendo [ x ] _n como el mayor número menor que x , que tiene exactamente n dígitos después de la coma decimal.

La mayoría de los sistemas informáticos modernos , tanto de hardware como de software, suelen utilizar internamente una representación binaria (aunque muchos ordenadores antiguos, como el ENIAC o el IBM 650 , utilizaban internamente una representación decimal). ^{[ 8 ]} Para uso externo por parte de especialistas en informática, esta representación binaria se presenta a veces en los sistemas octal o hexadecimal correspondientes.

Sin embargo, en la mayoría de los casos, los valores binarios se convierten a sus equivalentes decimales, o viceversa, para su presentación o entrada por parte de los usuarios; los programas informáticos expresan los literales en decimal por defecto. (Por ejemplo, 123.1 se escribe como tal en un programa informático, aunque muchos lenguajes de programación no pueden codificar ese número con precisión).

Tanto el hardware como el software informático utilizan representaciones internas que son efectivamente decimales para almacenar valores decimales y realizar operaciones aritméticas. A menudo, estas operaciones se realizan sobre datos codificados mediante alguna variante del sistema decimal codificado en binario (BCD ) , ^{[ 9 ] [ 10 ]} especialmente en implementaciones de bases de datos, pero existen otras representaciones decimales en uso (incluida la coma flotante decimal, como en las revisiones más recientes del estándar IEEE 754 para aritmética de coma flotante ). ^{[ 11 ]}

La aritmética decimal se utiliza en las computadoras para que los resultados fraccionarios decimales de la suma (o resta) de valores con una longitud fija de su parte fraccionaria siempre se calculen con esa misma longitud de precisión. Esto es especialmente importante para los cálculos financieros, por ejemplo, que requieren en sus resultados múltiplos enteros de la unidad monetaria más pequeña para fines contables. Esto no es posible en binario, porque las potencias negativas de${\displaystyle 10}$no tienen representación fraccionaria binaria finita; y generalmente es imposible multiplicarlas (o dividirlas). ^{[ 12 ] [ 13 ]} Véase Aritmética de precisión arbitraria para cálculos exactos.

Muchas culturas antiguas calculaban con numerales basados ​​en diez, tal vez porque dos manos humanas tienen diez dedos. ^{[ 14 ]} Los pesos estandarizados utilizados en la civilización del valle del Indo ( c. 3300–1300 a. C. ) se basaban en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500, mientras que su regla estandarizada, la regla de Mohenjo-daro , estaba dividida en diez partes iguales. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Los jeroglíficos egipcios , presentes desde alrededor del 3000 a. C., utilizaban un sistema puramente decimal, ^{[ 18 ]} al igual que la escritura Lineal A ( c. 1800–1450 a. C. ) de los minoicos ^{[ 19 ] [ 20 ]} y la escritura Lineal B (c. 1400–1200 a. C.) de los micénicos . La cultura Únětice en Europa central (2300-1600 a. C.) utilizaba pesos estandarizados y un sistema decimal en el comercio. ^{[ 21 ]} El sistema numérico de la Grecia clásica también utilizaba potencias de diez, incluyendo una base intermedia de 5, al igual que los números romanos . ^{[ 22 ]} Cabe destacar que el polímata Arquímedes (c. 287–212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal en su Calculador de Arena que se basaba en 10 ⁸ . ^{[ 22 ] [ 23 ]} Los jeroglíficos hititas (desde el siglo XV a. C.) también eran estrictamente decimales. ^{[ 24 ]}

Los numerales hieráticos egipcios, los numerales del alfabeto griego, los numerales del alfabeto hebreo, los numerales romanos, los numerales chinos y los primeros numerales Brahmi de la India son todos sistemas decimales no posicionales y requerían una gran cantidad de símbolos. Por ejemplo, los numerales egipcios usaban diferentes símbolos para 10, 20 a 90, 100, 200 a 900, 1000, 2000, 3000, 4000 y 10 000. ^{[ 25 ]} El sistema decimal posicional más antiguo del mundo fue el cálculo de varillas chino . ^{[ 26 ]}

Historia de las fracciones decimales

A partir del siglo II a. C., algunas unidades chinas de longitud se basaban en divisiones de diez; para el siglo III d. C., estas unidades metrológicas se utilizaban para expresar fracciones decimales de longitudes, no posicionalmente. ^{[ 27 ]} Los cálculos con fracciones decimales de longitudes se realizaban utilizando varillas de conteo posicionales , como se describe en el Sunzi Suanjing de los siglos III-V d. C. El matemático Zu Chongzhi del siglo V d. C. calculó una aproximación de π de 7 dígitos . El libro de Qin Jiushao , Tratado matemático en nueve secciones (1247), escribe explícitamente una fracción decimal que representa un número en lugar de una medida, utilizando varillas de conteo. ^{[ 28 ]} El número 0,96644 se denota

寸

.

Los historiadores de la ciencia china han especulado que la idea de las fracciones decimales pudo haber sido transmitida de China a Oriente Medio. ^{[ 26 ]}

Al-Juarismi introdujo las fracciones en los países islámicos a principios del siglo IX d. C., escribiéndolas con el numerador arriba y el denominador abajo, sin barra horizontal. Esta forma de fracción se mantuvo en uso durante siglos. ^{[ 26 ] [ 29 ]}

Las fracciones decimales posicionales aparecen por primera vez en un libro del matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi , escrito en el siglo X. ^{[ 30 ]} El matemático judío Immanuel Bonfils utilizó fracciones decimales alrededor de 1350, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. ^{[ 31 ]} El matemático persa Jamshid al-Kashi avanzó significativamente la teoría en el siglo XV. En su obra, La clave de la aritmética (Miftah al-Hisab), al-Kashi proporcionó el primer tratamiento sistemático y completo de las fracciones decimales como un sistema completo, anticipándose a desarrollos europeos similares en casi 175 años. ^{[ 32 ]}

Un precursor de la notación decimal europea moderna fue introducido por Simon Stevin en el siglo XVI. El influyente folleto de Stevin, De Thiende ("el arte de las décimas"), se publicó por primera vez en neerlandés en 1585 y se tradujo al francés como La Disme . ^{[ 33 ]}

John Napier introdujo el uso del punto (.) para separar la parte entera de un número decimal de la parte fraccionaria en su libro sobre la construcción de tablas de logaritmos, publicado póstumamente en 1620. ^{[ 34 ] : pág. 8, archivo pág. 32}