Teorema de Dedekind-Kummer

En teoría algebraica de números , el teorema de Dedekind-Kummer describe cómo un ideal primo en un dominio de Dedekind se factoriza sobre la clausura integral del dominio . ^{[ 1 ]} Recibe su nombre de Richard Dedekind , quien desarrolló el teorema basándose en el trabajo de Ernst Kummer .

Dejar${\displaystyle K}$ser un campo numérico y${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$⁠ el anillo de enteros algebraicos en ⁠${\displaystyle K}$⁠ . Deja${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$y${\displaystyle f}$sea ​​el polinomio mínimo de${\displaystyle \alpha }$encima${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$Para cualquier primo${\displaystyle p}$no dividir el índice${\displaystyle [{\mathcal {O}}_{K}:\mathbb {Z} [\alpha ]]}$, escribir $${\displaystyle f(x)\equiv \pi _{1}(x)^{e_{1}}\cdots \pi _{g}(x)^{e_{g}}\mod p,}$$ dónde${\displaystyle \pi _{i}(x)}$son polinomios irreducibles mónicos en${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$Entonces, lo ideal${\displaystyle (p)=p{\mathcal {O}}_{K}}$factores en ideales primordiales como $${\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}^{e_{g}}}$$de tal manera que${\displaystyle N({\mathfrak {p}}_{i})=p^{\deg \pi _ {i}}}$, dónde${\displaystyle N}$es la norma ideal . ^{[ 2 ]}

El teorema de Dedekind-Kummer se cumple de forma más general que en el caso de los cuerpos numéricos: Sea${\displaystyle {\mathcal {o}}}$ser un dominio de Dedekind contenido en su campo cociente${\displaystyle K}$,${\displaystyle L/K}$una extensión de campo finita y separable con${\displaystyle L=K[\theta ]}$para un generador adecuado${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle {\mathcal {O}}}$el cierre integral de${\displaystyle {\mathcal {o}}}$La situación anterior es solo un caso especial ya que uno puede elegir${\displaystyle {\mathcal {o}}=\mathbb {Z} ,K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}={\mathcal {O}}_{L}}$).

Si${\displaystyle (0)\neq {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {o}}}$es un ideal primo coprimo con el conductor${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\{a\in {\mathcal {O}}\mid a{\mathcal {O}}\subseteq {\mathcal {o}}[\theta ]\}}$(es decir, su suma es${\displaystyle {\mathcal {O}}}$). Consideremos el polinomio mínimo${\displaystyle f\in {\mathcal {o}}[x]}$de${\displaystyle \theta }$. El polinomio${\displaystyle {\overline {f}}\in ({\mathcal {o}}/{\mathfrak {p}})[x]}$tiene la descomposición $${\displaystyle {\overline {f}}={\overline {f_{1}}}^{e_{1}}\cdots {\overline {f_{r}}}^{e_{r}}}$$ con polinomios irreducibles distintos por pares${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$. La factorización de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$en ideales primordiales sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}}$entonces se da por$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{e_{r}}}$$dónde${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}+(f_{i}(\theta){\mathcal {O}})}$y el${\displaystyle f_{i}}$son los polinomios${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$elevado a${\displaystyle {\mathcal {o}}[x]}$. ^{[ 1 ]}