Modus tollens

En lógica proposicional , modus tollens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ), también conocido como modus tollendo tollens ( latín para "modo que al negar niega") ^{[ 2 ]} y negación del consecuente , ^{[ 3 ]} es una forma de argumento deductivo y una regla de inferencia . Modus tollens es un silogismo hipotético mixto que toma la forma de "Si P , entonces Q. No Q. Por lo tanto, no P ". Es una aplicación de la verdad general de que si una proposición es verdadera, entonces también lo es su contrapositiva . La forma muestra que la inferencia de P implica Q a la negación de Q implica la negación de P es un argumento válido .

La historia de la regla de inferencia modus tollens se remonta a la antigüedad . ^{[ 4 ]} El primero en describir explícitamente la forma argumentativa modus tollens fue Teofrasto . ^{[ 5 ]}

El modus tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens . Existen dos formas de argumentación similares, pero inválidas : afirmar el consecuente y negar el antecedente . Véase también contraposición y prueba por contraposición .

Explicación

La forma de un argumento modus tollens es un silogismo hipotético mixto , con dos premisas y una conclusión:

Si P , entonces Q.

No Q.

Por lo tanto, no P.

La primera premisa es una proposición condicional ("si-entonces"), como por ejemplo P implica Q. La segunda premisa es una afirmación de que Q , el consecuente de la proposición condicional, no es el caso. A partir de estas dos premisas, se puede concluir lógicamente que P , el antecedente de la proposición condicional, tampoco es el caso.

Por ejemplo:

Si el perro detecta un intruso, ladrará.

El perro no ladró.

Por lo tanto, el perro no detectó ningún intruso.

Suponiendo que ambas premisas sean verdaderas (el perro ladrará si detecta un intruso y, efectivamente, no ladra), lógicamente se deduce que no se ha detectado ningún intruso. Este es un argumento válido, ya que la conclusión no puede ser falsa si las premisas son verdaderas. (Es concebible que hubiera habido un intruso que el perro no detectó, pero eso no invalida el argumento; la primera premisa es "si el perro detecta un intruso". Lo importante es que el perro detecte o no detecte un intruso, no si lo hay).

Ejemplo 1:

Si yo fuera el ladrón, podría abrir una caja fuerte.

No puedo abrir una caja fuerte.

Por lo tanto, yo no soy el ladrón.

Ejemplo 2:

Si Rex es un pollo, entonces es un pájaro.

Rex no es un pájaro.

Por lo tanto, Rex no es un pollo.

Relación con modus ponens

Todo uso del modus tollens puede convertirse en un uso del modus ponens y en un uso de la transposición a la premisa que es una implicación material. Por ejemplo:

Si P , entonces Q. (premisa – implicación material)

Si no Q , entonces no P. (derivado por transposición)

No Q. (premisa)

Por lo tanto, no P. (derivado por modus ponens )

Del mismo modo, todo uso del modus ponens puede convertirse en un uso del modus tollens y en una transposición.

Notación formal

La regla del modus tollens se puede enunciar formalmente como:

{\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}

dónde $P\to Q$ representa la afirmación "P implica Q". $\neg Q$ significa "no es el caso que Q" (o en resumen "no Q"). Entonces, siempre que " $P\to Q$ " y " $\neg Q$ "cada uno aparece por sí mismo como una línea de una prueba , entonces" $\neg P$ " puede colocarse válidamente en una línea posterior.

La regla del modus tollens puede escribirse en notación secuencial :

P\to Q,\neg Q\vdash \neg P

dónde $\vdash$ es un símbolo metalógico que significa que $\neg P$ es una consecuencia sintáctica de $P\to Q$ y $\neg Q$ en algún sistema lógico ;

o como el enunciado de una tautología funcional o un teorema de lógica proposicional:

((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P

dónde $P$ y $Q$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal ;

o incluyendo supuestos:

{\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}

Aunque, dado que la regla no cambia el conjunto de supuestos, esto no es estrictamente necesario.

A menudo se observan reescrituras más complejas que involucran el modus tollens , por ejemplo en la teoría de conjuntos :

P\subseteq Q

x\notin Q

\therefore x\notin P

("P es un subconjunto de Q. x no está en Q. Por lo tanto, x no está en P.")

También en lógica de predicados de primer orden :

\forall x:~P(x)\to Q(x)

\neg Q(y)

\therefore ~\neg P(y)

("Para todo x, si x es P, entonces x es Q. y no es Q. Por lo tanto, y no es P.")

Estrictamente hablando, estos no son ejemplos de modus tollens , pero pueden derivarse de modus tollens mediante algunos pasos adicionales.

Justificación mediante tabla de verdad

La validez del modus tollens puede demostrarse claramente mediante una tabla de verdad .

En los casos del modus tollens, asumimos como premisas que p → q es verdadero y q es falso. Solo hay una fila de la tabla de verdad —la cuarta— que satisface estas dos condiciones. En esta fila, p es falso. Por lo tanto, en todos los casos en que p → q es verdadero y q es falso, p también debe ser falso.

Prueba formal

Mediante silogismo disyuntivo

Via reductio ad absurdum

Por contraposición

Correspondencia con otros marcos matemáticos

Cálculo de probabilidad

Modus Tollens representa un ejemplo de la ley de probabilidad total combinada con el teorema de Bayes, expresado como:

$\Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,,$

donde los condicionales $\Pr(P\mid Q)$ y $\Pr(P\mid \lnot Q)$ se obtienen con (la forma extendida del) teorema de Bayes expresado como:

$\Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;$ y $\Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}.$

En las ecuaciones anteriores $\Pr(Q)$ denota la probabilidad de $Q$ , y $a(P)$ denota la tasa base ( también conocida como probabilidad previa ) de $P$ La probabilidad condicional $\Pr(Q\mid P)$ generaliza la proposición lógica $P\to Q$ , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO, también podemos asignar cualquier probabilidad a la afirmación. Supongamos que $\Pr(Q)=1$ es equivalente a $Q$ siendo VERDADERO, y que $\Pr(Q)=0$ es equivalente a $Q$ siendo FALSO. Entonces es fácil ver que $\Pr(P)=0$ cuando $\Pr(Q\mid P)=1$ y $\Pr(Q)=0$ Esto se debe a que $\Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0$ de modo que $\Pr(P\mid \lnot Q)=0$ en la última ecuación. Por lo tanto, los términos del producto en la primera ecuación siempre tienen un factor cero, de modo que $\Pr(P)=0$ lo cual es equivalente a $P$ siendo FALSO. Por lo tanto, la ley de probabilidad total combinada con el teorema de Bayes representa una generalización del modus tollens . ^{[ 6 ]}

Lógica subjetiva

Modus tollens representa una instancia del operador de abducción en lógica subjetiva expresada como:

$\omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A}){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,,$

dónde $\omega _{Q}^{A}$ denota la opinión subjetiva sobre $Q$ , y $(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})$ denota un par de opiniones condicionales binomiales, tal como las expresa la fuente $A$ . El parámetro $a_{P}$ denota la tasa base (también conocida como probabilidad previa ) de $P$ . La opinión marginal sustraída sobre $P$ se denota $\omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}$ La opinión condicional $\omega _{Q|P}^{A}$ generaliza la proposición lógica $P\to Q$ , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO a la fuente $A$ puede atribuir cualquier opinión subjetiva a la declaración. El caso en el que $\omega _{Q}^{A}$ es una opinión absolutamente VERDADERA es equivalente a la fuente $A$ diciendo eso $Q$ es VERDADERO, y el caso donde $\omega _{Q}^{A}$ es una opinión absolutamente FALSA es equivalente a la fuente $A$ diciendo eso $Q$ es FALSO. El operador de abducción ${\widetilde {\circledcirc }}$ La lógica subjetiva produce una opinión abducida absolutamente FALSA. $\omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}$ cuando la opinión condicional $\omega _{Q|P}^{A}$ es absolutamente VERDADERO y la opinión consecuente $\omega _{Q}^{A}$ es absolutamente FALSO. Por lo tanto, la abducción lógica subjetiva representa una generalización tanto del modus tollens como de la Ley de probabilidad total combinada con el teorema de Bayes . ^{[ 7 ]}

Véase también

Evidencia de ausencia – Falacia de relevancia
frases en latín
Modus operandi – Hábitos de trabajo
Modus ponens – Regla de inferencia lógica
Modus vivendi – Acuerdo que permite a las partes en conflicto coexistir en paz.
Non sequitur – Razonamiento deductivo erróneo debido a un fallo lógico. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento.
Contradicción performativa : concepto en lógica.
Demostración por contradicción – Forma de prueba
Demostración por contraposición : concepto de lógica matemática. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento.
Lógica estoica – Filosofía antigua Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento
Ley del tercero excluido

Notas

↑ Matthew C. Harris. "Negar el antecedente" . Khan Academy .
↑ Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language . Londres: Routledge. pág . 60. ISBN 978-0-415-91775-9.
↑ Sanford, David Hawley (2003). If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning (2.ª ed.). Londres: Routledge. p. 39. ISBN 978-0-415-28368-7. [Modus] tollens es siempre una abreviatura de modus tollendo tollens, el estado de ánimo que al negar niega.
↑ Susanne Bobzien (2002). "El desarrollo del Modus Ponens en la Antigüedad" , Phronesis 47.
↑ "Lógica antigua: precursores del Modus Ponens y el Modus Tollens " . Enciclopedia de filosofía de Stanford .
↑ Audun Jøsang 2016:p.2
↑ Audun Jøsang 2016:p.92

Fuentes

Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva: Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre , Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1

Enlaces externos

Modus Tollens en Wolfram MathWorld

[KA-1] Matthew C. Harris. "Negar el antecedente" . Khan Academy .

[2] Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language . Londres: Routledge. pág . 60. ISBN 978-0-415-91775-9.

[3] Sanford, David Hawley (2003). If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning (2.ª ed.). Londres: Routledge. p. 39. ISBN 978-0-415-28368-7. [Modus] tollens es siempre una abreviatura de modus tollendo tollens, el estado de ánimo que al negar niega.

[4] Susanne Bobzien (2002). "El desarrollo del Modus Ponens en la Antigüedad" , Phronesis 47.

[5] "Lógica antigua: precursores del Modus Ponens y el Modus Tollens " . Enciclopedia de filosofía de Stanford .

[6] Audun Jøsang 2016:p.2

[7] Audun Jøsang 2016:p.92

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