Número real definible

De manera informal, un número real definible es un número real que puede especificarse de forma única mediante su descripción. La descripción puede expresarse como una construcción o como una fórmula de un lenguaje formal . Por ejemplo, la raíz cuadrada positiva de 2,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, puede definirse como la única solución positiva de la ecuación${\displaystyle x^{2}=2}$y se puede construir con un compás y una regla.

Las distintas elecciones de un lenguaje formal o su interpretación dan lugar a distintas nociones de definibilidad. Entre las variedades específicas de números definibles se incluyen los números constructibles de la geometría, los números algebraicos y los números computables .

Una forma de especificar un número real utiliza técnicas geométricas. Un número real${\displaystyle r}$es un número construible si existe un método para construir un segmento de línea de longitud${\displaystyle r}$utilizando un compás y una regla, comenzando con un segmento de línea fijo de longitud 1.

Cada entero positivo y cada número racional positivo es construible. La raíz cuadrada positiva de 2 es construible. Sin embargo, la raíz cúbica de 2 no es construible; esto se relaciona con la imposibilidad de duplicar el cubo .

Un número real${\displaystyle r}$Se denomina número algebraico real si existe un polinomio.${\displaystyle p(x)}$, con coeficientes enteros únicamente, de modo que${\displaystyle r}$es una raíz de${\displaystyle p}$, eso es,${\displaystyle p(r)=0}$Cada número algebraico real puede definirse individualmente utilizando la relación de orden en los reales. Por ejemplo, si un polinomio${\displaystyle q(x)}$tiene 5 raíces reales, la tercera puede definirse como la única${\displaystyle r}$de tal manera que${\displaystyle q(r)=0}$y de tal manera que haya dos números distintos menores que${\displaystyle r}$en el cual${\displaystyle q}$es cero.

Todos los números racionales son construibles, y todos los números construibles son algebraicos. Existen números, como la raíz cúbica de 2, que son algebraicos pero no construibles.

Los números algebraicos reales forman un subcampo de los números reales. Esto significa que 0 y 1 son números algebraicos y, además, si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son números algebraicos, entonces también lo son${\displaystyle a+b}$,${\displaystyle ab}$,${\displaystyle ab}$y, si${\displaystyle b}$es distinto de cero,${\displaystyle a/b}$.

Los números algebraicos reales también tienen la propiedad, que va más allá de ser un subcampo de los reales, de que para cada entero positivo${\displaystyle n}$y cada número algebraico real${\displaystyle a}$, todos los${\displaystyle n}$raíces de${\displaystyle a}$Los números reales también son algebraicos.

Solo existen una cantidad numerable de números algebraicos, pero existen una cantidad incontable de números reales, por lo que, en términos de cardinalidad, la mayoría de los números reales no son algebraicos. Esta demostración no constructiva de que no todos los números reales son algebraicos fue publicada por primera vez por Georg Cantor en su artículo de 1874 titulado " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales ".

Los números no algebraicos se denominan números trascendentales . Los números trascendentales más conocidos son π y e .

Un número real es un número computable si existe un algoritmo que, dado un número natural,${\displaystyle n}$, produce una expansión decimal para el número con precisión de${\displaystyle n}$lugares decimales. Esta noción fue introducida por Alan Turing en 1936. ^{[ 1 ]}

Los números computables incluyen los números algebraicos junto con muchos números trascendentales, entre ellos:${\displaystyle \pi }$y${\displaystyle e}$Al igual que los números algebraicos, los números computables también forman un subcampo de los números reales, y los números computables positivos son cerrados al tomar${\displaystyle n}$raíces para cada positivo${\displaystyle n}$.

No todos los números reales son computables. Algunos ejemplos específicos de números reales no computables incluyen los límites de las secuencias de Specker y números reales aleatorios algorítmicamente, como los números Ω de Chaitin .

Otra noción de definibilidad proviene de las teorías formales de la aritmética, como la aritmética de Peano . El lenguaje de la aritmética tiene símbolos para 0, 1, la operación de sucesor, la suma y la multiplicación, destinados a ser interpretados de la manera habitual sobre los números naturales . Debido a que ninguna variable de este lenguaje abarca los números reales , se necesita un tipo diferente de definibilidad para referirse a los números reales. Un número real${\displaystyle a}$es definible en el lenguaje de la aritmética (o aritmética ) si su corte de Dedekind puede definirse como un predicado en ese lenguaje; es decir, si existe una fórmula de primer orden.${\displaystyle \varphi }$en el lenguaje de la aritmética, con tres variables libres, de tal manera que $${\displaystyle \forall m\,\forall n\,\forall p\left(\varphi (n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}}<a\right).}$$ Aquí , m , n y p toman valores enteros no negativos.

El lenguaje de segundo orden de la aritmética es igual que el de primer orden, salvo que las variables y los cuantificadores pueden abarcar conjuntos de números naturales. Un número real que es definible en segundo orden en el lenguaje de la aritmética se denomina analítico .

Todo número real computable es aritmético, y los números aritméticos forman un subconjunto de los números reales, al igual que los números analíticos. Todo número aritmético es analítico, pero no todo número analítico es aritmético. Dado que solo existen unos pocos números analíticos, la mayoría de los números reales no son analíticos y, por lo tanto, tampoco son aritméticos.

Todo número computable es aritmético, pero no todo número aritmético es computable. Por ejemplo, el límite de una secuencia de Specker es un número aritmético que no es computable.

Las definiciones de números reales aritméticos y analíticos se pueden estratificar en la jerarquía aritmética y la jerarquía analítica . En general, un número real es computable si y solo si su corte de Dedekind está en el nivel${\displaystyle \Delta _ {1}^{0}}$de la jerarquía aritmética, uno de los niveles más bajos. De manera similar, los números reales con cortes de Dedekind aritméticos forman el nivel más bajo de la jerarquía analítica.

Un número real${\displaystyle a}$es definible en primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos, sin parámetros , en relación con un modelo particular.${\displaystyle M}$de ZFC , si existe una fórmula${\displaystyle \varphi }$en el lenguaje de la teoría de conjuntos , con una variable libre , tal que${\displaystyle a}$es el único número real en ${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle \varphi (a)}$se sostiene. ^{[ 2 ]} Esto da diferentes nociones de definibilidad para diferentes modelos, que no pueden caracterizarse mediante una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos.

Todos los números analíticos, y en particular todos los números computables, son definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos incluyen todos los números reales familiares como 0 , 1 ,${\displaystyle \pi }$,${\displaystyle e}$, etcétera, junto con todos los números algebraicos. Suponiendo que forman un conjunto en el modelo, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos forman un cuerpo.

Cada modelo${\displaystyle M}$que contiene una cantidad incontable de números reales debe contener números reales que no son definibles en relación con${\displaystyle M}$(sin parámetros). Esto se deduce del hecho de que solo hay una cantidad numerable de fórmulas y, por lo tanto, solo una cantidad numerable de elementos de${\displaystyle M}$puede ser definible sobre${\displaystyle M}$. Por lo tanto, si${\displaystyle M}$tiene incontables números reales, se puede demostrar desde "fuera"${\displaystyle M}$que no todos los números reales de${\displaystyle M}$es definible sobre${\displaystyle M}$.

Este argumento se vuelve más problemático si se aplica a modelos de clases de ZFC, como el universo de von Neumann . La afirmación "el número real${\displaystyle x}$es definible sobre el modelo de clase${\displaystyle N}$" no puede expresarse como una fórmula de ZFC. ^{[ 3 ] [ 4 ]} De manera similar, la cuestión de si el universo de von Neumann contiene números reales que no puede definir no puede expresarse como una oración en el lenguaje de ZFC. Además, existen modelos numerables de ZFC en los que todos los números reales, todos los conjuntos de números reales, funciones sobre los reales, etc., son definibles. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

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