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Número deficiente

Demostración, con varillas Cuisenaire , de la deficiencia del número 8 En teoría de números , un número deficiente o defectuoso es un entero positivo n para el cual la suma de l...

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Demostración, con varillas Cuisenaire , de la deficiencia del número 8

En teoría de números , un número deficiente o defectuoso es un entero positivo n para el cual la suma de los divisores de n es menor que 2 n . De manera equivalente, es un número para el cual la suma de los divisores propios (o suma alícuota ) es menor que n . Por ejemplo, los divisores propios de 8 son 1, 2 y 4 , y su suma es menor que 8, por lo que 8 es deficiente.

Denotando por σ ( n ) la suma de los divisores, el valor 2 n – σ ( n ) se llama deficiencia del número . En términos de la suma alícuota s ( n ) , la deficiencia es n – s ( n ) .

Ejemplos

Los primeros números deficientes son

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (secuencia A005100 en la OEIS )

Como ejemplo, considere el número 21. Sus divisores son 1, 3, 7 y 21, y su suma es 32. Como 32 es menor que 42, el número 21 es deficiente. Su deficiencia es 2 × 21 − 32 = 10.

Propiedades

Como las sumas alícuotas de los números primos son iguales a 1, todos los números primos son deficientes. [1] En términos más generales, todos los números impares con uno o dos factores primos distintos son deficientes. De ello se deduce que hay infinitos números impares deficientes. También hay un número infinito de números pares deficientes, ya que todas las potencias de dos tienen la suma ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 x -1 = 2 x - 1 ).

De manera más general, todas las potencias primas son deficientes, porque sus únicos divisores propios son los que suman , que es como máximo . [2] pag a estilo de visualización p^{k}} 1 , pag , pag 2 , … , pag a − 1 {\displaystyle 1,p,p^{2},\puntos ,p^{k-1}} pag a − 1 pag − 1 {\displaystyle {\frac {p^{k}-1}{p-1}}} pag a − 1 estilo de visualización p^{k}-1

Todos los divisores propios de números deficientes son deficientes. [3] Además, todos los divisores propios de números perfectos son deficientes. [4]

Existe al menos un número deficiente en el intervalo para todos los n suficientemente grandes . [5] [ norte , norte + ( registro ⁡ norte ) 2 ] {\displaystyle [n,n+(\log n)^{2}]}

Diagrama de Euler de números menores de 100:
   Abundante
   Primitivo abundante
   Altamente abundante
   Superabundante y altamente compuesto
   Colosalmente abundante y superior, altamente compuesto.
   Extraño
   Perfecto
   Compuesto
   Deficiente

Estrechamente relacionados con los números deficientes están los números perfectos con σ ( n ) = 2 n y los números abundantes con σ ( n ) > 2 n .

Nicómaco fue el primero en subdividir los números en deficientes, perfectos o abundantes en su Introducción a la aritmética (hacia el año 100 d. C.). Sin embargo, aplicó esta clasificación sólo a los números pares . [6]

Véase también

Notas

  1. ^ Prielipp (1970), Teorema 1, págs. 693–694.
  2. ^ Prielipp (1970), Teorema 2, pág. 694.
  3. ^ Prielipp (1970), Teorema 7, pág. 695.
  4. ^ Prielipp (1970), Teorema 3, pág. 694.
  5. ^ Sándor, Mitrinović y Crstici (2006), pág. 108.
  6. ^ Dickson (1919), pág. 3.

Referencias

  • Dickson, Leonard Eugene (1919). Historia de la teoría de los números, vol. I: Divisibilidad y primalidad. Instituto Carnegie de Washington.
  • Prielipp, Robert W. (1970). "Números perfectos, números abundantes y números deficientes". The Mathematics Teacher . 63 (8): 692–696. doi :10.5951/MT.63.8.0692. JSTOR  27958492.
  • Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9.Zbl 1151.11300  .
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