Relación de dependencia

En matemáticas , una relación de dependencia es una relación binaria que generaliza la relación de dependencia lineal .

Dejar${\displaystyle X}$ser un conjunto . Una relación (binaria)${\displaystyle \triangleleft }$entre un elemento${\displaystyle a}$de${\displaystyle X}$y un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$se denomina relación de dependencia , escrita${\displaystyle a\triangleleft S}$, si cumple las siguientes propiedades:

1. si${\displaystyle a\in S}$, entonces${\displaystyle a\triangleleft S}$;
2. si${\displaystyle a\triangleleft S}$, entonces hay un subconjunto finito${\displaystyle S_{0}}$de${\displaystyle S}$, de tal manera que ${\displaystyle a\triangleleft S_{0}}$;
3. si${\displaystyle T}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle b\in S}$implica${\displaystyle b\triangleleft T}$, entonces${\displaystyle a\triangleleft S}$implica${\displaystyle a\triangleleft T}$;
4. si${\displaystyle a\triangleleft S}$pero ${\displaystyle a\ntriangleleft S-\lbrace b\rbrace }$para algunos${\displaystyle b\in S}$, entonces ${\displaystyle b\triangleleft (S-\lbrace b\rbrace )\cup \lbrace a\rbrace }$.

Dada una relación de dependencia${\displaystyle \triangleleft }$en${\displaystyle X}$, un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$Se dice que es independiente si ${\displaystyle a\ntriangleleft S-\lbrace a\rbrace }$a pesar de${\displaystyle a\in S.}$Si ${\displaystyle S\subseteq T}$, entonces${\displaystyle S}$Se dice que abarca${\displaystyle T}$si${\displaystyle t\triangleleft S}$por cada${\displaystyle t\in T.}$${\displaystyle S}$Se dice que es una base de${\displaystyle X}$si${\displaystyle S}$es independiente y${\displaystyle S}$abarca${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle X}$es un conjunto no vacío con una relación de dependencia${\displaystyle \triangleleft }$, entonces${\displaystyle X}$siempre tiene una base con respecto a${\displaystyle \triangleleft .}$Además, cualesquiera dos bases de${\displaystyle X}$tienen la misma cardinalidad .

Si${\displaystyle a\triangleleft S}$y${\displaystyle S\subseteq T}$, entonces${\displaystyle a\triangleleft T}$, utilizando la propiedad 3 y 1.

• Dejar${\displaystyle V}$sea ​​un espacio vectorial sobre un campo${\displaystyle F.}$La relación${\displaystyle \triangleleft }$, definido por ${\displaystyle \upsilon \triangleleft S}$si${\displaystyle \upsilon }$está en el subespacio generado por${\displaystyle S}$, es una relación de dependencia. Esto es equivalente a la definición de dependencia lineal .
• Dejar${\displaystyle K}$ser una extensión de campo de${\displaystyle F.}$Definir${\displaystyle \triangleleft }$por ${\displaystyle \alpha \triangleleft S}$si${\displaystyle \alpha }$es algebraico sobre${\displaystyle F(S).}$Entonces${\displaystyle \triangleleft }$es una relación de dependencia. Esto es equivalente a la definición de dependencia algebraica .

• matroide

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