Profundidad de subanillos no conmutativos

En la teoría de anillos y las extensiones de álgebras de Frobenius , áreas de las matemáticas , existe una noción de subanillo de profundidad dos o profundidad de una extensión de Frobenius . La noción de profundidad dos es importante en cierta teoría de Galois no conmutativa , que genera algebroides de Hopf en lugar de los grupos de Galois más clásicos , mientras que la noción de profundidad mayor que dos mide el defecto, o distancia, de ser de profundidad dos en una torre de anillos de endomorfismos iterados sobre el subanillo . Una definición más reciente de profundidad de cualquier subanillo unitario en cualquier anillo asociativo se propone (ver más abajo) en un artículo que estudia la profundidad de un subgrupo de un grupo finito como álgebras de grupo sobre un anillo conmutativo .

Un subanillo unitario${\displaystyle B\subsetae}$tiene (o es) profundidad derecha dos si hay un epimorfismo dividido de bimódulos A - B naturales de${\displaystyle A^{n}\rightarrow A\otimes _{B}A}$para algún entero positivo n ; al cambiar a bimódulos B - A naturales , hay una definición correspondiente de profundidad izquierda dos . Aquí usamos la notación usual.${\displaystyle A^{n}=A\times \ldots \times A}$( n veces) así como la noción común, p es un epimorfismo dividido si hay un homomorfismo q en la dirección inversa tal que pq = identidad en la imagen de p . (A veces el subanillo B en A se denomina extensión de anillo A sobre B ; la teoría funciona también para un homomorfismo de anillo B en A , que induce estructuras de B -módulos derecha e izquierda en A .) Equivalentemente, la condición para profundidad dos izquierda o derecha puede darse en términos de un monomorfismo dividido de bimódulos donde los dominios y codominios anteriores están invertidos.

Por ejemplo, sea A el álgebra de grupo de un grupo finito G (sobre cualquier anillo base conmutativo k ; véanse los artículos sobre teoría de grupos y anillo de grupo para las definiciones elementales). Sea B el (sub)álgebra de grupo de un subgrupo normal H de índice n en G con representantes de clases laterales .${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$. Definir un epimorfismo p dividido A - B :${\displaystyle A^{n}\rightarrow A\otimes _{B}A}$por${\displaystyle p((a_{1},\cdots ,a_{n}))=\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i}^{-1}\otimes _{B}g_{i}}$Está dividido por el mapeo${\displaystyle q:A\otimes _{B}A\rightarrow A^{n}}$definido por${\displaystyle q(a\otimes _{B}a')=(a\gamma _{1}(a'),\cdots ,a\gamma _{n}(a'))}$dónde${\displaystyle \gamma _{i}(g)=\delta _{ij}g}$para g en la clase lateral${\displaystyle g_{j}H}$(y se extendió linealmente a una aplicación A en B , un homomorfismo de B - B -módulo ya que H es normal en G ): la condición de división pq = la identidad en${\displaystyle A\otimes _{B}A}$está satisfecho. Por lo tanto, B es de profundidad dos derecha en A.

Como otro ejemplo (quizás más elemental que el primero; véase la teoría de anillos o la teoría de módulos para algunas de las nociones elementales), sea A un álgebra sobre un anillo conmutativo B , donde B se considera el centro de A. Supongamos que A es un B -módulo proyectivo finito , de modo que existen B -aplicaciones lineales.${\displaystyle f_{i}:A\rightarrow B}$y elementos${\displaystyle x_{i}\in A}$( i = 1,..., n ) se denomina base proyectiva para el B -módulo A si satisface${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}f_{i}(a)=a}$para todo a en A. De ello se deduce que B es de profundidad dos izquierda en A definiendo ${\displaystyle p(a_{1},\cdots ,a_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes _{B}a_{i}}$con mapa divisor${\displaystyle q(a\otimes _{B}a')=(f_{1}(a)a',\cdots ,f_{n}(a)a')}$como el lector puede comprobar. Un argumento similar muestra naturalmente que B es de profundidad dos derecha en A.

Para una extensión de álgebra de Frobenius A | B (como A y B álgebras de grupo de un par de subgrupos de índice finito), las dos condiciones unilaterales de profundidad dos son equivalentes, y una noción de profundidad n > 2 tiene sentido a través de la extensión de anillo de endomorfismo derecho iterada para generar una torre de anillos (un procedimiento técnico que está fuera del alcance de este estudio, aunque el primer paso, el teorema del anillo de endomorfismo, se describe en la sección sobre extensión de Frobenius bajo álgebra de Frobenius ). Por ejemplo, si B es una subálgebra de Hopf de un álgebra de Hopf de dimensión finita , entonces B tiene profundidad dos en A si y solo si B es normal en A (es decir, invariante bajo las acciones adjuntas izquierda y derecha de A ). Dado que un álgebra de grupo es un álgebra de Hopf, el primer ejemplo anterior ilustra la implicación inversa del teorema. Otros ejemplos provienen del hecho de que las extensiones finitas de Hopf-Galois son de profundidad dos en un sentido fuerte (el epimorfismo dividido en la definición puede ser reemplazado por un isomorfismo de bimodulos ).

Sea R una subálgebra de Hopf de un álgebra de Hopf H de dimensión finita . Sea R ° el ideal maximal de elementos de R con valor counitario 0. Entonces R ° H es un ideal derecho y coideal en H , y el módulo cociente Q = H / R ° H es una coalgebra de H -módulo derecha. Por ejemplo, si H es un álgebra de grupo, entonces R es un álgebra de subgrupo de H , y se demuestra como ejercicio que Q es isomorfo al módulo de permutación en las clases laterales derechas. El artículo de 2013 citado a continuación demuestra que la profundidad de R en H está determinada al valor par más cercano por la profundidad de Q como R -módulo (por restricción). La profundidad de Q como R -módulo se define en ese artículo como el menor entero positivo n tal que Q ⊗⋅⋅⋅⊗ Q ( n veces Q , producto tensorial de R -módulos, acción diagonal de R desde la derecha) tiene los mismos módulos indescomponibles constituyentes que Q ⊗⋅⋅⋅⊗ Q ( n +1 veces Q ) (sin contar multiplicidades, una definición completamente similar para la profundidad de Q como H -módulo con resultados estrechamente relacionados). Como consecuencia, la profundidad de R en H es finita si y solo si su " módulo cociente generalizado " Q representa un elemento algebraico en el anillo de representación (o anillo de Green) de R . Este es el caso, por ejemplo, si Q es un módulo proyectivo , un H -módulo generador o si Q es un módulo de permutación sobre un álgebra de grupo R (es decir, Q tiene una base que es un G -conjunto ). En caso de que H sea un álgebra de Hopf que sea un álgebra semisimple , la profundidad de Q es la longitud de la cadena descendente de ideales anuladores en H de potencias tensoriales crecientes de Q., que se estabilizan en el ideal de Hopf máximo dentro del ideal aniquilador , Ann Q = { h en H tal que Qh = 0 } (usando un teorema de Rieffel de 1967).

Si M es la matriz de inclusión (o matriz de incidencia del diagrama de Bratteli ) de álgebras semisimples (complejas) de dimensión finita B y A , la condición de profundidad dos sobre la subálgebra B en A viene dada por una desigualdad.${\displaystyle MM^{t}M\leq nM}$para algún entero positivo n (y cada entrada correspondiente). Denotando el lado izquierdo de esta desigualdad por la potencia${\displaystyle M^{3}}$y de manera similar para todas las potencias de la matriz de inclusión M , la condición de ser profundidad${\displaystyle m\geq 1}$en el par de subálgebras de álgebras semisimples es:${\displaystyle M^{m+1}\leq nM^{m-1}}$(Nótese que si M satisface la condición de profundidad m , entonces satisface la condición de profundidad m + 1). Por ejemplo, un subgrupo H de profundidad uno de un grupo finito G , visto como álgebras de grupo CH en CG sobre los números complejos C , satisface la condición sobre el centralizador.${\displaystyle G=HC_{G}(X)}$para cada subgrupo cíclico X en H (de donde es normal); por ejemplo, H un subgrupo en el centro de G , o G = H x K. Como otro ejemplo, consideremos las álgebras de grupo.${\displaystyle B=CS_{2}}$y${\displaystyle A=CS_{3}}$, los grupos de permutación de orden 2 y orden 6 sobre tres letras a , b , c donde el subgrupo fija c . La matriz de inclusión se puede calcular de al menos tres maneras a través de idempotentes, a través de tablas de caracteres o a través de coeficientes de la regla de Littlewood-Richardson y combinatoria de tableros sesgados para ser (salvo permutación) la matriz de 2 por 3 con fila superior 1,1,0 y fila inferior 0,1,1, que tiene profundidad tres después de aplicar la definición.

En un artículo de 2011 en el Journal of Algebra por R. Boltje, S. Danz y B. Kuelshammer, proporcionan una definición simplificada y extendida de la profundidad de cualquier subanillo unitario B de anillo asociativo A como 2 n +1 si${\displaystyle A\otimes _{B}\cdots \otimes _{B}A}$( n +1 veces A) es isomorfo a un sumando directo en ${\displaystyle \oplus _{i=1}^{m}A\otimes _{B}\cdots \otimes _{B}A}$( n veces A ) como B - B -bimódulos para algún entero positivo m ; de manera similar, B tiene profundidad 2 n en A si la misma condición se satisface más fuertemente como A - B -bimódulos (o equivalentemente para extensiones de Frobenius libres, como B - A -bimódulos). (Esta definición es equivalente a una noción anterior de profundidad en el caso de que A sea una extensión de álgebra de Frobenius de B con homomorfismo de Frobenius sobreyectivo, por ejemplo A y B son álgebras semisimples complejas). Nuevamente observe que un subanillo que tiene profundidad m implica que tiene profundidad m +1, por lo que dejan${\displaystyle d(B,A)}$denotan la profundidad mínima. Luego aplican esto a las álgebras de grupo de G y H sobre cualquier anillo conmutativo R.

Definen una profundidad combinatoria mínima${\displaystyle d_{c}(H,G)}$de un subgrupo H de un grupo finito G imitando la definición de profundidad de un subanillo pero usando G- conjuntos y homomorfismos de G -conjuntos en lugar de módulos y homomorfismos de módulos. Caracterizan la profundidad combinatoria n como una condición sobre el número de conjugados de H que se intersecan en G , mostrando así que la profundidad combinatoria es finita. En más detalle, se define una cadena ascendente de conjuntos de subgrupos de H comenzando con el conjunto unitario de etapa cero de H , la primera etapa interseca H por todos sus subgrupos conjugados, y la n -ésima etapa es intersecar todos los subgrupos de H en la ( n -1)-ésima etapa por todos los conjugados de H. Entonces la profundidad combinatoria de H en G es 2n si el subconjunto de la n -ésima etapa es igual al subconjunto de la ( n - 1)-ésima etapa. Por ejemplo, H es un subgrupo normal de G si y solo si H tiene profundidad combinatoria dos en G. La profundidad combinatoria mínima se obtiene tomando n como mínimo y mediante una definición técnica de profundidad combinatoria impar. Por ejemplo,${\displaystyle d_{c}(H,G)=1}$si y solo si${\displaystyle G=HC_{G}(H)}$(es decir, G es igual al producto de H y su subgrupo centralizador en G ); en particular, H es normal en G. En general, la profundidad mínima${\displaystyle d(RH,RG)}$se muestra que está acotado por${\displaystyle d_{c}(H,G)}$, que a su vez está acotado por el doble del índice del normalizador de H en G .

Las principales clases de ejemplos de extensiones de profundidad dos son las extensiones de Galois de álgebras sobre las que actúan grupos, álgebras de Hopf, álgebras de Hopf débiles o algebroides de Hopf ; por ejemplo, supongamos que un grupo finito G actúa mediante automorfismos sobre un álgebra A , entonces A es una extensión de profundidad dos de su subálgebra B de invariantes si la acción es G -Galois, como se explica en detalle en el artículo sobre la extensión de álgebras de Frobenius (abreviadamente llamadas extensiones de Frobenius).

Por el contrario, cualquier extensión de profundidad dos A | B tiene una teoría de Galois basada en la acción natural de${\displaystyle {\mbox{End}}\,{}_{B}A_{B}}$en A : denotando este anillo de endomorfismos por S , se muestra que S es un bialgebroide izquierdo sobre el centralizador R (aquellos a en A que conmutan con todos los b en B ) con una teoría de Galois similar a la de la teoría de Hopf-Galois. Hay una estructura de bialgebroide derecho en los elementos T centralizados en B.${\displaystyle A\otimes _{B}A}$dual sobre R a S ; ciertos anillos de endomorfismo se descomponen como producto smash , como por ejemplo${\displaystyle {\mbox{End}}\,A_{B}\cong A\otimes _{R}S}$, es decir, isomorfo como anillos al producto smash del bialgebroide S (o su dual) con el anillo A sobre el que actúa. Algo similar es cierto para T y${\displaystyle {\mbox{End}}\,A\otimes _{B}A_{A}}$(a menudo llamada teoría de la dualidad de acciones, que se remonta a la década de 1970 en las álgebras de operadores). Si A | B es, además de ser de profundidad dos, una extensión de álgebra de Frobenius , los anillos de endomorfismo derecho e izquierdo son antiisomorfos, lo que se restringe a un antípoda en el bialgebroide.${\displaystyle {\mbox{End}}\,{}_{B}A_{B}}$que satisfacen los axiomas de un algebroide de Hopf . Existe la siguiente relación con el álgebra homológica relativa : el complejo de Hochschild relativo de A sobre B con coeficientes en A y producto de copa , es isomorfo como álgebra graduada diferencial al complejo de Amitsur del núcleo R S (con elemento de tipo grupo la identidad en A ; véase Brzezinski-Wisbauer para la definición del complejo de cocadena de Amitsur con producto).

La teoría de Galois de una extensión de profundidad dos no es irrelevante para una extensión de Frobenius de profundidad n > 2, ya que dicha extensión de profundidad n se incrusta en una extensión de profundidad dos en una torre de anillos de endomorfismos iterados. Por ejemplo, dada una extensión de Frobenius de profundidad tres del anillo A sobre el subanillo B , se puede demostrar que el monomorfismo de multiplicación izquierda${\displaystyle \lambda :B\rightarrow {\mbox{End}}\,A_{B},\ \lambda (b)(a)=ba}$ tiene dos de profundidad.

El teorema principal en este tema es el siguiente, basado en argumentos algebraicos de dos de los artículos que se citan a continuación, publicados en Advances in Mathematics , inspirados en el campo de las álgebras de operadores y los subfactores : en particular, algo relacionado con la definición de profundidad de A. Ocneanu, su teoría de paragrupos y los artículos de W. Szymanski, Nikshych-Vainerman, R. Longo y otros.

Teorema principal: Supongamos que un álgebra A es una extensión de Frobenius de una subálgebra B que tiene profundidad 2, un homomorfismo de Frobenius sobreyectivo y un centralizador unidimensional R , entonces A es una extensión de Hopf-Galois de B.

La demostración de este teorema es un teorema de reconstrucción, que requiere la construcción de un álgebra de Hopf como mínimo, pero en la mayoría de los artículos se realiza mediante la construcción de un emparejamiento no degenerado de dos álgebras en la torre de álgebras de endomorfismos iterados sobre B en A , y luego una verificación muy delicada de que la estructura álgebra-coálgebra resultante es un álgebra de Hopf (véase, por ejemplo, el artículo de 2001 a continuación); el método de demostración se simplifica considerablemente en el artículo de 2003 citado a continuación (aunque empaquetado en la definición de algebroide de Hopf). La estructura de algebroide de Hopf en el anillo de endomorfismos S del B -bimódulo A (discutido anteriormente) se convierte en un álgebra de Hopf en presencia de la hipótesis de que el centralizador${\displaystyle R=\{r\in A:br=rb{\text{ for all }}b\in B\}}$es unidimensional. Se demuestra que la acción de un endomorfismo sobre su espacio de definición es una acción de Hopf-Galois. El álgebra de Hopf dual T introducida anteriormente también en el contexto del algebroide de Hopf y la acción izquierda dual se convierte en una coacción derecha que hace de A una extensión T -Galois de B. La condición de que el homomorfismo de Frobenius mapee A sobre todo B se utiliza para mostrar que B es precisamente la subálgebra invariante de la acción de Hopf-Galois (y no solo contenida en ella). La condición de que A sea una extensión de Frobenius sobre B no es tan importante para la demostración como la hipótesis de profundidad dos y podría evitarse imponiendo una condición de módulo progenerador sobre A como un B -módulo natural.

• Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer, Corings and Comodules . London Math. Soc. Lect. Note Ser., 309. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-53931-5
• Boltje, R.; Külshammer, B. (2010), "Sobre la condición de profundidad dos para extensiones de álgebra de grupo y álgebra de Hopf", Journal of Algebra , 323 (6): 1783–1796 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.11.043
• Boltje, R.; Danz, S.; Külshammer, B. (2011), "Sobre la profundidad de los subgrupos y las extensiones del álgebra de grupos", Journal of Algebra , 335 : 258–281 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.03.019
• Kadison, L.; Nikshych, D. (2001), "Acciones de álgebra de Hopf de extensiones fuertemente separables de profundidad dos", Advances in Mathematics , 163 (2): 258–286 , arXiv : math/0107064 , doi : 10.1006/aima.2001.2003 , S2CID 18876684 
• Kadison, L.; Szlachanyi, K. (2003), "Acciones bialgebroides en extensiones de profundidad dos y dualidad", Advances in Mathematics , 179 : 75–121 , doi : 10.1016/s0001-8708(02)00028-2
• Kadison, L. (2014), "Subálgebras de Hopf y potencias tensoriales de módulos de permutación generalizados", Journal of Pure and Applied Algebra , 218 (2): 367–380 , arXiv : 1210.3178 , doi : 10.1016/j.jpaa.2013.06.008 , S2CID 119128079