producto profundidad-pendiente

La primera suposición es que el canal es mucho más ancho que profundo, y las ecuaciones se pueden resolver como si el canal fuera infinitamente ancho. Esto significa que los efectos de las paredes laterales se pueden ignorar y que el radio hidráulico ,${\displaystyle R_{h}}$, se puede suponer que es igual a la profundidad del canal,${\displaystyle h}$.

${\displaystyle R_{h}={\frac {A}{P}}}$

dónde${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal del flujo y${\displaystyle P}$es el perímetro mojado . Para un canal semicircular, el radio hidráulico sería simplemente el radio real .

Para un canal aproximadamente rectangular (para simplificar las matemáticas de la explicación de la suposición),

${\displaystyle A=bh}$,

dónde${\displaystyle b}$es el ancho (amplitud) del canal, y

${\displaystyle P=b+2h}$.

Para b>>h,

${\displaystyle P\rightarrow b}$,

y por lo tanto

${\displaystyle R_{h}\rightarrow {\frac {bh}{b}}=h}$.

Formalmente, esta suposición suele ser válida cuando el ancho es mayor que aproximadamente 20 veces la altura; el margen de error exacto se puede calcular comparando la altura con el radio hidráulico. Para canales con una menor relación ancho-profundidad, se puede encontrar una mejor solución utilizando el radio hidráulico en lugar de la simplificación anterior.

La tensión total sobre el lecho de un canal abierto de ancho infinito viene dada por la presión hidrostática que actúa sobre el lecho. Para un fluido de densidad${\displaystyle \rho }$, una aceleración debida a la gravedad${\displaystyle g}$y una profundidad de flujo${\displaystyle h}$, la presión ejercida sobre el lecho es simplemente el peso de un elemento de fluido,${\displaystyle \rho g}$, veces la profundidad del flujo,${\displaystyle h}$. A partir de esto, obtenemos la expresión para la presión total,${\displaystyle P_{b}}$, actuando en la cama.

${\displaystyle P_{b}=\rho gh\,}$

Para convertir la presión en un esfuerzo cortante, es necesario determinar el componente de la presión que proporciona esfuerzo cortante en el lecho. Para un canal que está en un ángulo${\displaystyle \alpha }$Desde la horizontal, el componente de corte de la tensión que actúa sobre el lecho${\displaystyle /\left(\tau _{b}\right)}$, que es el componente que actúa tangencialmente al lecho, es igual a la presión total multiplicada por el seno del ángulo${\displaystyle \alpha }$.

${\displaystyle \tau _{b}=\rho gh\sin {\left(\alpha \right)}\,}$

En los ríos naturales, el ángulo${\displaystyle \alpha }$es típicamente muy pequeño. Como resultado, la fórmula de ángulo pequeño establece que:

${\displaystyle \sin {\left(\alpha \right)}\approx \tan {\left(\alpha \right)}}$

La tangente del ángulo${\displaystyle \alpha }$es, por definición, igual a la pendiente del canal,${\displaystyle S}$.

${\displaystyle \tan {\left(\alpha \right)}\equiv S}$

A partir de esto, podemos llegar a la forma final de la relación entre el esfuerzo cortante del lecho y el producto profundidad-pendiente:

${\displaystyle \tau _{b}=\rho ghS\,}$

Suponiendo un único fluido homogéneo y bien mezclado, y una única aceleración debida a la gravedad (ambas suposiciones son válidas en ríos naturales, y la segunda también lo es para procesos en la Tierra o en cualquier cuerpo planetario con una influencia dominante en el campo gravitatorio local), las únicas dos variables que determinan el esfuerzo cortante en el límite son la profundidad y la pendiente. De ahí el significado del nombre de la fórmula.

${\displaystyle \tau _{b}\propto hS}$

Para corrientes naturales, en el sistema MKS o SI (unidades de pascales para el esfuerzo cortante), una relación típica útil para recordar es la siguiente:

${\displaystyle \tau _{b}=10000\left[{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{2}\ \mathrm {s} ^{2}}}\right]hS}$

para agua con una densidad de 1000  kg/m³ ^y aproximando la aceleración debida a la gravedad a 10  m/s² ⁽ el error en esta suposición suele ser mucho menor que el error de las mediciones).