Desconvolución

Cuando el error de medición es muy bajo (caso ideal), la deconvolución se reduce a una inversión de filtro. Este tipo de deconvolución se puede realizar en el dominio de Laplace. Al calcular la transformada de Fourier de la señal registrada h y la función de respuesta del sistema g , se obtienen H y G , donde G es la función de transferencia . Usando el teorema de convolución ,

${\displaystyle F=H/G\,}$

donde F es la transformada de Fourier estimada de f . Finalmente, se toma la transformada inversa de Fourier de la función F para encontrar la señal deconvolucionada estimada f . Nótese que G está en el denominador y podría amplificar elementos del modelo de error si están presentes.

En las mediciones físicas, la situación suele estar más cerca de

${\displaystyle (f*g)+\varepsilon =h\,}$

En este caso, ε es el ruido que se ha introducido en nuestra señal grabada. Si se asume que una señal o imagen ruidosa no tiene ruido, la estimación estadística de g será incorrecta. A su vez, la estimación de ƒ también será incorrecta. Cuanto menor sea la relación señal-ruido , peor será la estimación de la señal deconvolucionada. Por eso, el filtrado inverso de la señal (como en la "deconvolución bruta" anterior) no suele ser una buena solución. Sin embargo, si se tiene algún conocimiento del tipo de ruido en los datos (por ejemplo, ruido blanco ), la estimación de ƒ puede mejorarse mediante técnicas como la deconvolución de Wiener .

El concepto de deconvolución tuvo una aplicación temprana en la sismología de reflexión . En 1950, Enders Robinson era un estudiante de posgrado en el MIT . Trabajó con otros en el MIT, como Norbert Wiener , Norman Levinson y el economista Paul Samuelson , para desarrollar el "modelo convolucional" de un sismograma de reflexión . Este modelo supone que el sismograma registrado s ( t ) es la convolución de una función de reflectividad terrestre e ( t ) y una ondícula sísmica w ( t ) de una fuente puntual , donde t representa el tiempo de registro. Por lo tanto, nuestra ecuación de convolución es:

${\displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}$

El sismólogo está interesado en e , que contiene información sobre la estructura de la Tierra. Por el teorema de convolución , esta ecuación puede transformarse mediante la transformada de Fourier .

${\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,}$

en el dominio de la frecuencia , donde${\displaystyle \omega }$es la variable de frecuencia. Suponiendo que la reflectividad es blanca, podemos suponer que el espectro de potencia de la reflectividad es constante, y que el espectro de potencia del sismograma es el espectro de la ondícula multiplicado por esa constante. Por lo tanto,

${\displaystyle |S(\omega )|\approx k|W(\omega )|.\,}$

Si asumimos que la ondícula tiene fase mínima , podemos recuperarla calculando el equivalente de fase mínima del espectro de potencia que acabamos de encontrar. La reflectividad se puede recuperar diseñando y aplicando un filtro de Wiener que moldea la ondícula estimada a una función delta de Dirac (es decir, un pico). El resultado puede verse como una serie de funciones delta escaladas y desplazadas (aunque esto no es matemáticamente riguroso):

${\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}$

donde N es el número de eventos de reflexión,${\displaystyle r_{i}}$son los coeficientes de reflexión ,${\displaystyle t-\tau _{i}}$son los momentos de reflexión de cada evento, y${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac .

En la práctica, dado que trabajamos con conjuntos de datos ruidosos, de ancho de banda finito , longitud finita y muestreados discretamente , el procedimiento anterior solo proporciona una aproximación del filtro necesario para deconvolucionar los datos. Sin embargo, al formular el problema como la solución de una matriz de Toeplitz y utilizar la recursión de Levinson , podemos estimar con relativa rapidez un filtro con el menor error cuadrático medio posible. También podemos realizar la deconvolución directamente en el dominio de la frecuencia y obtener resultados similares. Esta técnica está estrechamente relacionada con la predicción lineal .

En óptica e imagen, el término «deconvolución» se utiliza específicamente para referirse al proceso de revertir la distorsión óptica que se produce en un microscopio óptico , un microscopio electrónico , un telescopio u otro instrumento de imagen, creando así imágenes más nítidas. Generalmente se realiza en el dominio digital mediante un algoritmo de software , como parte de un conjunto de técnicas de procesamiento de imágenes de microscopio . La deconvolución también resulta útil para mejorar la nitidez de imágenes que sufren movimientos bruscos o vibraciones durante la captura. Las primeras imágenes del Telescopio Espacial Hubble estaban distorsionadas por un espejo defectuoso y se mejoraron mediante la deconvolución.

El método habitual consiste en suponer que la trayectoria óptica a través del instrumento es ópticamente perfecta, convolucionada con una función de dispersión puntual (PSF), es decir, una función matemática que describe la distorsión en términos de la trayectoria que sigue una fuente puntual teórica de luz (u otras ondas) a través del instrumento. ^{[ 3 ]} Por lo general, dicha fuente puntual contribuye con una pequeña área de desenfoque a la imagen final. Si se puede determinar esta función, entonces se trata de calcular su función inversa o complementaria y convolucionar la imagen adquirida con ella. El resultado es la imagen original, sin distorsión.

En la práctica, encontrar la PSF verdadera es imposible, y generalmente se utiliza una aproximación, calculada teóricamente ^{[ 4 ]} o basada en alguna estimación experimental mediante sondas conocidas. La óptica real también puede tener diferentes PSF en distintas ubicaciones focales y espaciales, y la PSF puede ser no lineal. La precisión de la aproximación de la PSF determinará el resultado final. Se pueden emplear diferentes algoritmos para obtener mejores resultados, a costa de un mayor costo computacional. Dado que la convolución original descarta datos, algunos algoritmos utilizan datos adicionales adquiridos en puntos focales cercanos para compensar parte de la información perdida. La regularización en algoritmos iterativos (como en los algoritmos de expectativa-maximización ) puede aplicarse para evitar soluciones poco realistas.

Cuando se desconoce la PSF, puede deducirse probando sistemáticamente diferentes PSF posibles y evaluando si la imagen ha mejorado. Este procedimiento se llama deconvolución ciega . ^{[ 3 ]} La deconvolución ciega es una técnica de restauración de imágenes bien establecida en astronomía , donde la naturaleza puntual de los objetos fotografiados expone la PSF, lo que la hace más factible. También se utiliza en microscopía de fluorescencia para la restauración de imágenes y en imágenes espectrales de fluorescencia para la separación espectral de múltiples fluoróforos desconocidos . El algoritmo iterativo más común para este propósito es el algoritmo de deconvolución de Richardson-Lucy ; la deconvolución de Wiener (y sus aproximaciones) son los algoritmos no iterativos más comunes.

Para algunos sistemas de imágenes específicos, como los sistemas de terahercios pulsados ​​por láser, la PSF se puede modelar matemáticamente. ^{[ 6 ]} Como resultado, tal como se muestra en la figura, la deconvolución de la PSF modelada y la imagen de terahercios puede proporcionar una representación de mayor resolución de la imagen de terahercios.

Al realizar la síntesis de imágenes en radiointerferometría , un tipo específico de radioastronomía , un paso consiste en deconvolucionar la imagen producida con el "haz sucio", que es otro nombre para la función de dispersión de punto . Un método comúnmente utilizado es el algoritmo CLEAN .

El uso típico de la deconvolución se encuentra en la cinética de trazadores. Por ejemplo, al medir la concentración de una hormona en la sangre, su tasa de secreción puede estimarse mediante deconvolución. Otro ejemplo es la estimación de la concentración de glucosa en sangre a partir de la glucosa intersticial medida, que es una versión distorsionada en el tiempo y la amplitud de la glucosa real en sangre. ^{[ 7 ]}

La deconvolución se ha aplicado ampliamente a los espectros de absorción . ^{[ 8 ]} Se puede utilizar el algoritmo de Van Cittert (artículo en alemán). ^{[ 9 ]}

La deconvolución se corresponde con la división en el dominio de Fourier . Esto permite aplicarla fácilmente a datos experimentales sometidos a una transformada de Fourier . Un ejemplo es la espectroscopia de RMN, donde los datos se registran en el dominio del tiempo, pero se analizan en el dominio de la frecuencia. La división de los datos del dominio del tiempo mediante una función exponencial reduce el ancho de las líneas lorentzianas en el dominio de la frecuencia.