Teorema de Takens

En el estudio de sistemas dinámicos , un teorema de incrustación con retardo proporciona las condiciones bajo las cuales un sistema dinámico caótico puede reconstruirse a partir de una secuencia de observaciones del estado de dicho sistema. La reconstrucción conserva las propiedades del sistema dinámico que no cambian bajo cambios de coordenadas suaves (es decir, difeomorfismos ), pero no conserva la forma geométrica de las estructuras en el espacio de fases .

El teorema de Takens es el teorema de incrustación con retardo de Floris Takens de 1981. Proporciona las condiciones bajo las cuales se puede reconstruir un atractor suave a partir de las observaciones realizadas con una función genérica . Resultados posteriores reemplazaron el atractor suave por un conjunto de dimensiones de conteo de cajas arbitrarias y la clase de funciones genéricas por otras clases de funciones.

Es el método más comúnmente utilizado para la reconstrucción de atractores . ^{[ 1 ]}

Los teoremas de incrustación de retardo son más sencillos de enunciar para sistemas dinámicos de tiempo discreto . El espacio de estados del sistema dinámico es una variedad M de dimensión ν . La dinámica viene dada por una aplicación suave.

${\displaystyle f:M\to M.}$

Supongamos que la dinámica f tiene un atractor extraño.${\displaystyle A\subset M}$con dimensión de conteo de cajas d _A . Usando ideas del teorema de incrustación de Whitney , A puede incrustarse en un espacio euclidiano k -dimensional con

${\displaystyle k>2d_{A}.}$

Es decir, existe un difeomorfismo φ que mapea A en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$de tal manera que la derivada de φ tenga rango completo .

Un teorema de incrustación de retardo utiliza una función de observación para construir la función de incrustación. Una función de observación${\displaystyle \alpha :M\to \mathbb {R} }$debe ser dos veces diferenciable y asociar un número real a cualquier punto del atractor A. También debe ser típico , por lo que su derivada es de rango completo y no tiene simetrías especiales en sus componentes. El teorema de incrustación de retardo establece que la función

${\displaystyle \varphi _{T}(x)={\bigl (}\alpha (x),\,\alpha (f(x)),\,\dots ,\,\alpha (f^{k-1}(x))\,{\bigr )}}$

es una incrustación del atractor extraño A en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$

Supongamos que el${\displaystyle d}$vector de estado de dimensión${\displaystyle x_{t}}$evoluciona según una dinámica desconocida pero continua y (crucialmente) determinista. Supongamos también que la observable unidimensional${\displaystyle y}$es una función suave de${\displaystyle x}$y “acoplado” a todos los componentes de${\displaystyle x}$Ahora, en cualquier momento podemos observar no solo la medición actual.${\displaystyle y(t)}$pero también en observaciones realizadas en momentos alejados de nosotros por múltiplos de algún desfase.${\displaystyle \tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }}$, etc. Si usamos ${\displaystyle k}$retrasos, tenemos un${\displaystyle k}$Vector de dimensión . Cabría esperar que, a medida que aumenta el número de retardos, el movimiento en el espacio retardado se vuelva cada vez más predecible, y quizás en el límite${\displaystyle k\to \infty }$se volvería determinista. De hecho, la dinámica de los vectores retardados se vuelve determinista en una dimensión finita; no solo eso, sino que la dinámica determinista es completamente equivalente a la del espacio de estados original (precisamente, están relacionadas por un cambio de coordenadas suave e invertible, o difeomorfismo). De hecho, el teorema dice que el determinismo aparece una vez que se alcanza la dimensión${\displaystyle 2d+1}$y la dimensión de incrustación mínima suele ser menor. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El teorema de Takens se utiliza habitualmente para reconstruir atractores extraños a partir de datos experimentales contaminados por ruido. Por ello, la elección del tiempo de retardo resulta crucial. Mientras que para datos sin ruido cualquier valor de retardo es válido, para datos con ruido, el atractor se vería destruido por este si se eligiera un retardo inadecuado.

El retardo óptimo suele ser entre una décima y la mitad del período orbital medio alrededor del atractor. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• Teorema de incrustación de Whitney
• Reducción de dimensionalidad no lineal

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• El producto ChaosKit de Scientio utiliza la técnica de incrustación para crear análisis y predicciones. El acceso se proporciona en línea a través de un servicio web y una interfaz gráfica.
• Las herramientas de modelado dinámico empírico pyEDM y rEDM utilizan la técnica de incrustación para análisis, predicción e inferencia causal.