Teorema de Denjoy-Wolff

Si f tiene un punto fijo z en D , entonces, después de conjugarlo mediante una transformación de Möbius, se puede suponer que z = 0. Sea M ( r ) el módulo máximo de f en |z| = r < 1. Por el lema de Schwarz ^{[ 4 ]}

${\displaystyle |f(z)|\leq \delta (r)|z|,}$

para | z | ≤ r , donde

${\displaystyle \delta (r)={M(r) \over r}<1.}$

De ello se deduce por iteración que

${\displaystyle |f^{n}(z)|\leq \delta (r)^{n}}$

para | z | ≤ r . Estas dos desigualdades implican el resultado en este caso.

Cuando f actúa en D sin puntos fijos, Wolff demostró que hay un punto z en el límite tal que las iteraciones de f dejan invariante cada disco tangente al límite en ese punto.

Toma una secuencia${\displaystyle r_{k}}$aumentando a 1 y estableciendo ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle f_{k}(z)=r_{k}f(z).}$

Aplicando el teorema de Rouché a${\displaystyle f_{k}(z)-z}$y${\displaystyle g(z)=z}$,${\displaystyle f_{k}}$tiene exactamente un cero${\displaystyle z_{k}}$en D. Pasando a una subsecuencia si es necesario, se puede suponer que${\displaystyle z_{k}\rightarrow z.}$El punto z no puede estar en D , porque, al pasar al límite, z tendría que ser un punto fijo. El resultado para el caso de puntos fijos implica que las aplicaciones${\displaystyle f_{k}}$dejar invariantes todos los discos euclidianos cuyo centro hiperbólico se encuentra en${\displaystyle z_{k}}$Los cálculos explícitos muestran que, a medida que k aumenta, se pueden elegir discos de manera que tiendan a cualquier disco tangente al límite en z . Por continuidad, f deja cada uno de esos discos Δ invariante.

Para ver eso${\displaystyle f^{n}}$converge uniformemente en compacto a la constante z , basta con demostrar que lo mismo es cierto para cualquier subsucesión.${\displaystyle f^{n_{k}}}$, convergente en el mismo sentido a g , por ejemplo. Tales límites existen por el teorema de Montel , y si g no es constante, también se puede suponer que${\displaystyle f^{n_{k+1}-n_{k}}}$tiene un límite, h digamos. Pero entonces

${\displaystyle h(g(w))=g(w),}$

para w en D .

Dado que h es holomorfo y g ( D ) es abierto,

${\displaystyle h(w)=w}$

para todos w .

Configuración ${\displaystyle m_{k}=n_{k+1}-n_{k}}$, también se puede suponer que${\displaystyle f^{m_{k}-1}}$es convergente a F , por ejemplo.

Pero entonces f ( F ( w )) = w = F ( f ( w )), lo que contradice el hecho de que f no es un automorfismo.

Por lo tanto, cada subsecuencia tiende a alguna constante uniformemente en compactos en D.

La invariancia de Δ implica que cada una de estas constantes se encuentra en la clausura de cada disco Δ, y por lo tanto en su intersección, el único punto z . Por el teorema de Montel, se deduce que${\displaystyle f^{n}}$converge uniformemente en compacto a la constante z .