Subespacios libres de decoherencia

Un subespacio libre de decoherencia ( DFS ) es un subespacio del espacio de Hilbert de un sistema cuántico que es invariante a la dinámica no unitaria . Dicho de otro modo, son una pequeña sección del espacio de Hilbert del sistema donde este se desacopla del entorno y, por lo tanto, su evolución es completamente unitaria. Los DFS también pueden caracterizarse como una clase especial de códigos de corrección de errores cuánticos . En esta representación, son códigos pasivos de prevención de errores, ya que estos subespacios están codificados con información que (posiblemente) no requerirá ningún método de estabilización activa . Estos subespacios previenen interacciones ambientales destructivas al aislar la información cuántica . Por ello, son un tema importante en la computación cuántica , donde el control ( coherente ) de los sistemas cuánticos es el objetivo deseado. La decoherencia crea problemas en este sentido al causar la pérdida de coherencia entre los estados cuánticos de un sistema y, por consiguiente, la disminución de sus términos de interferencia , lo que conlleva la pérdida de información del sistema cuántico (abierto) al entorno circundante. Dado que los ordenadores cuánticos no pueden aislarse de su entorno (es decir, no podemos tener un sistema cuántico verdaderamente aislado en el mundo real) y se puede perder información, el estudio de los DFS es importante para la implementación de ordenadores cuánticos en el mundo real.

Fondo

Orígenes

El estudio de los DFS comenzó con la búsqueda de métodos estructurados para evitar la decoherencia en el ámbito del procesamiento de información cuántica (QIP). Estos métodos implicaban intentos de identificar estados particulares que pudieran verse afectados por ciertos procesos de decoherencia (es decir, ciertas interacciones con el entorno). Estos estudios se iniciaron con las observaciones de GM Palma, KA Suominen y AK Ekert , quienes estudiaron las consecuencias de la desfasación pura en dos cúbits con la misma interacción con el entorno. Descubrieron que estos dos cúbits no se decoheren. ^{[ 1 ]} Originalmente, Palma utilizó el término "subdecoherencia" para describir esta situación. Cabe destacar también el trabajo independiente de Martin Plenio , Vlatko Vedral y Peter Knight, quienes construyeron un código corrector de errores con palabras clave invariantes bajo una evolución temporal unitaria particular en la emisión espontánea . ^{[ 2 ]}

Desarrollo posterior

Poco después, LM Duan y GC Guo también estudiaron este fenómeno y llegaron a las mismas conclusiones que Palma, Suominen y Ekert. Sin embargo, Duan y Guo aplicaron su propia terminología, utilizando "estados que preservan la coherencia" para describir estados que no se decoheredan con la desfasación. Duan y Guo ampliaron esta idea de combinar dos cúbits para preservar la coherencia frente a la desfasación, tanto a la desfasación colectiva como a la disipación, demostrando que la decoherencia se previene en tal situación. Esto se demostró asumiendo el conocimiento de la fuerza de acoplamiento sistema-entorno . Sin embargo, estos modelos eran limitados, ya que solo trataban los procesos de decoherencia de desfasación y disipación. Para abordar otros tipos de decoherencia, los modelos previos presentados por Palma, Suominen y Ekert, y Duan y Guo fueron adaptados a un marco más general por P. Zanardi y M. Rasetti. Ampliaron el marco matemático existente para incluir interacciones sistema-entorno más generales, como la decoherencia colectiva (el mismo proceso de decoherencia que actúa sobre todos los estados de un sistema cuántico) y hamiltonianos generales . Su análisis proporcionó las primeras circunstancias formales y generales para la existencia de estados libres de decoherencia (DF), que no dependían del conocimiento de la fuerza de acoplamiento sistema-entorno. Zanardi y Rasetti denominaron a estos estados DF "códigos de evitación de errores". Posteriormente, Daniel A. Lidar propuso el término "subespacio libre de decoherencia" para el espacio en el que existen estos estados DF. Lidar estudió la resistencia de los estados DF a las perturbaciones y descubrió que la coherencia predominante en los estados DF puede verse alterada por la evolución del hamiltoniano del sistema. Esta observación reveló otro requisito previo para el posible uso de estados DF en la computación cuántica. Lidar, D. Bacon y KB Whaley obtuvieron un requisito completamente general para la existencia de estados DF, expresado en términos de la representación de suma de operadores de Kraus (OSR). Más tarde, A. Shabani y Lidar generalizaron el marco DFS relajando el requisito de que el estado inicial deba ser un estado DF y modificaron algunas condiciones conocidas para DFS. ^{[ 3 ]}

Investigaciones recientes

Un desarrollo posterior se produjo en la generalización de la imagen DFS cuando E. Knill, R. Laflamme y L. Viola introdujeron el concepto de un "subsistema sin ruido". ^{[ 1 ]} Knill extendió a representaciones irreducibles de dimensiones superiores del álgebra que genera la simetría dinámica en la interacción sistema-entorno. Trabajos anteriores sobre DFS describían los estados DF como singletes , que son representaciones irreducibles unidimensionales. Este trabajo demostró ser exitoso, ya que como resultado de este análisis se redujo el número de cúbits necesarios para construir un DFS bajo decoherencia colectiva de cuatro a tres. ^{[ 1 ]} La generalización de subespacios a subsistemas formó una base para combinar la mayoría de las estrategias conocidas de prevención de decoherencia y anulación.

Condiciones para la existencia de subespacios libres de decoherencia

Formulación hamiltoniana

Consideremos un sistema cuántico S de N dimensiones acoplado a un baño B y descrito por el hamiltoniano combinado sistema-baño de la siguiente manera: ${\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},$ donde el hamiltoniano de interacción ${\sombrero {H}}_{I}$ se da de la forma habitual como ${\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},$ y dónde ${\hat {S}}_{i}{\big (}{\hat {B}}_{i}{\big )}$ actuar únicamente sobre el sistema (baño) y ${\hat {H}}_{S}{\big (}{\hat {H}}_{B}{\big )}$ es el hamiltoniano del sistema (baño), y ${\hat {I}}_{S}{\big (}{\hat {I}}_{B}{\big )}$ es el operador identidad que actúa sobre el sistema (baño). Bajo estas condiciones, la evolución dinámica dentro ${\tilde {\mathcal {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}$ , dónde ${\mathcal {H}}_{S}$ es el sistema espacio de Hilbert, es completamente unitario $\forall |\phi \rangle$ (todos los posibles estados del baño) si y solo si :

${\hat {S}}_{i}|\phi \rangle =s_{i}|\phi \rangle ,s_{i}\in \mathbb {C}$ a pesar de $|\phi \rangle$ ese lapso ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ y $\forall {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})$ , el espacio de operadores de baño de sistema acotados en ${\mathcal {H}}_{SB}$ ,
El sistema y el baño no están acoplados al principio (es decir, pueden representarse como un estado de producto),
no hay "fuga" de estados fuera de ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ ; es decir, el hamiltoniano del sistema ${\hat {H}}_{S}$ no mapea los estados $|\phi \rangle$ fuera de ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ .

En otras palabras, si el sistema comienza en ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ (es decir, el sistema y el baño están inicialmente desacoplados) y el hamiltoniano del sistema ${\hat {H}}_{S}$ hojas ${\textstyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}=\operatorname {span} \left[\left\{|\phi _{k}\rangle \right\}_{k=1}^{N}\right]}$ invariante, entonces ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ es un DFS si y solo si satisface (i).

Estos estados son eigenkets degenerados de ${\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})$ y, por lo tanto, son distinguibles, preservando así la información en ciertos procesos de decoherencia. Cualquier subespacio del espacio de Hilbert del sistema que satisfaga las condiciones anteriores es un subespacio libre de decoherencia. Sin embargo, la información aún puede "filtrarse" de este subespacio si no se cumple la condición (iii). Por consiguiente, incluso si existe un DFS bajo las condiciones hamiltonianas, aún existen acciones no unitarias que pueden actuar sobre estos subespacios y extraer estados de ellos hacia otro subespacio, que puede o no ser un DFS, del espacio de Hilbert del sistema.

Formulación de representación de suma de operadores

Dejar ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}$ sea un DFS N-dimensional, donde ${\mathcal {H}}_{S}$ es el espacio de Hilbert del sistema (solo el sistema cuántico). Los operadores de Kraus cuando se escriben en términos de los $N$ estados base que abarcan ${\mathcal {H}}_{S}$ se dan como: $\mathbf {A} _{l}={\begin{pmatrix}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\bar {A}} _{l}\end{pmatrix}},\quad g_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|\mathbf {U} _{C}|j\rangle$ dónde ${\textstyle \mathbf {U} _{C}=\exp \left({-i\mathbf {H} _{C}t}/{\hbar }\right)}$ ( $\mathbf {H} _{C}$ es el hamiltoniano combinado sistema-baño), $\mathbf {\tilde {U}}$ actúa en ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}$ , y $\mathbf {\bar {A}} _ {l}$ es una matriz arbitraria que actúa sobre ${\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}$ (el complemento ortogonal a ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ ). Desde $\mathbf {\bar {A}} _{l}$ funciona en ${\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}$ , entonces no creará decoherencia en ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ ; sin embargo, puede (posiblemente) crear efectos de decoherencia en ${\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}$ . Consideremos los kets base $\left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}$ que abarcan ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ y, además, cumplen con lo siguiente: $\mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle =g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle ,\quad \forall {l}.$

$\mathbf {\tilde {U}}$ es un operador unitario arbitrario y puede o no depender del tiempo, pero es independiente de la variable de indexación. $l$ . El $g_{l}$ Las son constantes complejas . Dado que $\left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}$ abarca ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ , entonces cualquier estado puro $|\psi \rangle \in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ se puede escribir como una combinación lineal de estos kets base: $|\psi \rangle =\sum _{j=1}^{N}b_{j}|j\rangle ,\quad b_{j}\in \mathbb {C} .$

Este estado estará libre de decoherencia; esto se puede observar al considerar la acción de $\mathbf {\bar {A}} _{l}$ en $|\psi \rangle$ : ${\begin{aligned}\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(\mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle )\\&=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle )\\\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle .\end{aligned}}$

Por lo tanto, en términos de la representación del operador de densidad de $|\psi \rangle$ , $\rho _{\text{initial}}=|\psi \rangle \langle \psi |$ La evolución de este estado es: ${\begin{aligned}\rho _{\text{final}}&=\sum _{l}\mathbf {A} _{l}\rho _{\text{initial}}\mathbf {A} _{l}^{\dagger }\\&=\sum _{l}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |h_{l}\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }\\&=\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }.\end{aligned}}$

La expresión anterior dice que $\rho _{\text{final}}$ es un estado puro y que su evolución es unitaria, ya que $\mathbf {\tilde {U}}$ es unitario. Por lo tanto, cualquier estado en ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ no se decoherirá ya que su evolución está regida por un operador unitario y, por lo tanto, su evolución dinámica será completamente unitaria. Por lo tanto, ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ es un subespacio libre de decoherencia. El argumento anterior también puede generalizarse a un estado mixto inicial arbitrario. ^{[ 1 ]}

Formulación de semigrupos

Esta formulación utiliza el enfoque de semigrupo . El término de decoherencia de Lindblad determina cuándo la dinámica de un sistema cuántico será unitaria; en particular, cuando $L_{D}[\rho ]=0$ , dónde $\rho$ es la representación del operador de densidad del estado del sistema, la dinámica estará libre de decoherencia. Sea $\left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}$ durar ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}$ , dónde ${\mathcal {H}}_{S}$ es el espacio de Hilbert del sistema. Bajo los supuestos de que:

Los parámetros de ruido de la matriz de coeficientes del término de decoherencia de Lindblad no están ajustados con precisión (es decir, no se hacen suposiciones especiales sobre ellos).
No existe dependencia de las condiciones iniciales del estado inicial del sistema.

una condición necesaria y suficiente para ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ ser un DFS es $\forall {|j\rangle }$ : $\mathbf {F} _{\alpha }|j\rangle =\lambda _{\alpha }|j\rangle ,\quad \forall \alpha .$

La expresión anterior establece que todos los estados base $|j\rangle$ son autoestados degenerados de los generadores de error $\left\{\mathbf {F} _{\alpha }\right\}_{\alpha =1}^{M=N\times {N}}.$ Como tal, sus respectivos términos de coherencia no se decoheredan. Por lo tanto, los estados dentro ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ seguirán siendo mutuamente distinguibles después de un proceso de decoherencia, ya que sus respectivos valores propios son degenerados y, por lo tanto, identificables después de la acción bajo los generadores de error.

Las DFS como una clase especial de estructuras que preservan la información (IPS) y códigos de corrección de errores cuánticos (QECC)

Estructuras que preservan la información (IPS)

Los DFS pueden considerarse como "codificadores" de información a través de su conjunto de estados. Para ver esto, consideremos un sistema cuántico abierto d -dimensional que se prepara en el estado ${\boldsymbol {\rho }}$ - un valor no negativo (es decir, sus valores propios son positivos), normalizado por traza ( $\operatorname {Tr} [\rho ]=1$ ), $d\times d$ operador de densidad que pertenece al espacio de Hilbert-Schmidt del sistema , el espacio de operadores acotados en ${\mathcal {H}}$ ( ${\mathcal {B({\mathcal {H}})}}$ ). Supongamos que este operador de densidad (estado) se selecciona de un conjunto de estados $S=\left\{\rho _{i}\right\}_{i=1}^{n}\in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ , un DFS de ${\mathcal {H}}_{S}$ (el espacio de Hilbert del sistema) y dónde $n<d$ . Este conjunto de estados se llama código , porque los estados dentro de este conjunto codifican un tipo particular de información; ^{[ 4 ]} es decir, el conjunto S codifica información a través de sus estados. Esta información que está contenida dentro $S$ debe poder ser accesible; puesto que la información está codificada en los estados en $S$ , estos estados deben ser distinguibles para algún proceso, ${\boldsymbol {\zeta }}$ digamos que intenta adquirir la información. Por lo tanto, para dos estados ${\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S,\;(i\neq j)$ , el proceso ${\boldsymbol {\zeta }}$ ¿Es la preservación de la información para estos estados si los estados? ${\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}$ permanecen tan distinguibles después del proceso como lo eran antes. Dicho de manera más general, un código $S$ (o DFS) se conserva mediante un proceso ${\boldsymbol {\zeta }}$ si y solo si cada par de estados ${\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S$ es tan distinguible después ${\boldsymbol {\zeta }}$ se aplica como se aplicaba antes de su aplicación. ^{[ 4 ]} Una descripción más práctica sería: $S$ se conserva mediante un proceso ${\boldsymbol {\zeta }}$ si y solo si $\forall {\boldsymbol {\rho }},{\boldsymbol {\rho }}'\in S$ y $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ${\big \|}{\boldsymbol {\zeta }}{\big (}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big )}{\big \|}_{1}={\big \|}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big \|}_{1}.$

Esto simplemente dice que ${\boldsymbol {\zeta }}$ es un mapa 1:1 que conserva la distancia de traza en $S$ . ^{[ 4 ]} En esta imagen, los DFS son conjuntos de estados (códigos más bien) cuya distinguibilidad mutua no se ve afectada por un proceso. ${\boldsymbol {\zeta }}$ .

Códigos de corrección de errores cuánticos (QECC)

Dado que los DFS pueden codificar información a través de sus conjuntos de estados, son seguros frente a errores (procesos de decoherencia). De esta manera, los DFS pueden considerarse una clase especial de QECC, donde la información se codifica en estados que pueden verse alterados por una interacción con el entorno, pero que pueden recuperarse mediante algún proceso de reversión. ^{[ 1 ]}

Consideremos un código $C=\operatorname {span} \left[\left\{|j_{k}\rangle \right\}\right]$ , que es un subespacio del espacio de Hilbert del sistema, con información codificada dada por $\left\{|j_{k}\rangle \right\}$ (es decir, las "palabras clave"). Este código se puede implementar para proteger contra la decoherencia y así evitar la pérdida de información en una pequeña sección del espacio de Hilbert del sistema. Los errores son causados por la interacción del sistema con el entorno (baño) y están representados por los operadores de Kraus. ^{[ 1 ]} Después de que el sistema ha interactuado con el baño, la información contenida en $C$ debe poder ser "decodificado"; por lo tanto, para recuperar esta información, un operador de recuperación $\mathbf {R}$ se introduce. Entonces, un QECC es un subespacio $C$ junto con un grupo de operadores de recuperación $\left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.$

Dejar $C$ ser un QECC para los operadores de error representados por los operadores de Kraus $\left\{\mathbf {A} _{l}\right\}$ , con operadores de recuperación $\left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.$ Entonces $C$ es un DFS si y solo si bajo restricción a $C$ , entonces $\mathbf {R} _{r}\propto \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger },\forall {r}$ , ^{[ 1 ]} donde $\mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger }$ es el inverso del operador de evolución del sistema.

En esta imagen de inversión de operaciones cuánticas, los DFS son un caso especial de los QECC más generales, donde, al restringirse a un código dado, los operadores de recuperación se vuelven proporcionales al inverso del operador de evolución del sistema, lo que permite una evolución unitaria del sistema.

Nótese que la sutil diferencia entre estas dos formulaciones reside en las palabras «preservar » y «corregir» ; en el primer caso, se utiliza la prevención de errores, mientras que en el segundo, la corrección de errores . Por lo tanto, las dos formulaciones difieren en que una es un método pasivo y la otra, un método activo .

Ejemplo de un subespacio libre de decoherencia

desfase colectivo

Consideremos un espacio de Hilbert de dos cúbits, generado por los cúbits base. $\left\{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\right\}$ que experimentan una desfasación colectiva . Una fase aleatoria $\phi$ se crearán entre estos cúbits base; por lo tanto, los cúbits se transformarán de la siguiente manera:

${\begin{aligned}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{2i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}.\end{aligned}}$

Bajo esta transformación, los estados base $|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}$ obtener el mismo factor de fase $e^{i\phi }$ . Por lo tanto, en consideración de esto, un estado $|\psi \rangle$ se puede codificar con esta información (es decir, el factor de fase ) y, por lo tanto, evolucionar unitariamente bajo este proceso de desfase, definiendo los siguientes cúbits codificados:

${\begin{aligned}|0_{E}\rangle &=|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1_{E}\rangle &=|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.\end{aligned}}$

Dado que estos son cúbits base, entonces cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal de estos estados; por lo tanto, $|\psi _{E}\rangle =l|0_{E}\rangle +m|1_{E}\rangle ,\quad l,m\in \mathbb {C} .$

Este estado evolucionará bajo el proceso de desfase de la siguiente manera: $|\psi _{E}\rangle \longrightarrow l|0\rangle _{1}\otimes e^{i\phi }|1\rangle _{2}+e^{i\phi }m|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}=e^{i\phi }|\psi _{E}\rangle .$

Sin embargo, la fase general de un estado cuántico es inobservable y, como tal, es irrelevante en la descripción del estado. Por lo tanto, $|\psi _{E}\rangle$ permanece invariante bajo este proceso de desfase y por lo tanto el conjunto base ${\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}}$ es un subespacio libre de decoherencia del espacio de Hilbert de 4 dimensiones. De manera similar, los subespacios ${\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}},{\big \{}|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}{\big \}}$ También son DFS.

Alternativa: subsistemas libres de decoherencia

Consideremos un sistema cuántico con un espacio de Hilbert de sistema N-dimensional. ${\mathcal {H}}_{C}$ que tiene una descomposición de subsistemas general ${\textstyle {\mathcal {H}}_{C}=\bigoplus _{j=1}^{N}(\bigotimes _{i=1}^{l_{N}}{\mathcal {H}}_{ji}).}$ El subsistema ${\mathcal {H}}_{ji}$ es un subsistema libre de decoherencia con respecto a un acoplamiento sistema-entorno si cada estado puro en ${\mathcal {H}}_{ji}$ permanece sin cambios con respecto a este subsistema bajo la evolución OSR. Esto es cierto para cualquier condición inicial posible del entorno. ^{[ 5 ]} Para comprender la diferencia entre un subespacio libre de decoherencia y un subsistema libre de decoherencia , considere codificar un solo cúbit de información en un sistema de dos cúbits. Este sistema de dos cúbits tiene un espacio de Hilbert de 4 dimensiones; un método para codificar un solo cúbit en este espacio es codificando la información en un subespacio que está generado por dos cúbits ortogonales del espacio de Hilbert de 4 dimensiones. Supongamos que la información se codifica en el estado ortogonal $\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$ De la siguiente manera:

$\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow \alpha |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}+\beta |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.$

Esto demuestra que la información se ha codificado en un subespacio del espacio de Hilbert de dos cúbits. Otra forma de codificar la misma información es codificar solo uno de los dos cúbits. Si se codifica el primer cúbit, entonces el estado del segundo cúbit es completamente arbitrario, ya que:

$\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow {\bigl (}\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}{\bigr )}\otimes |\psi \rangle .$

Este mapeo es un mapeo de uno a muchos desde la información de codificación de un cúbit a un espacio de Hilbert de dos cúbits. ^{[ 5 ]} En cambio, si el mapeo es a $|\psi \rangle$ , entonces es idéntico a un mapeo de un cúbit a un subespacio del espacio de Hilbert de dos cúbits.

Véase también

Referencias

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