dominio Dedekind

En matemáticas , un dominio de Dedekind o anillo de Dedekind , llamado así en honor a Richard Dedekind , es un dominio de integridad en el que todo ideal propio no nulo se factoriza en un producto de ideales primos . Se puede demostrar que dicha factorización es necesariamente única salvo el orden de los factores. Existen al menos otras tres caracterizaciones de los dominios de Dedekind que a veces se toman como definición: véase más abajo .

Un cuerpo es un anillo conmutativo en el que no existen ideales propios no triviales, de modo que cualquier cuerpo es un dominio de Dedekind, aunque de una manera bastante trivial . Algunos autores añaden el requisito de que un dominio de Dedekind no sea un cuerpo. Muchos otros autores enuncian teoremas para dominios de Dedekind con la condición implícita de que podrían requerir modificaciones triviales para el caso de cuerpos.

Una consecuencia inmediata de la definición es que todo dominio de ideales principales (DIP) es un dominio de Dedekind. De hecho, un dominio de Dedekind es un dominio de factorización única (DFU) si y solo si es un DIP.

En el siglo XIX se convirtió en una técnica común obtener información sobre soluciones enteras de ecuaciones polinómicas utilizando anillos de números algebraicos de grado superior. Por ejemplo, fije un número entero positivo.${\displaystyle m}$En el intento de determinar qué enteros están representados por la forma cuadrática${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$, es natural factorizar la forma cuadrática en${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$, la factorización que tiene lugar en el anillo de enteros del cuerpo cuadrático${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$. De manera similar, para un entero positivo${\displaystyle n}$el polinomio${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$(lo cual es relevante para resolver la ecuación de Fermat)${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$) se puede factorizar sobre el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]}$, dónde${\displaystyle \zeta _{n}}$es una raíz n -ésima primitiva de la unidad .

Para algunos valores pequeños de${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$Estos anillos de enteros algebraicos son PID, y esto puede verse como una explicación de los éxitos clásicos de Fermat (${\displaystyle m=1,n=4}$) y Euler (${\displaystyle m=2,3,n=3}$). Para entonces, existía un procedimiento para determinar si el anillo de todos los enteros algebraicos de un campo cuadrático dado${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$es un PID era bien conocido por los teóricos de la forma cuadrática. En particular, Gauss había examinado el caso de campos cuadráticos imaginarios: encontró exactamente nueve valores de${\displaystyle D<0}$para el cual el anillo de enteros es un PID y conjeturó que no había más valores. (La conjetura de Gauss fue demostrada más de cien años después por Kurt Heegner , Alan Baker y Harold Stark ). Sin embargo, esto se entendió (solo) en el lenguaje de las clases de equivalencia de formas cuadráticas, de modo que en particular la analogía entre las formas cuadráticas y la ecuación de Fermat parece no haber sido percibida. En 1847, Gabriel Lamé anunció una solución del Último Teorema de Fermat para todos${\displaystyle n>2}$; es decir, que la ecuación de Fermat no tiene soluciones en enteros distintos de cero, pero resultó que su solución dependía de la suposición de que el anillo ciclotómico${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]}$es un UFD. Ernst Kummer había demostrado tres años antes que este no era el caso ya para${\displaystyle n=23}$(la lista completa y finita de valores para los cuales${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]}$(es un UFD ahora conocido). Al mismo tiempo, Kummer desarrolló nuevos y poderosos métodos para demostrar el Último Teorema de Fermat al menos para una gran clase de exponentes primos .${\displaystyle n}$utilizando lo que ahora reconocemos como el hecho de que el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {n}]}$es un dominio de Dedekind. De hecho, Kummer no trabajó con ideales sino con " números ideales ", y la definición moderna de ideal la dio Dedekind.

Para el siglo XX, los algebristas y los teóricos de números se habían dado cuenta de que la condición de ser un dominio de probabilidad es bastante delicada, mientras que la condición de ser un dominio de Dedekind es bastante robusta. Por ejemplo, el anillo de los enteros ordinarios es un dominio de probabilidad, pero como se vio anteriormente el anillo${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$de enteros algebraicos en un campo numérico${\displaystyle K}$no tiene por qué ser un PID. De hecho, aunque Gauss también conjeturó que hay infinitos primos${\displaystyle p}$de tal manera que el anillo de enteros de${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$es un PID, aún no se sabe si hay infinitos campos numéricos${\displaystyle K}$(de grado arbitrario) tal que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$es un PID. Por otro lado, el anillo de enteros en un campo numérico es siempre un dominio de Dedekind.

Otro ejemplo de la dicotomía delicado/robusto es el hecho de que ser un dominio de Dedekind es, entre los dominios noetherianos , una propiedad local : un dominio noetheriano${\displaystyle R}$es Dedekind si para cada ideal máximo${\displaystyle M}$de${\displaystyle R}$la localización${\displaystyle R_{M}}$es un anillo de Dedekind. Pero un dominio local es un anillo de Dedekind si y solo si es un PID si y solo si es un anillo de valoración discreta (DVR), por lo que la misma caracterización local no puede aplicarse a los PID: más bien, se puede decir que el concepto de anillo de Dedekind es la globalización del de un DVR.

Para un dominio integral${\displaystyle R}$que no es un campo, todas las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[ 1 ]}

(DD1) Todo ideal propio distinto de cero se factoriza en números primos.

(DD2)${\displaystyle R}$es noetheriano, y la localización en cada ideal máximo es un anillo de valuación discreto.

(DD3) Todo ideal fraccionario no nulo de${\displaystyle R}$es invertible.

(DD4)${\displaystyle R}$es un dominio noetheriano integralmente cerrado con dimensión de Krull uno (es decir, todo ideal primo no nulo es maximal).

(DD5) Para cualesquiera dos ideales${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$en${\displaystyle R}$,${\displaystyle I}$está contenido en${\displaystyle J}$si y solo si${\displaystyle J}$ divide${\displaystyle I}$como ideales. Es decir, existe un ideal.${\displaystyle H}$de tal manera que${\displaystyle I=JH}$Un anillo conmutativo (no necesariamente un dominio) con unidad que satisface esta condición se denomina anillo de contención-división (CDR). ^{[ 2 ]}

Así pues, un dominio de Dedekind es un dominio que es un cuerpo o que satisface cualquiera de las cinco condiciones (DD1) a (DD5). Por consiguiente, la elección de la definición de estas condiciones es simplemente una cuestión de preferencia. En la práctica, suele ser más sencillo verificar (DD4).

Cualquier ideal en un dominio de Dedekind está generado por como máximo dos elementos. ^{[ 3 ]} De hecho, una condición más fuerte proporciona otra caracterización de los dominios de Dedekind: un dominio integral.${\displaystyle R}$es un dominio de Dedekind si y solo si para cualquier ideal distinto de cero${\displaystyle I\subset R}$y distinto de cero${\displaystyle a\in I}$existe${\displaystyle b\in I}$de tal manera que${\displaystyle I=(a,b)}$. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Un dominio de Krull es un análogo de dimensión superior de un dominio de Dedekind: un dominio de Dedekind que no es un cuerpo es un dominio de Krull de dimensión 1. Esta noción puede utilizarse para estudiar las diversas caracterizaciones de un dominio de Dedekind. De hecho, esta es la definición de dominio de Dedekind que se utiliza en el libro "Álgebra conmutativa" de Bourbaki .

Un dominio de Dedekind también puede caracterizarse en términos de álgebra homológica : un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si es un anillo hereditario ; es decir, todo submódulo de un módulo proyectivo sobre él es proyectivo. De manera similar, un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si todo módulo divisible sobre él es inyectivo . ^{[ 6 ]}

Todos los dominios ideales principales y, por lo tanto, todos los anillos de valoración discretos son dominios de Dedekind.

El anillo${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$El dominio de enteros algebraicos en un cuerpo numérico K es noetheriano, integralmente cerrado y de dimensión uno: para ver la última propiedad, observe que para cualquier ideal primo no nulo I de R , R / I es un conjunto finito, y recuerde que un dominio de integridad finito es un cuerpo; por lo tanto, según (DD4), R es un dominio de Dedekind. Como se indicó anteriormente, esto incluye todos los ejemplos considerados por Kummer y Dedekind y fue el caso que motivó la definición general, y estos siguen estando entre los ejemplos más estudiados.

La otra clase de anillos de Dedekind que es posiblemente de igual importancia proviene de la geometría: sea C una curva algebraica afín geométricamente integral no singular sobre un cuerpo k . Entonces el anillo de coordenadas k [ C ] de funciones regulares en C es un dominio de Dedekind. Esto es en gran medida claro simplemente traduciendo términos geométricos a álgebra: el anillo de coordenadas de cualquier variedad afín es, por definición, un álgebra k finitamente generada , por lo tanto noetheriana; además, curva significa dimensión uno y no singular implica (y, en dimensión uno, es equivalente a) normal , que por definición significa integralmente cerrado .

Ambas construcciones pueden considerarse casos especiales del siguiente resultado básico:

Teorema : Sea R un dominio de Dedekind con cuerpo de fracciones K. Sea L una extensión de cuerpo de grado finito de K y denotemos por S la clausura integral de R en L. Entonces S es también un dominio de Dedekind. ^{[ 7 ]}

Aplicando este teorema cuando R es un dominio de integración de pares (DIP), obtenemos una forma de construir dominios de Dedekind a partir de DIP. Tomando R = Z , esta construcción afirma precisamente que los anillos de enteros de cuerpos numéricos son dominios de Dedekind. Tomando R = k [ t ], se obtiene el caso anterior de curvas afines no singulares como recubrimientos ramificados de la recta afín.

Zariski y Samuel quedaron tan impresionados con esta construcción que se preguntaron si todo dominio de Dedekind surge de ella; es decir, partiendo de un dominio de índice de proceso (PID) y tomando la clausura integral en una extensión de cuerpo de grado finito. ^{[ 8 ]} L. Claborn dio una respuesta negativa sorprendentemente simple. ^{[ 9 ]}

Si la situación es como la anterior, pero la extensión L de K es algebraica de grado infinito, entonces aún es posible que la clausura integral S de R en L sea un dominio de Dedekind, pero no está garantizado. Por ejemplo, tomemos de nuevo R = Z , K = Q y ahora tomemos L como el campo${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$de todos los números algebraicos. La clausura integral es entonces el anillo${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$de todos los enteros algebraicos. Dado que la raíz cuadrada de un entero algebraico es nuevamente un entero algebraico, no es posible factorizar ningún entero algebraico distinto de cero y distinto de la unidad en un producto finito de elementos irreducibles, lo que implica que${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$Ni siquiera es noetheriano. En general, la clausura integral de un dominio de Dedekind en una extensión algebraica infinita es un dominio de Prüfer ; resulta que el anillo de enteros algebraicos es un poco más especial que esto: es un dominio de Bézout .

Sea R un dominio de integridad con cuerpo de fracciones K. Un ideal fraccionario es un submódulo no nulo R - I de K para el cual existe un x no nulo en K tal que${\displaystyle xI\subset R.}$

Dados dos ideales fraccionarios I y J , se define su producto IJ como el conjunto de todas las sumas finitas.${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$: el producto IJ es nuevamente un ideal fraccionario. El conjunto Frac( R ) de todos los ideales fraccionarios dotados del producto anterior es un semigrupo conmutativo y de hecho un monoide : el elemento identidad es el ideal fraccionario R .

Para cualquier ideal fraccionario I , se puede definir el ideal fraccionario.

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

Entonces, uno tautológicamente tiene${\displaystyle I^{*}I\subset R}$De hecho, se tiene igualdad si y solo si I , como elemento del monoide de Frac( R ), es invertible. En otras palabras, si I tiene algún inverso, entonces el inverso debe ser${\displaystyle I^{*}}$.

Un ideal fraccionario principal es uno de la forma${\displaystyle xR}$para algún x distinto de cero en K. Nótese que cada ideal fraccionario principal es invertible, el inverso de${\displaystyle xR}$ser simplemente${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$. Denotamos el subgrupo de ideales fraccionarios principales por Prin( R ).

Un dominio R es un PID si y solo si todo ideal fraccionario es principal. En este caso, tenemos Frac( R ) = Prin( R ) =${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$, ya que dos ideales fraccionarios principales${\displaystyle xR}$y${\displaystyle yR}$son iguales si y solo si${\displaystyle xy^{-1}}$es una unidad en R.

Para un dominio general R , es útil tomar el cociente del monoide Frac( R ) de todos los ideales fraccionarios por el submonoide Prin( R ) de los ideales fraccionarios principales. Sin embargo, este cociente en sí mismo suele ser solo un monoide. De hecho, es fácil ver que la clase de un ideal fraccionario I en Frac( R )/Prin( R ) es invertible si y solo si I mismo es invertible.

Ahora podemos apreciar (DD3): en un dominio de Dedekind (y solo en un dominio de Dedekind), todo ideal fraccionario es invertible. Por lo tanto, estos son precisamente los dominios para los cuales Frac( R )/Prin( R ) forma un grupo , el grupo de clases de ideales Cl( R ) de R. Este grupo es trivial si y solo si R es un dominio de ideales fraccionarios (PID), por lo que puede considerarse como una cuantificación de la obstrucción a que un dominio de Dedekind general sea un PID.

Para un dominio arbitrario se puede definir el grupo de Picard Pic( R ) como el grupo de ideales fraccionarios invertibles Inv( R ) módulo el subgrupo de ideales fraccionarios principales. Para un dominio de Dedekind, esto es, por supuesto, lo mismo que el grupo de clases de ideales. Sin embargo, en una clase más general de dominios, incluidos los dominios noetherianos y los dominios de Krull, el grupo de clases de ideales se construye de una manera diferente, y hay un homomorfismo canónico.

Pic( R ) → Cl( R )

que, sin embargo, generalmente no es ni inyectiva ni sobreyectiva . Este es un análogo afín de la distinción entre divisores de Cartier y divisores de Weil en una variedad algebraica singular.

Un teorema de L. Claborn ^{[ 10 ]} afirma que para cualquier grupo abeliano G , existe un dominio de Dedekind R cuyo grupo de clases ideal es isomorfo a G. Posteriormente, C.R. Leedham-Green demostró que dicho R puede construirse como la clausura integral de un dominio de ideales principales (PID) en una extensión de cuerpo cuadrático. ^{[ 11 ]} En 1976, M. Rosen demostró cómo realizar cualquier grupo abeliano numerable como el grupo de clases de un dominio de Dedekind que es un subanillo del cuerpo de funciones racionales de una curva elíptica , y conjeturó que tal construcción "elíptica" debería ser posible para un grupo abeliano general. ^{[ 12 ]} La conjetura de Rosen fue demostrada en 2008 por P.L. Clark. ^{[ 13 ]}

En contraste, uno de los teoremas básicos de la teoría algebraica de números afirma que el grupo de clases del anillo de enteros de un cuerpo numérico es finito. Su cardinalidad se llama número de clase .

En vista del conocido y sumamente útil teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal (DIP), es natural solicitar una teoría correspondiente para módulos finitamente generados sobre un dominio de Dedekind.

Recordemos brevemente la teoría de la estructura en el caso de un módulo finitamente generado.${\displaystyle M}$sobre un PID${\displaystyle R}$. Definimos el submódulo de torsión${\displaystyle T}$ser el conjunto de elementos${\displaystyle m}$de${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle rm=0}$para algún valor distinto de cero${\displaystyle r}$en${\displaystyle R}$. Entonces:

(M1)${\displaystyle T}$puede descomponerse en una suma directa de módulos de torsión cíclicos , cada uno de la forma${\displaystyle R/I}$para algún ideal distinto de cero${\displaystyle I}$de${\displaystyle R}$Según el Teorema Chino del Resto , cada${\displaystyle R/I}$puede descomponerse además en una suma directa de submódulos de la forma${\displaystyle R/P^{i}}$, dónde${\displaystyle P^{i}}$es una potencia de un ideal primo. Esta descomposición no tiene por qué ser única, sino que cualquier par de descomposiciones

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

Se diferencian únicamente en el orden de los factores.

(M2) El submódulo de torsión es un sumando directo. Es decir, existe un submódulo complementario.${\displaystyle P}$de${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle M=T\oplus P}$.

(M3PID)${\displaystyle P}$isomorfo a${\displaystyle R^{n}}$para un número entero no negativo determinado de forma única${\displaystyle n}$. En particular,${\displaystyle P}$es un módulo libre generado de forma finita.

Ahora dejemos${\displaystyle M}$sea ​​un módulo finitamente generado sobre un dominio de Dedekind arbitrario.${\displaystyle R}$Entonces (M1) y (M2) se cumplen literalmente. Sin embargo, de (M3PID) se deduce que un módulo libre de torsión generado finitamente${\displaystyle P}$sobre un PID es libre. En particular, afirma que todos los ideales fraccionarios son principales, una afirmación que es falsa siempre que${\displaystyle R}$no es un PID. En otras palabras, la no trivialidad del grupo de clases${\displaystyle Cl(R)}$provoca que (M3PID) falle. Sorprendentemente, la estructura adicional en módulos finitamente generados sin torsión sobre un dominio de Dedekind arbitrario está controlada precisamente por el grupo de clases, como explicamos ahora. Sobre un dominio de Dedekind arbitrario se tiene

(M3DD)${\displaystyle P}$es isomorfo a una suma directa de módulos proyectivos de rango uno:${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$Además, para cualquier módulo proyectivo de rango uno${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$, uno tiene

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

si y solo si

${\displaystyle r=s}$

y

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

Los módulos proyectivos de rango uno pueden identificarse con ideales fraccionarios, y la última condición puede reformularse como

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

Así, un módulo sin torsión generado finitamente de rango${\displaystyle n>0}$puede expresarse como${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$, dónde${\displaystyle I}$es un módulo proyectivo de rango uno. La clase de Steinitz para${\displaystyle P}$encima${\displaystyle R}$es la clase${\displaystyle [I]}$de${\displaystyle I}$en${\displaystyle Cl(R)}$: está determinado de forma única. ^{[ 14 ]} Una consecuencia de esto es:

Teorema: Sea${\displaystyle R}$ser un dominio de Dedekind. Entonces${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$, dónde${\displaystyle K_{0}(R)}$es el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de proyectivo finitamente generado${\displaystyle R}$módulos.

Estos resultados fueron establecidos por Ernst Steinitz en 1912.

Una consecuencia adicional de esta estructura, que no está implícita en el teorema anterior, es que si los dos módulos proyectivos sobre un dominio de Dedekind tienen la misma clase en el grupo de Grothendieck, entonces son de hecho abstractamente isomorfos.

Existen dominios integrales${\displaystyle R}$que son localmente pero no globalmente Dedekind: la localización de${\displaystyle R}$En cada ideal máximo hay un anillo de Dedekind (equivalentemente, un DVR), pero${\displaystyle R}$En sí mismo no es Dedekind. Como se mencionó anteriormente, un anillo de este tipo no puede ser Noetheriano. Parece ser que los primeros ejemplos de tales anillos fueron construidos por N. Nakano en 1953. En la literatura, a estos anillos se les denomina a veces "anillos casi Dedekind propiamente dichos".

• Constante de Davenport

• Edwards, Harold M. (1990), Teoría del divisor , Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3448-7, Zbl 0689.12001 

• "Anillo de Dedekind" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]