Conjuntos aproximados de teoría de decisiones

En la teoría matemática de las decisiones , los conjuntos aproximados teóricos de decisiones ( DTRS ) son una extensión probabilística de la clasificación de conjuntos aproximados . Creada por primera vez en 1990 por el Dr. Yiyu Yao, ^[1] la extensión hace uso de funciones de pérdida para derivar parámetros de región. Al igual que los conjuntos aproximados, se utilizan las aproximaciones inferior y superior de un conjunto. ${\displaystyle \textstyle \alpha}$${\displaystyle \textstyle \beta }$

A continuación se contienen los principios básicos de los conjuntos aproximados de teoría de decisiones.

Utilizando el procedimiento de decisión bayesiano, el enfoque de conjunto aproximado teórico de decisiones (DTRS) permite tomar decisiones con el mínimo riesgo basándose en evidencia observada. Sea un conjunto finito de acciones posibles y sea un conjunto finito de estados. se calcula como la probabilidad condicional de que un objeto se encuentre en un estado dada la descripción del objeto . denota la pérdida, o el costo, de realizar una acción cuando el estado es . La pérdida esperada (riesgo condicional) asociada con la realización de una acción está dada por: ${\displaystyle \textstyle A=\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle \Omega =\{w_{1},\ldots,w_{s}\}}$${\estilo de visualización s}$${\displaystyle \textstyle P(w_{j}\mid [x])}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle w_ {j}}$${\displaystyle \textstyle [x]}$${\displaystyle \textstyle \lambda (a_ {i} \ mid w_ {j})}$${\displaystyle \textstyle a_ {i}}$${\displaystyle \textstyle w_ {j}}$${\displaystyle \textstyle a_ {i}}$

${\displaystyle R(a_{i}\mid [x])=\sum _{j=1}^{s}\lambda (a_{i}\mid w_{j})P(w_{j}\mid [x]).}$

La clasificación de objetos con los operadores de aproximación se puede ajustar al marco de decisión bayesiano. El conjunto de acciones está dado por , donde , , y representan las tres acciones para clasificar un objeto en POS( ), NEG( ) y BND( ) respectivamente. Para indicar si un elemento está o no en , el conjunto de estados está dado por . Sea , la pérdida incurrida al tomar una acción cuando un objeto pertenece a , y sea , la pérdida incurrida al tomar la misma acción cuando el objeto pertenece a . ${\displaystyle \textstyle A=\{a_{P},a_{N},a_{B}\}}$${\displaystyle \textstyle a_{P}}$${\displaystyle \textstyle a_{N}}$${\displaystyle \textstyle a_{B}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle \Omega =\{A,A^{c}\}}$${\displaystyle \textstyle \lambda (a_{\diamond }\mid A)}$${\displaystyle \textstyle a_{\diamond }}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle \lambda (a_{\diamond }\mid A^{c})}$${\displaystyle \textstyle A^{c}}$

Sea la función de pérdida para clasificar un objeto en la región POS, sea la función de pérdida para clasificar un objeto en la región BND y sea la función de pérdida para clasificar un objeto en la región NEG. Una función de pérdida denota la pérdida de clasificación de un objeto que no pertenece a las regiones especificadas por . ${\displaystyle \textstyle \lambda _{PP}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle \lambda _{BP}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle \lambda _{NP}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle \lambda _{\diamond N}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle \diamond }$

La toma de decisiones individuales puede asociarse con las acciones de pérdida esperadas y puede expresarse como: ${\displaystyle \textstyle R(a_{\diamond }\mid [x])}$

${\displaystyle \textstyle R(a_{P}\mid [x])=\lambda _{PP}P(A\mid [x])+\lambda _{PN}P(A^{c}\mid [x]),}$

${\displaystyle \textstyle R(a_{N}\mid [x])=\lambda _{NP}P(A\mid [x])+\lambda _{NN}P(A^{c}\mid [x]),}$

${\displaystyle \textstyle R(a_{B}\mid [x])=\lambda _{BP}P(A\mid [x])+\lambda _{BN}P(A^{c}\mid [x]),}$

donde , , y , , o . ${\displaystyle \textstyle \lambda _{\diamond P}=\lambda (a_{\diamond }\mid A)}$${\displaystyle \textstyle \lambda _{\diamond N}=\lambda (a_{\diamond }\mid A^{c})}$${\displaystyle \textstyle \diamond =P}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B}$

Si consideramos las funciones de pérdida y , se formulan las siguientes reglas de decisión ( P , N , B ): ${\displaystyle \textstyle \lambda _{PP}\leq \lambda _{BP}<\lambda _{NP}}$${\displaystyle \textstyle \lambda _{NN}\leq \lambda _{BN}<\lambda _{PN}}$

• P : Si y , decide POS( );${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])\geq \gamma }$${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])\geq \alpha }$${\displaystyle \textstyle A}$
• N : Si y , decide NEG( );${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])\leq \beta }$${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])\leq \gamma }$${\displaystyle \textstyle A}$
• B : Si , decide BND( );${\displaystyle \textstyle \beta \leq P(A\mid [x])\leq \alpha }$${\displaystyle \textstyle A}$

dónde,

${\displaystyle \alpha ={\frac {\lambda _{PN}-\lambda _{BN}}{(\lambda _{BP}-\lambda _{BN})-(\lambda _{PP}-\lambda _{PN})}},}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {\lambda _{PN}-\lambda _{NN}}{(\lambda _{NP}-\lambda _{NN})-(\lambda _{PP}-\lambda _{PN})}},}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\lambda _{BN}-\lambda _{NN}}{(\lambda _{NP}-\lambda _{NN})-(\lambda _{BP}-\lambda _{BN})}}.}$

Los valores , , y definen las tres regiones diferentes, lo que nos da un riesgo asociado para clasificar un objeto. Cuando , obtenemos y podemos simplificar ( P , N , B ) en ( P 1, N 1, B 1): ${\displaystyle \textstyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle \beta }$${\displaystyle \textstyle \gamma }$${\displaystyle \textstyle \alpha >\beta }$${\displaystyle \textstyle \alpha >\gamma >\beta }$

• P1 : Si , decide POS( );${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])\geq \alpha }$${\displaystyle \textstyle A}$
• N1 : Si , decide NEG( );${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])\leq \beta }$${\displaystyle \textstyle A}$
• B1 : Si , decide BND( ).${\displaystyle \textstyle \beta <P(A\mid [x])<\alpha }$${\displaystyle \textstyle A}$

Cuando , podemos simplificar las reglas (PB) en (P2-B2), que dividen las regiones basándose únicamente en : ${\displaystyle \textstyle \alpha =\beta =\gamma }$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

• P2 : Si , decide POS( );${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])>\alpha }$${\displaystyle \textstyle A}$
• N2 : Si , decide NEG( );${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])<\alpha }$${\displaystyle \textstyle A}$
• B2 : Si , decide BND( ).${\displaystyle \textstyle P(A\mid [x])=\alpha }$${\displaystyle \textstyle A}$

La minería de datos , la selección de características , la recuperación de información y las clasificaciones son solo algunas de las aplicaciones en las que se ha utilizado con éxito el enfoque DTRS.

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