Profundidad (teoría de anillos)

En álgebra conmutativa y homológica , la profundidad es un invariante importante de anillos y módulos . Aunque la profundidad puede definirse de forma más general, el caso más común considerado es el de módulos sobre un anillo local noetheriano conmutativo . En este caso, la profundidad de un módulo está relacionada con su dimensión proyectiva mediante la fórmula de Auslander-Buchsbaum . Una propiedad más elemental de la profundidad es la desigualdad

${\displaystyle \mathrm {profundidad} (M)\leq \dim(M),}$

dónde${\displaystyle \dim M}$denota la dimensión de Krull del módulo${\displaystyle M}$La profundidad se utiliza para definir clases de anillos y módulos con buenas propiedades, por ejemplo, anillos y módulos de Cohen-Macaulay, para los cuales se cumple la igualdad.

Dejar${\displaystyle R}$sea ​​un anillo conmutativo,${\displaystyle I}$un ideal de${\displaystyle R}$y${\displaystyle M}$un generado finitamente${\displaystyle R}$-módulo con la propiedad que${\displaystyle IM}$está debidamente contenido en${\displaystyle M}$. (Es decir, algunos elementos de${\displaystyle M}$no están en${\displaystyle IM}$.) Entonces el${\displaystyle I}$- profundidad de${\displaystyle M}$, también llamado comúnmente grado de${\displaystyle M}$, se define como

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}.}$

Por definición, la profundidad de un anillo local${\displaystyle R}$con un ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es su${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-profundidad como un módulo sobre sí mismo. Si${\displaystyle R}$es un anillo local de Cohen-Macaulay , luego profundidad de${\displaystyle R}$es igual a la dimensión de${\displaystyle R}$.

Según un teorema de David Rees , la profundidad también puede caracterizarse utilizando la noción de una secuencia regular .

La dimensión proyectiva y la profundidad de un módulo sobre un anillo local noetheriano conmutativo son complementarias entre sí. Este es el contenido de la fórmula de Auslander-Buchsbaum, que no solo tiene una importancia teórica fundamental, sino que también proporciona una forma eficaz de calcular la profundidad de un módulo. Supongamos que${\displaystyle R}$es un anillo local noetheriano conmutativo con el ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$y${\displaystyle M}$es un finito generado${\displaystyle R}$-módulo. Si la dimensión proyectiva de${\displaystyle M}$es finito, entonces la fórmula de Auslander-Buchsbaum establece

${\displaystyle \mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {profundidad} (M)=\mathrm {profundidad} (R).}$

Un anillo local noetheriano conmutativo${\displaystyle R}$tiene profundidad cero si y solo si su ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es un primo asociado , o, equivalentemente, cuando hay un elemento distinto de cero${\displaystyle x}$de${\displaystyle R}$de tal manera que${\displaystyle x{\mathfrak {m}}=0}$(eso es,${\displaystyle x}$aniquila${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$). Esto significa, esencialmente, que el punto cerrado es un componente incrustado .

Por ejemplo, el anillo${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},xy)}$(dónde${\displaystyle k}$es un campo), que representa una línea (${\displaystyle x=0}$) con un punto doble incrustado en el origen, tiene profundidad cero en el origen, pero dimensión uno: esto da un ejemplo de un anillo que no es de Cohen-Macaulay .

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Graduate Texts in Mathematics , vol.  150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8, MR 1322960 
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Anillos de Cohen-Macaulay . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1