Módulo Demazure

En matemáticas, un módulo de Demazure , introducido por Demazure ( 1974a , 1974b ) , es un submódulo de una representación de dimensión finita generada por un espacio de peso extremal bajo la acción de una subálgebra de Borel . La fórmula de caracteres de Demazure , introducida por Demazure ( 1974b , teorema 2) , proporciona los caracteres de los módulos de Demazure y es una generalización de la fórmula de caracteres de Weyl . La dimensión de un módulo de Demazure es un polinomio en el peso más alto, llamado polinomio de Demazure .

Módulos Demazure

Supongamos que g es un álgebra de Lie semisimple compleja , con una subálgebra de Borel b que contiene una subálgebra de Cartan h . Una representación irreducible de dimensión finita V de g se descompone como una suma de autoespacios de h , y el espacio de peso más alto es unidimensional y es un autoespacio de b . El grupo de Weyl W actúa sobre los pesos de V , y los conjugados w λ del vector de peso más alto λ bajo esta acción son los pesos extremos, cuyos espacios de peso son todos unidimensionales.

Un módulo de Demazure es el b -submódulo de V generado por el espacio de pesos de un vector extremal w λ, por lo que los submódulos de Demazure de V están parametrizados por el grupo de Weyl W .

Hay dos casos extremos: si w es trivial , el módulo de Demazure es simplemente unidimensional, y si w es el elemento de longitud máxima de W, entonces el módulo de Demazure es toda la representación irreducible V.

Los módulos de Demazure se pueden definir de forma similar para las representaciones de peso máximo de las álgebras de Kac-Moody , con la salvedad de que ahora se tienen dos casos, ya que se pueden considerar los submódulos generados tanto por la subálgebra de Borel b como por su subálgebra opuesta. En dimensiones finitas, estos se intercambian por el elemento más largo del grupo de Weyl, pero esto ya no ocurre en dimensiones infinitas, puesto que no existe un elemento más largo.

Fórmula del personaje Demazure

Historia

La fórmula de caracteres de Demazure fue introducida por ( Demazure 1974b , teorema 2) . Victor Kac señaló que la demostración de Demazure tiene una laguna importante, ya que depende de ( Demazure 1974a , Proposición 11, sección 2) , lo cual es falso; véase ( Joseph 1985 , sección 4) para el contraejemplo de Kac. Andersen (1985) dio una demostración de la fórmula de caracteres de Demazure utilizando el trabajo sobre la geometría de las variedades de Schubert de Ramanan y Ramanathan (1985) y Mehta y Ramanathan (1985) . Joseph (1985) dio una demostración para módulos dominantes de peso máximo suficientemente grandes utilizando técnicas de álgebra de Lie. Kashiwara (1993) demostró una versión refinada de la fórmula de caracteres de Demazure que Littelmann (1995) conjeturó (y demostró en muchos casos).

Declaración

La fórmula del personaje de Demazure es

{\text{Ch}}(F(w\lambda ))=\Delta _{1}\Delta _{2}\cdots \Delta _{n}e^{\lambda }

Aquí:

w es un elemento del grupo de Weyl, con descomposición reducida w = s ₁ ... s _n como producto de reflexiones de raíces simples.
λ es el peso más bajo, y e ^λ el elemento correspondiente del anillo de grupo de la red de pesos.
Ch( F ( w λ)) es el carácter del módulo de Demazure F ( w λ).
P es la red de pesos y Z [ P ] es su anillo de grupo.
$\rho$ es la suma de pesos fundamentales y la acción del punto se define por $w\cdot u=w(u+\rho )-\rho$ .
Δ _α para α una raíz es el endomorfismo del Z -módulo Z [ P ] definido por

\Delta _{\alpha }(u)={\frac {u-s_{\alpha }\cdot u}{1-e^{-\alpha }}}

y Δj _es Δα _para_α la raíz de sj

Referencias

Andersen, HH (1985), "Variedades de Schubert y la fórmula de caracteres de Demazure", Inventiones Mathematicae , 79 (3): 611– 618, Bibcode : 1985InMat..79..611A , doi : 10.1007/BF01388527 , ISSN 0020-9910 , MR 0782239 , S2CID 121295084
Demazure, Michel (1974a), "Désingularisation des variétés de Schubert généralisées", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 : 53– 88, doi : 10.24033/asens.1261 , ISSN 0012-9593 , MR 0354697
Demazure, Michel (1974b), "Une nouvelle formule des caractères", Bulletin des Sciences Mathématiques , 2e Série, 98 (3): 163– 172, ISSN 0007-4497 , MR 0430001
Joseph, Anthony (1985), "Sobre la fórmula del carácter Demazure", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 18 (3): 389– 419, doi : 10.24033/asens.1493 , ISSN 0012-9593 , MR 0826100
Kashiwara, Masaki (1993), "La base cristalina y la fórmula refinada del carácter de Demazure de Littelmann", Duke Mathematical Journal , 71 (3): 839–858 , doi : 10.1215/S0012-7094-93-07131-1 , ISSN 0012-7094 , MR 1240605
Littelmann, Peter (1995), "Gráficos de cristal y diagramas de Young", Journal of Algebra , 175 (1): 65–87 , doi : 10.1006/jabr.1995.1175 , ISSN 0021-8693 , MR 1338967
Mehta, VB; Ramanathan, A. (1985), "Frobenius splitting and cohomology vanishing for Schubert variety", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 122 (1): 27– 40, doi : 10.2307/1971368 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971368 , MR 0799251
Ramanan, S.; Ramanathan, A. (1985), "Normalidad proyectiva de variedades de banderas y variedades de Schubert", Inventiones Mathematicae , 79 (2): 217– 224, Bibcode : 1985InMat..79..217R , doi : 10.1007/BF01388970 , ISSN 0020-9910 , MR 0778124 , S2CID 123105737