Deferente y epiciclo

En los sistemas astronómicos hiparquiano , ptolemaico y copernicano , el epiciclo ( del griego antiguo ἐπίκυκλος ( epíkuklos ) ' sobre el círculo ' , que significa 'círculo moviéndose sobre otro círculo') ^{[ 1 ]} era un modelo geométrico utilizado para explicar las variaciones en la velocidad y la dirección del movimiento aparente de la Luna , el Sol y los planetas . En particular, explicaba el movimiento retrógrado aparente de los cinco planetas conocidos en ese momento. De forma secundaria, también explicaba los cambios en las distancias aparentes de los planetas a la Tierra. 

El modelo se atribuye a menudo a Apolonio de Perga , quien estuvo activo a finales del siglo III a. C. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Fue desarrollado por Apolonio de Perga e Hiparco de Rodas, quienes lo utilizaron extensamente durante el siglo II a. C., y luego formalizado y ampliamente utilizado por Ptolomeo en su tratado astronómico del siglo II d. C., el Almagesto .

El movimiento epicíclico se utiliza en el mecanismo de Anticitera , un antiguo dispositivo astronómico griego, para compensar la órbita elíptica de la Luna, que se mueve más rápido en el perigeo y más lento en el apogeo que las órbitas circulares, utilizando cuatro engranajes, dos de ellos acoplados de forma excéntrica, lo que se aproxima bastante a la segunda ley de Kepler .

Los epiciclos resultaron muy precisos para predecir el movimiento planetario aparente, ya que, como demostró posteriormente el análisis de Fourier , cualquier curva suave puede aproximarse con una precisión arbitraria mediante un número suficiente de epiciclos. Sin embargo, cayeron en desuso con el descubrimiento de que los movimientos planetarios son en gran medida elípticos desde un sistema de referencia heliocéntrico , lo que llevó al descubrimiento de que la gravedad, que obedece a una simple ley del inverso del cuadrado, podría explicar mejor todos los movimientos planetarios.

En los sistemas hiparquiano y ptolemaico, se supone que los planetas se mueven en un círculo pequeño llamado epiciclo , que a su vez se mueve a lo largo de un círculo mayor llamado deferente (el propio Ptolomeo describió el punto pero no le dio un nombre ^{[ 4 ]} ). Ambos círculos giran hacia el este y son aproximadamente paralelos al plano de la órbita aparente del Sol en esos sistemas ( eclíptica ). A pesar de que el sistema se considera geocéntrico , ninguno de los círculos estaba centrado en la Tierra, sino que el movimiento de cada planeta estaba centrado en un punto específico del planeta ligeramente alejado de la Tierra llamado excéntrico . Las órbitas de los planetas en este sistema son similares a las epitrocoides , pero no son exactamente epitrocoides porque el ángulo del epiciclo no es una función lineal del ángulo del deferente.

En el sistema hipocrático, el epiciclo rotaba y giraba alrededor del deferente con movimiento uniforme. Sin embargo, Ptolomeo descubrió que no podía conciliar esto con los datos de observación babilónicos disponibles; en particular, la forma y el tamaño de los aparentes movimientos retrógrados diferían. La velocidad angular a la que se desplazaba el epiciclo no era constante a menos que la midiera desde otro punto, que ahora se denomina ecuante (Ptolomeo no le dio nombre). La velocidad angular a la que el deferente se movía alrededor del punto medio entre el ecuante y la Tierra (el excéntrico) era constante; el centro del epiciclo solo describía ángulos iguales en tiempos iguales cuando se observaba desde el ecuante. El uso de ecuantes para desacoplar el movimiento uniforme del centro de los deferentes circulares fue lo que distinguió el sistema ptolemaico. Para los planetas exteriores, el ángulo entre el centro del epiciclo y el planeta era el mismo que el ángulo entre la Tierra y el Sol.

Ptolomeo no predijo los tamaños relativos de los deferentes planetarios en el Almagesto . Todos sus cálculos se realizaron con respecto a un deferente normalizado, considerando un solo caso a la vez. Esto no significa que creyera que todos los planetas eran equidistantes, sino que no tenía una base sobre la cual medir distancias, excepto la Luna. Generalmente ordenaba los planetas desde la Tierra hacia afuera según sus períodos orbitales. Posteriormente calculó sus distancias en las Hipótesis Planetarias y las resumió en la primera columna de esta tabla: ^{[ 5 ]}

Si sus valores para los radios de diferencia con respecto a la distancia Tierra-Sol hubieran sido más precisos, los tamaños de los epiciclos se habrían aproximado a dicha distancia. Aunque todos los planetas se consideran por separado, estaban vinculados de una manera peculiar: las líneas trazadas desde el cuerpo a través del epicentro de todos los planetas eran paralelas, al igual que la línea trazada desde el Sol hasta la Tierra, sobre la cual se ubicaban Mercurio y Venus. Esto significa que todos los cuerpos giran en sus epiciclos en sincronía con el Sol de Ptolomeo (es decir, todos tienen un período exacto de un año).

Las observaciones babilónicas demostraron que, en el caso de los planetas superiores, estos se desplazaban por el cielo nocturno más lentamente que las estrellas. Cada noche, el planeta parecía retrasarse ligeramente con respecto a las estrellas, en lo que se denomina movimiento directo . Cerca de la oposición , el planeta parecía invertir su trayectoria y desplazarse por el cielo nocturno más rápido que las estrellas durante un tiempo en movimiento retrógrado, antes de volver a invertirla y reanudar el movimiento directo. La teoría epicíclica, en parte, buscaba explicar este comportamiento.

Los planetas inferiores siempre se observaban cerca del Sol, apareciendo poco antes del amanecer o poco después del atardecer. Su aparente movimiento retrógrado se produce durante la transición entre la estrella vespertina y la estrella matutina, al pasar entre la Tierra y el Sol.

Cuando los astrónomos antiguos observaban el cielo, veían el Sol, la Luna y las estrellas moviéndose sobre sus cabezas de forma regular. Los babilonios realizaban observaciones celestes, principalmente del Sol y la Luna, como medio para recalibrar y preservar la medición del tiempo para las ceremonias religiosas. ^{[ 6 ]} Otras civilizaciones antiguas, como la griega, tuvieron pensadores como Tales de Mileto , el primero en documentar y predecir un eclipse solar (585 a. C.), ^{[ 7 ]} o Heráclides Póntico . También veían a los "errantes" o "planetai" (nuestros planetas ). La regularidad en los movimientos de los cuerpos errantes sugería que sus posiciones podrían ser predecibles.

El enfoque más obvio para el problema de predecir los movimientos de los cuerpos celestes era simplemente mapear sus posiciones sobre el campo estelar y luego ajustar funciones matemáticas a las posiciones cambiantes. ^{[ 8 ]} La introducción de mejores instrumentos de medición celeste, como la introducción del gnomon por Anaximandro, ^{[ 9 ]} permitió a los griegos tener una mejor comprensión del paso del tiempo, como el número de días en un año y la duración de las estaciones, ^{[ 10 ]} que son indispensables para las mediciones astronómicas.

Los antiguos trabajaban desde una perspectiva geocéntrica por la sencilla razón de que la Tierra era el lugar desde donde se encontraban y observaban el cielo, y es el cielo el que parece moverse mientras que el suelo parece quieto y estable bajo sus pies. Algunos astrónomos griegos (por ejemplo, Aristarco de Samos ) especularon que los planetas (incluida la Tierra) orbitaban alrededor del Sol, pero la óptica (y las matemáticas específicas, como la ley de gravitación de Isaac Newton ) necesarias para proporcionar datos que respaldaran de manera convincente el modelo heliocéntrico no existían en la época de Ptolomeo y no se desarrollarían hasta más de mil quinientos años después. Además, la física aristotélica no fue diseñada teniendo en cuenta este tipo de cálculos, y la filosofía de Aristóteles sobre los cielos era totalmente incompatible con el concepto de heliocentrismo. No fue hasta que Galileo Galilei observó las lunas de Júpiter el 7 de enero de 1610 y las fases de Venus en septiembre de 1610 que el modelo heliocéntrico comenzó a recibir un amplio respaldo entre los astrónomos, quienes también llegaron a aceptar la idea de que los planetas son mundos individuales que orbitan alrededor del Sol (es decir, que la Tierra también es un planeta). Johannes Kepler formuló sus tres leyes del movimiento planetario , que describen las órbitas de los planetas del Sistema Solar con una precisión notable, utilizando un sistema que emplea órbitas elípticas en lugar de circulares. Las tres leyes de Kepler todavía se enseñan hoy en día en las clases universitarias de física y astronomía, y su redacción no ha cambiado desde que Kepler las formuló por primera vez hace cuatrocientos años.

El movimiento aparente de los cuerpos celestes con respecto al tiempo es de naturaleza cíclica . Apolonio de Perga (siglo III a. C.) comprendió que esta variación cíclica podía representarse visualmente mediante pequeñas órbitas circulares, o epiciclos , que giraban sobre órbitas circulares más grandes, o deferentes . Hiparco (siglo II a. C.) calculó las órbitas necesarias. En los modelos antiguos, los deferentes y epiciclos no representaban órbitas en el sentido moderno, sino más bien un conjunto complejo de trayectorias circulares cuyos centros estaban separados por una distancia específica para aproximar el movimiento observado de los cuerpos celestes.

Claudio Ptolomeo perfeccionó el concepto de deferente y epiciclo e introdujo el ecuante como mecanismo para explicar las variaciones de velocidad en los movimientos de los planetas. La metodología empírica que desarrolló demostró ser extraordinariamente precisa para su época y aún se utilizaba en tiempos de Copérnico y Kepler. Un modelo heliocéntrico no es necesariamente más preciso que un geocéntrico para rastrear y predecir los movimientos de los cuerpos celestes, considerando órbitas estrictamente circulares. Un sistema heliocéntrico requeriría sistemas más complejos para compensar el cambio de punto de referencia. No fue hasta la propuesta de Kepler de órbitas elípticas que dicho sistema se volvió cada vez más preciso que un simple modelo geocéntrico epicíclico. ^{[ 11 ]}

Owen Gingerich ^{[ 12 ]} describe una conjunción planetaria que ocurrió en 1504 y que, al parecer, fue observada por Copérnico. En notas adjuntas a su copia de las Tablas Alfonsinas , Copérnico comentó que «Marte supera las cifras en más de dos grados. Saturno es superado por las cifras en un grado y medio». Utilizando programas informáticos modernos, Gingerich descubrió que, en el momento de la conjunción, Saturno efectivamente se encontraba un grado y medio por detrás de las tablas, y Marte adelantó las predicciones en casi dos grados. Además, comprobó que las predicciones de Ptolomeo para Júpiter en ese mismo momento eran bastante precisas. Por lo tanto, Copérnico y sus contemporáneos utilizaban los métodos de Ptolomeo y los consideraban fiables más de mil años después de la publicación de su obra original.

Cuando Copérnico transformó las observaciones terrestres a coordenadas heliocéntricas, ^{[ 13 ]} se enfrentó a un problema completamente nuevo. Las posiciones centradas en el Sol mostraban un movimiento cíclico con respecto al tiempo, pero sin bucles retrógrados en el caso de los planetas exteriores. En principio, el movimiento heliocéntrico era más simple, pero con nuevas sutilezas debido a la forma elíptica de las órbitas, aún por descubrir. Otra complicación fue causada por un problema que Copérnico nunca resolvió: contabilizar correctamente el movimiento de la Tierra en la transformación de coordenadas. ^{[ 14 ] : 267} Siguiendo la práctica anterior, Copérnico utilizó el modelo deferente/epiciclo en su teoría, pero sus epiciclos eran pequeños y se denominaban "epiciclos".

En el sistema ptolemaico, los modelos para cada planeta eran diferentes, y lo mismo ocurría con los modelos iniciales de Copérnico. Sin embargo, a medida que avanzaba en los cálculos matemáticos, Copérnico descubrió que sus modelos podían combinarse en un sistema unificado. Además, si se escalaban de manera que la órbita de la Tierra fuera la misma en todos ellos, el orden de los planetas que conocemos hoy se deducía fácilmente de las matemáticas. Mercurio orbitaba más cerca del Sol y el resto de los planetas se ubicaban en orden hacia afuera, ordenados por distancia según sus períodos de revolución. ^{[ 14 ] : 54}

Aunque los modelos de Copérnico redujeron considerablemente la magnitud de los epiciclos, si eran más simples que los de Ptolomeo es discutible. Copérnico eliminó el equante de Ptolomeo, algo criticado, pero a costa de epiciclos adicionales. Varios libros del siglo XVI basados ​​en Ptolomeo y Copérnico utilizan aproximadamente el mismo número de epiciclos. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} La idea de que Copérnico usó solo 34 círculos en su sistema proviene de su propia declaración en un esbozo preliminar inédito llamado Commentariolus . Para cuando publicó De revolutionibus orbium coelestium , había añadido más círculos. Contar el número total es difícil, pero se estima que creó un sistema igual de complicado, o incluso más. ^{[ 18 ]} Koestler, en su historia de la visión del universo por parte del hombre, equipara el número de epiciclos utilizados por Copérnico a 48. ^{[ 19 ]} El total popular de unos 80 círculos para el sistema ptolemaico parece haber aparecido en 1898. Puede que se haya inspirado en el sistema no ptolemaico de Girolamo Fracastoro , quien utilizó 77 o 79 orbes en su sistema inspirado en Eudoxo de Cnido . ^{[ 20 ]} Copérnico en sus obras exageró el número de epiciclos utilizados en el sistema ptolemaico; aunque los recuentos originales llegaban a 80 círculos, para la época de Copérnico el sistema ptolemaico había sido actualizado por Peurbach hacia el número similar de 40; por lo tanto, Copérnico efectivamente reemplazó el problema de la retrogradación con más epiciclos. ^{[ 21 ]}

La teoría de Copérnico era al menos tan precisa como la de Ptolomeo, pero nunca alcanzó la relevancia ni el reconocimiento de esta última. Lo que se necesitaba era la teoría de la órbita elíptica de Kepler, que no se publicó hasta 1609 y 1619. El trabajo de Copérnico proporcionó explicaciones para fenómenos como el movimiento retrógrado, pero en realidad no demostró que los planetas orbitaran alrededor del Sol.

Las teorías de Ptolomeo y Copérnico demostraron la durabilidad y adaptabilidad del modelo deferente/epiciclo para representar el movimiento planetario. Estos modelos funcionaron tan bien gracias a la extraordinaria estabilidad orbital del sistema solar. Cualquiera de las dos teorías podría utilizarse hoy en día si Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton no hubieran inventado el cálculo . ^{[ 22 ]}

Según Maimónides , el sistema astronómico de Ibn Bajjah, ahora perdido, del siglo XII en la España andalusí, carecía de epiciclos. Gersonides, del siglo XIV en Francia, también eliminó los epiciclos, argumentando que no se ajustaban a sus observaciones. ^{[ 23 ]} A pesar de estos modelos alternativos, los epiciclos no se eliminaron hasta el siglo XVII, cuando el modelo de órbitas elípticas de Johannes Kepler reemplazó gradualmente el modelo de Copérnico, basado en círculos perfectos.

La mecánica newtoniana o clásica eliminó por completo la necesidad de los métodos deferentes/epicíclicos y produjo teorías más precisas. Al tratar al Sol y a los planetas como masas puntuales y utilizando la ley de gravitación universal de Newton , se derivaron ecuaciones de movimiento que podían resolverse mediante diversos métodos para calcular predicciones de las velocidades y posiciones orbitales planetarias. Si se aproximaban como problemas simples de dos cuerpos , por ejemplo, podían resolverse analíticamente, mientras que el problema más realista de n cuerpos requería métodos numéricos para su solución.

El poder de la mecánica newtoniana para resolver problemas de mecánica orbital queda ilustrado por el descubrimiento de Neptuno . El análisis de las perturbaciones observadas en la órbita de Urano produjo estimaciones de la posición del planeta sospechoso con una precisión de un grado respecto a donde fue hallado. Esto no se habría podido lograr con los métodos de deferentes/epiciclos. Sin embargo, Newton publicó en 1702 su Teoría del movimiento de la Luna , que empleaba un epiciclo y se mantuvo en uso en China hasta el siglo XIX. Las tablas posteriores basadas en la teoría de Newton podrían haber alcanzado una precisión de minutos de arco. ^{[ 24 ]}

Según una corriente de pensamiento en la historia de la astronomía, se descubrieron pequeñas imperfecciones en el sistema ptolemaico original a través de observaciones acumuladas a lo largo del tiempo. Se creía erróneamente que se habían añadido más niveles de epiciclos (círculos dentro de círculos) a los modelos para reproducir con mayor precisión los movimientos planetarios observados. Se cree que la multiplicación de epiciclos dio lugar a un sistema prácticamente inviable en el siglo XVI, y que Copérnico creó su sistema heliocéntrico para simplificar la astronomía ptolemaica de su época, logrando así reducir drásticamente el número de círculos.

Con mejores observaciones, se utilizaron epiciclos y excéntricos adicionales para representar los fenómenos recién observados hasta que, a finales de la Edad Media, el universo se convirtió en una "Esfera/Con Céntrico y Excéntrico garabateados encima,/Ciclo y Epiciclo, Orbe dentro de Orbe".

Como medida de complejidad, se indica que Ptolomeo utiliza 80 círculos, frente a tan solo 34 en el caso de Copérnico. ^{[ 26 ]} El número más alto apareció en la Encyclopædia Britannica sobre Astronomía durante la década de 1960, en un análisis del interés del rey Alfonso X de Castilla por la astronomía durante el siglo XIII. (Se le atribuye a Alfonso el encargo de las Tablas Alfonsinas ).

Para entonces, a cada planeta se le habían asignado entre 40 y 60 epiciclos para representar, de alguna manera, su complejo movimiento entre las estrellas. Asombrado por la dificultad del proyecto, se le atribuye a Alfonso el comentario de que, de haber estado presente en la Creación, habría dado excelentes consejos.

Resulta que una dificultad importante con esta teoría de epiciclos sobre epiciclos es que los historiadores que examinan libros sobre astronomía ptolemaica de la Edad Media y el Renacimiento no han encontrado absolutamente ningún rastro del uso de múltiples epiciclos para cada planeta. Las Tablas Alfonsinas, por ejemplo, aparentemente se calcularon utilizando los métodos originales y sencillos de Ptolomeo. ^{[ 14 ] : 57}

Otro problema es que los propios modelos desincentivaban las modificaciones. En un modelo deferente-epiciclo, las partes del todo están interrelacionadas. Un cambio en un parámetro para mejorar el ajuste en un punto alteraría el ajuste en otro. El modelo de Ptolomeo es probablemente óptimo en este sentido. En general, arrojó buenos resultados, pero presentó algunas deficiencias. Los astrónomos experimentados habrían reconocido estas limitaciones y las habrían tenido en cuenta.

De hecho, en el Almagesto de Ptolomeo , el Sol tiene un ciclo y la Luna tres: el deferente, un epiciclo y un círculo pequeño interior o «epiciclo». Cada planeta exterior tiene cuatro: deferente, epiciclo, ecuante y rueda de latitud. Venus tiene dos ruedas de latitud más que los planetas exteriores, es decir, seis. Mercurio tiene todos los ciclos de Venus más un epiciclo, o sea, siete. Si incluimos la esfera de las estrellas fijas y otra esfera para tener en cuenta la precesión de los equinoccios, el número total de ciclos y esferas asciende a 31. ^{[ 28 ]}

Según el historiador de la ciencia Norwood Russell Hanson :

No existe ninguna curva bilateralmente simétrica ni excéntricamente periódica utilizada en ninguna rama de la astrofísica o la astronomía observacional que no pueda representarse gráficamente de forma fluida como el movimiento resultante de un punto que gira dentro de una constelación de epiciclos, de número finito, que giran alrededor de un deferente fijo.

Cualquier trayectoria —periódica o no, cerrada o abierta— puede representarse con un número infinito de epiciclos. Esto se debe a que los epiciclos pueden representarse como una serie de Fourier compleja ; por lo tanto, con un gran número de epiciclos, se pueden representar trayectorias muy complejas en el plano complejo . ^{[ 30 ]}

Sea el número complejo

${\displaystyle z_{0}=a_{0}e^{ik_{0}t}\,,}$

donde a ₀ y k ₀ son constantes,${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$es la unidad imaginaria , y t es el tiempo, corresponden a un deferente centrado en el origen del plano complejo y que gira con un radio a ₀ y velocidad angular

${\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{T}}\,,}$

donde T es el período .

Si z ₁ es el camino de un epiciclo, entonces el deferente más el epiciclo se representa como la suma

${\displaystyle z_{2}=z_{0}+z_{1}=a_{0}e^{ik_{0}t}+a_{1}e^{ik_{1}t}\,.}$

Esta es una función casi periódica , y es una función periódica solo cuando la razón de las constantes k _j es racional . Generalizando a N epiciclos se obtiene la función casi periódica.

${\displaystyle z_{N}=\sum _{j=0}^{N}a_{j}e^{ik_{j}t}\,,}$

que es periódica justo cuando cada par de k _j está relacionado racionalmente. Encontrar los coeficientes a _j para representar una trayectoria dependiente del tiempo en el plano complejo , z = f ( t ) , es el objetivo de reproducir una órbita con deferentes y epiciclos, y esta es una forma de " salvar los fenómenos " (σώζειν τα φαινόμενα). ^{[ 31 ]}

Este paralelismo fue señalado por Giovanni Schiaparelli . ^{[ 32 ] [ 33 ]} En relación con el debate de la Revolución Copernicana sobre " salvar los fenómenos " frente a ofrecer explicaciones, se puede comprender por qué Tomás de Aquino , en el siglo XIII, escribió:

La razón puede emplearse de dos maneras para establecer un punto: primero, para proporcionar pruebas suficientes de algún principio [...]. La razón se emplea de otra manera, no para proporcionar una prueba suficiente de un principio, sino para confirmar un principio ya establecido, mostrando la congruencia de sus resultados, como en astronomía se considera establecida la teoría de las excéntricas y los epiciclos, porque de ella se pueden explicar las apariencias sensibles de los movimientos celestes; no, sin embargo, como si esta prueba fuera suficiente, puesto que alguna otra teoría podría explicarlos.

Siendo un sistema que se usó en su mayor parte para justificar el modelo geocéntrico, con la excepción del cosmos de Copérnico, el modelo deferente y epicíclico fue favorecido sobre las ideas heliocéntricas que propusieron Kepler y Galileo. Adoptantes posteriores del modelo epicíclico como Tycho Brahe , quien consideró las escrituras de la Iglesia al crear su modelo, ^{[ 35 ]} fueron vistos aún más favorablemente. El modelo tychónico era un modelo híbrido que combinaba las características geocéntricas y heliocéntricas, con una Tierra inmóvil rodeada por el sol y la luna, y los planetas orbitando alrededor del sol. Para Brahe, la idea de una Tierra giratoria y en movimiento era imposible, y la escritura debía ser siempre primordial y respetada. ^{[ 36 ]} Cuando Galileo intentó desafiar el sistema de Tycho Brahe, la Iglesia se mostró insatisfecha con que se cuestionaran sus puntos de vista. La publicación de Galileo no ayudó a su caso en su juicio .

La expresión «añadir epiciclos» se ha convertido en un comentario despectivo en el debate científico moderno. El término podría usarse, por ejemplo, para describir el intento continuo de ajustar una teoría para que sus predicciones coincidan con los hechos. Existe la idea generalmente aceptada de que los epiciclos adicionales se inventaron para mitigar los crecientes errores que el sistema ptolemaico observó a medida que las mediciones se volvían más precisas, particularmente en el caso de Marte. Según esta idea, algunos consideran los epiciclos como el ejemplo paradigmático de mala ciencia. ^{[ 37 ]}

Copérnico añadió un epiciclo extra a sus planetas, pero esto fue solo en un intento por eliminar el ecuante de Ptolomeo, que consideraba una ruptura filosófica con la perfección de los cielos de Aristóteles. Matemáticamente, el segundo epiciclo y el ecuante producen resultados casi idénticos, y muchos astrónomos copernicanos anteriores a Kepler continuaron utilizando el ecuante, ya que los cálculos matemáticos eran más sencillos. Los epiciclos de Copérnico también eran mucho más pequeños que los de Ptolomeo, y eran necesarios porque los planetas en su modelo se movían en círculos perfectos. Johannes Kepler demostraría más tarde que los planetas se mueven en elipses, lo que también eliminó la necesidad de los epiciclos de Copérnico. ^{[ 38 ]}

• Analema
• Epicicloide
• La navaja de Occam
• Sobreajuste
• Método científico

• Sistema ptolemaico – en el proyecto Galileo de la Universidad Rice
• Excéntricas, deferentes, epiciclos y ecuantes en MathPages