Cierre deductivo

En lógica matemática , un conjunto${\displaystyle {\mathcal {T}}}$Un conjunto de fórmulas lógicas es deductivamente cerrado si contiene todas las fórmulas .${\displaystyle \varphi }$que se puede deducir lógicamente de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$; formalmente, si${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \varphi }$⁠ siempre implica ⁠${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {T}}}$⁠ . Si ⁠${\displaystyle T}$⁠ es un conjunto de fórmulas, el cierre deductivo de ⁠${\displaystyle T}$es su superconjunto más pequeño que es deductivamente cerrado.

El cierre deductivo de una teoría${\displaystyle {\mathcal {T}}}$⁠ se suele denotar ⁠${\displaystyle \operatorname {Ded} ({\mathcal {T}})}$o​​${\displaystyle \operatorname {Th} ({\mathcal {T}})}$Algunos autores no definen una teoría como deductivamente cerrada (por lo tanto, una teoría se define como cualquier conjunto de enunciados ) ,pero dichas teorías siempre pueden «extenderse» a un conjunto deductivamente cerrado. Una teoría puede denominarse teoría deductivamente cerrada para enfatizar que se define como un conjunto deductivamente cerrado. ^{[ 1 ]}

El cierre deductivo es un caso especial del concepto matemático más general de cierre ; en particular, el cierre deductivo de ⁠${\displaystyle {\mathcal {T}}}$⁠ es exactamente el cierre de ⁠${\displaystyle {\mathcal {T}}}$con respecto al funcionamiento de la consecuencia lógica (${\displaystyle \vdash }$⁠ ).

En lógica proposicional , el conjunto de todas las proposiciones verdaderas es deductivamente cerrado. Esto significa que solo las proposiciones verdaderas pueden derivarse de otras proposiciones verdaderas.

En epistemología , muchos filósofos han debatido y siguen debatiendo si ciertos subconjuntos de proposiciones —especialmente aquellas que atribuyen conocimiento o justificación de una creencia a un sujeto— son cerrados bajo la deducción.