Deltaedro

Un deltaedro es un poliedro cuyas caras son todas triángulos equiláteros . El deltaedro fue nombrado por Martyn Cundy , en referencia a la letra griega mayúscula delta, que se asemeja a una forma triangular Δ. ^{[ 1 ]}

Los deltaedros se pueden clasificar según su convexidad . El deltaedro convexo más simple es el tetraedro regular , una pirámide con cuatro triángulos equiláteros. Existen ocho deltaedros convexos que se utilizan en aplicaciones químicas como la teoría de pares de electrones esqueléticos poliédricos y los compuestos químicos . Hay infinitos deltaedros no convexos.

Se dice que un poliedro es convexo si una línea entre dos cualesquiera de sus vértices se encuentra dentro de su interior o en su frontera, y además, si no hay dos caras coplanares (que se encuentren en el mismo plano) y no hay dos aristas colineales (segmentos de la misma línea), se puede considerar estrictamente convexo. ^{[ 2 ]}

De los ocho deltaedros convexos , tres son sólidos platónicos y cinco son sólidos de Johnson . Son: ^{[ 3 ]}

• tetraedro regular , una pirámide con cuatro triángulos equiláteros, uno de los cuales puede considerarse la base.
• bipirámide triangular , octaedro regular y bipirámide pentagonal ; bipirámides con seis, ocho y diez triángulos equiláteros, respectivamente. Se construyen uniendo bases idénticas de pirámides.
• La bipirámide cuadrada giroelongada y el icosaedro regular se construyen uniendo dos pirámides a un antiprisma cuadrado o a un antiprisma pentagonal, respectivamente, de manera que tengan dieciséis y veinte caras triangulares.
• Prisma triangular triaumentado , construido mediante la unión de tres pirámides cuadradas a la cara cuadrada de un prisma triangular, de manera que tenga catorce caras triangulares.
• disfenoides truncado , con doce caras triangulares, construido involucrando dos hexágonos regulares en el siguiente orden: estos hexágonos pueden formar una bipirámide en degeneración , separándolos en dos partes a lo largo de una diagonal coincidente, presionando hacia adentro en el extremo de la diagonal, rotando uno de ellos 90° y volviéndolos a unir.

El número de deltaedros convexos posibles fue dado por Rausenberger (1915) . Rausenberger denominó a estos sólidos poliedros pseudorregulares convexos . ^{[ 4 ]}

Resumiendo los ejemplos anteriores, los deltaedros pueden definirse de manera concluyente como la clase de poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros . ^{[ 5 ]} Otra definición de Bernal (1964) es similar a la anterior, en la que se interesó por las formas de los huecos que quedan en arreglos irregulares de empaquetamiento compacto de esferas. Se define como un poliedro convexo con caras triangulares equiláteras que puede formarse por los centros de una colección de esferas congruentes, cuyas tangencias representan las aristas del poliedro, y tal que no hay espacio para empaquetar otra esfera dentro de la jaula creada por este sistema de esferas. Debido a esta restricción, algunos poliedros pueden no incluirse como deltaedros: la bipirámide triangular (porque forma dos huecos tetraédricos en lugar de un solo hueco), la bipirámide pentagonal (porque las esferas de sus vértices se interpenetran, por lo que no puede aparecer en empaquetamientos de esferas) y el icosaedro regular (porque tiene espacio interior para otra esfera). ^{[ 6 ]}

La mayoría de los deltaedros convexos se pueden encontrar en el estudio de la química . Por ejemplo, se clasifican como el poliedro closo en el estudio de la teoría de pares de electrones esqueléticos poliédricos . ^{[ 7 ]} Otras aplicaciones de los deltaedros —excluyendo el icosaedro regular— son la visualización de un grupo de átomos que rodea a un átomo central como un poliedro en el estudio de compuestos químicos : el tetraedro regular representa la geometría molecular tetraédrica , la bipirámide triangular representa la geometría molecular bipiramidal trigonal , el octaedro regular representa la geometría molecular octaédrica , la bipirámide pentagonal representa la geometría molecular bipiramidal pentagonal , la bipirámide cuadrada giroelongada representa la geometría molecular antiprismática cuadrada bicapada , el prisma triangular triaumentado representa la geometría molecular prismática trigonal tricapada y el disfenoides truncado representa la geometría molecular dodecaédrica . ^{[ 8 ]} El icosaedro regular junto con algunos otros deltaedros aparece en la geometría de los cúmulos de hidruro de boro . ^{[ 9 ]}

Un deltaedro no convexo es un deltaedro que no posee convexidad, por lo que tiene caras coplanares o aristas colineales. Existen infinitos deltaedros no convexos. ^{[ 10 ]} Algunos ejemplos son la stella octangula , el dodecaedro excavado y la hélice de Boerdijk-Coxeter . ^{[ 11 ]}

Existen subclases de deltaedros no convexos. Cundy (1952) demuestra que pueden descubrirse hallando el número de tipos de vértices variables . Un conjunto de vértices se considera del mismo tipo siempre que existan subgrupos del mismo grupo del poliedro transitivos en el conjunto. Cundy demuestra que el gran icosaedro es el único deltaedro no convexo con un único tipo de vértice. Existen diecisiete deltaedros no convexos con dos tipos de vértice, y posteriormente Olshevsky añadió los otros once deltaedros ^{[ 12 ]} . Otras subclases son el deltaedro isoédrico , descubierto posteriormente por McNeill y Shephard (2000) ^{[ 13 ]} , y el deltaedro espiral , construido a partir de tiras de triángulos equiláteros, descubierto por Trigg (1978) ^{[ 14 ]} .

• Los deltaedros de Cundy o deltaedros biformes
• Weisstein, Eric W. , "Deltaedro" , MathWorld