Matriz defectuosa

En álgebra lineal , una matriz defectuosa es una matriz cuadrada que no tiene una base completa de autovectores y, por lo tanto, no es diagonalizable . En particular, una${\displaystyle n\times n}$La matriz es defectuosa si y solo si no tiene${\displaystyle n}$autovectores linealmente independientes . ^{[ 1 ]} Se forma una base completa aumentando los autovectores con autovectores generalizados , que son necesarios para resolver sistemas defectuosos de ecuaciones diferenciales ordinarias y otros problemas.

Un${\displaystyle n\times n}$La matriz defectuosa siempre tiene menos de${\displaystyle n}$valores propios distintos , ya que los valores propios distintos siempre tienen vectores propios linealmente independientes. En particular, una matriz defectuosa tiene uno o más valores propios.${\displaystyle \lambda }$con multiplicidad algebraica${\displaystyle m>1}$(es decir, son raíces múltiples del polinomio característico ), pero menos de${\displaystyle m}$autovectores linealmente independientes asociados con${\displaystyle \lambda }$. Si la multiplicidad algebraica de${\displaystyle \lambda }$excede su multiplicidad geométrica (es decir, el número de autovectores linealmente independientes asociados con${\displaystyle \lambda }$), entonces${\displaystyle \lambda }$Se dice que es un valor propio defectuoso . ^{[ 1 ]} Sin embargo, todo valor propio con multiplicidad algebraica${\displaystyle m}$siempre ha sido así${\displaystyle m}$autovectores generalizados linealmente independientes.

Una matriz simétrica real y, más generalmente, una matriz hermitiana y una matriz unitaria nunca son defectuosas; más generalmente, una matriz normal (que incluye las matrices hermitianas y unitarias como casos especiales) nunca es defectuosa.

Cualquier bloque de Jordan no trivial de tamaño${\displaystyle 2\times 2}$o mayor (es decir, no completamente diagonal) es defectuosa. (Una matriz diagonal es un caso especial de la forma normal de Jordan con todos los bloques de Jordan triviales de tamaño${\displaystyle 1\times 1}$y no es defectuoso.) Por ejemplo, el${\displaystyle n\times n}$Bloqueo de Jordania

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

tiene un valor propio ,${\displaystyle \lambda }$con multiplicidad algebraica${\displaystyle n}$(o mayor si hay otros bloques de Jordan con el mismo valor propio), pero solo un vector propio distinto${\displaystyle Jv_{1}=\lambda v_{1}}$, dónde${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$Los otros vectores base canónicos${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}}$formen una cadena de autovectores generalizados tal que${\displaystyle Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}}$para${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$.

Cualquier matriz defectuosa tiene una forma normal de Jordan no trivial , que es lo más cercano que se puede llegar a la diagonalización de dicha matriz.

Un ejemplo sencillo de una matriz defectuosa es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

que tiene un valor propio doble de 3 pero solo un vector propio distinto

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(y múltiplos constantes de los mismos).

• Forma normal de Jordan : forma de una matriz que indica sus valores propios y sus multiplicidades algebraicas. 

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3.ª  ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Strang, Gilbert (1988). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª  ed.). San Diego: Harcourt. ISBN 978-970-686-609-7.