Derivación de la solución de Schwarzschild

La solución de Schwarzschild describe el espaciotiempo bajo la influencia de un objeto masivo, no giratorio y con simetría esférica. Algunos la consideran una de las soluciones más simples y útiles a las ecuaciones de campo de Einstein .

Trabajar en un diagrama de coordenadas con coordenadas${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi ,t\right)}$Etiquetados del 1 al 4 respectivamente, comenzamos con la métrica en su forma más general (10 componentes independientes, cada una de las cuales es una función suave de 4 variables). Se supone que la solución es esféricamente simétrica, estática y en el vacío. Para los fines de este artículo, estas suposiciones se pueden enunciar de la siguiente manera (consulte los enlaces correspondientes para obtener definiciones precisas):

1. Un espaciotiempo con simetría esférica es aquel que permanece invariante ante rotaciones y al tomar su imagen especular.
2. Un espaciotiempo estático es aquel en el que todos los componentes métricos son independientes de la coordenada temporal.${\displaystyle t}$(para que${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0}$) y la geometría del espaciotiempo no cambia bajo una inversión temporal .${\displaystyle t\rightarrow -t}$⁠ .
3. Una solución de vacío es aquella que satisface la ecuación${\displaystyle T_{ab}=0}$⁠ . A partir de las ecuaciones de campo de Einstein (con constante cosmológica cero ), esto implica que${\displaystyle R_{ab}=0}$desde que contrajo${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}$rinde ⁠${\displaystyle R=0}$⁠ .
4. La firma métrica utilizada aquí es (+ + + −) .

La primera simplificación que se debe realizar es diagonalizar la métrica. Bajo la transformación de coordenadas ,${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)}$⁠ , todos los componentes métricos deben permanecer iguales. Los componentes métricos${\displaystyle g_{\mu 4}}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$) cambian bajo esta transformación como:

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$)​

Pero, como esperábamos${\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}$(los componentes métricos permanecen iguales), esto significa que:

${\displaystyle g_{\mu 4}=0}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$)​

De manera similar, las transformaciones de coordenadas${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)}$y${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)}$respectivamente dan:

${\displaystyle g_{\mu 3}=0}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 3}$)​

${\displaystyle g_{\mu 2}=0}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 2}$)​

Al juntar todo esto se obtiene:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=0}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq \nu }$)​

y por lo tanto la métrica debe tener la forma:

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}$

donde los cuatro componentes métricos son independientes de la coordenada temporal.${\displaystyle t}$(bajo la suposición estática).

En cada hipersuperficie de constante${\displaystyle t}$, constante${\displaystyle \theta }$y constante${\displaystyle \phi }$(es decir, en cada línea radial),${\displaystyle g_{11}}$debería depender únicamente de${\displaystyle r}$(por simetría esférica). Por lo tanto${\displaystyle g_{11}}$es una función de una sola variable:

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

Un argumento similar se aplicó a${\displaystyle g_{44}}$muestra que:

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}$

En las hipersuperficies de constante${\displaystyle t}$y constante${\displaystyle r}$⁠ , se requiere que la métrica sea la de una 2-esfera:

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Elegir una de estas hipersuperficies (la que tiene radio ⁠${\displaystyle r_{0}}$⁠ , digamos), los componentes métricos restringidos a esta hipersuperficie (que denotamos por${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}$y​${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}$) debería permanecer sin cambios bajo rotaciones a través de${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \phi }$(nuevamente, por simetría esférica). Comparando las formas de la métrica en esta hipersuperficie se obtiene:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

lo cual produce inmediatamente:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$y${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta}$

Pero esto es necesario para que se cumpla en cada hipersuperficie; por lo tanto,

${\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}$y${\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }$

Una forma alternativa e intuitiva de ver eso${\displaystyle g_{22}}$y${\displaystyle g_{33}}$Debe ser lo mismo que para un espacio-tiempo plano, es decir, que estirar o comprimir un material elástico de manera esféricamente simétrica (radialmente) no cambiará la distancia angular entre dos puntos.

Por lo tanto, la métrica se puede expresar de la siguiente forma:

${\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}$

con${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$funciones aún no determinadas de${\displaystyle r}$⁠ . Tenga en cuenta que si${\displaystyle A}$o${\displaystyle B}$Si en algún momento es igual a cero, la métrica sería singular en ese punto.

Utilizando la métrica anterior, encontramos los símbolos de Christoffel , donde los índices son${\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)}$⁠ . El letrero${\displaystyle '}$denota la derivada total de una función.

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Para determinar${\displaystyle A}$y​${\displaystyle B}$⁠ , se empleanlas ecuaciones del campo de vacío :

${\displaystyle R_{\alpha \beta }=\,0}$

Por eso:

${\displaystyle {\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha {\vphantom {\beta }}}^{\lambda }=0\,,}$

donde se usa una coma para separar el índice que se utiliza para la derivada. La curvatura de Ricci es diagonal en las coordenadas dadas:

${\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)',}$

${\displaystyle R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right),}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right),}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta },}$

donde la prima significa la derivada r de las funciones.

Solo tres de las ecuaciones de campo no son triviales (la cuarta ecuación es simplemente${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$veces la tercera ecuación) y, tras la simplificación, se convierten, respectivamente:

${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0,}$

${\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0,}$

${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0}$

Al restar la primera y la segunda ecuación se obtiene:

${\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}$

dónde${\displaystyle K}$es una constante real distinta de cero. Sustituyendo${\displaystyle A(r)B(r)=K}$En la tercera ecuación, y tras ordenar, obtenemos:

${\displaystyle rA'=A(1-A)}$

que tiene solución general:

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}$

para alguna constante real distinta de cero${\displaystyle S}$Por lo tanto, la métrica para una solución de vacío estática y esféricamente simétrica ahora tiene la forma:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}$

Nótese que el espaciotiempo representado por la métrica anterior es asintóticamente plano , es decir , cuando${\displaystyle r\rightarrow \infty }$⁠ , la métrica se aproxima a la de la métrica de Minkowski y la variedad espaciotemporal se asemeja a la del espacio de Minkowski . ^{[ 1 ]}

Las geodésicas de la métrica (obtenidas donde${\displaystyle ds}$(Se lleva al extremo) debe, en algún límite (por ejemplo, hacia la velocidad infinita de la luz), coincidir con las soluciones del movimiento newtoniano (por ejemplo, obtenidas mediante las ecuaciones de Lagrange ). (La métrica también debe limitarse al espacio de Minkowski cuando la masa que representa se anula).

${\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}$

(dónde${\displaystyle KE}$es la energía cinética y${\displaystyle PE_{g}}$es la energía potencial debida a la gravedad) Las constantes${\displaystyle K}$y${\displaystyle S}$están totalmente determinados por alguna variante de este enfoque; a partir de la aproximación de campo débil se llega al resultado:

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

dónde${\displaystyle G}$es la constante gravitacional ,${\displaystyle m}$es la masa de la fuente gravitacional y${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz. Se ha descubierto que:

${\displaystyle K=\,-c^{2}}$y${\displaystyle {\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

Por eso:

${\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$y${\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

Así pues, la métrica de Schwarzschild puede escribirse finalmente de la siguiente forma:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}$

Tenga en cuenta que:

${\displaystyle {\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{\text{s}}}$

es la definición del radio de Schwarzschild para un objeto de masa${\displaystyle m}$, por lo que la métrica de Schwarzschild puede reescribirse en la forma alternativa:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)dt^{2}}$

lo que demuestra que la métrica se vuelve singular al acercarse al horizonte de eventos (es decir ,${\displaystyle r\rightarrow r_{\text{s}}}$⁠ ). La singularidad métrica no es física (aunque existe una singularidad física real en${\displaystyle r=0}$), como se puede demostrar utilizando una transformación de coordenadas adecuada (por ejemplo, el sistema de coordenadas de Kruskal-Szekeres ).

[Esta derivación es defectuosa porque asume la tercera ley de Kepler. Esto es infundado porque esa ley tiene correcciones relativistas. Por ejemplo, el significado de "r" es distancia física en esa ley clásica, y simplemente una coordenada en la Relatividad General.] La métrica de Schwarzschild también se puede derivar utilizando la física conocida para una órbita circular y una masa puntual temporalmente estacionaria. ^{[ 2 ]} Comience con la métrica con coeficientes que son coeficientes desconocidos de ⁠${\displaystyle r}$:​

${\displaystyle -c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.}$

Ahora aplicamos la ecuación de Euler-Lagrange a la integral de longitud de arco .${\displaystyle \textstyle {J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left(ds/d\tau \right)^{2}}}\,d\tau }}$Desde​${\displaystyle ds/d\tau }$es constante, el integrando puede ser reemplazado por${\displaystyle (ds/d\tau )^{2},}$porque la ecuación E–L es exactamente la misma si el integrando se multiplica por cualquier constante. Aplicando la ecuación E–L a${\displaystyle J}$con el integrando modificado se obtiene:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}}$

donde el punto denota la diferenciación con respecto a ⁠${\displaystyle \tau }$⁠ .

En una órbita circular${\displaystyle {\dot {r}}={\ddot {r}}=0}$⁠ , por lo que la primera ecuación E–L anterior es equivalente a

${\displaystyle 2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.}$

La tercera ley del movimiento de Kepler es

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}$

En una órbita circular, el período${\displaystyle T}$igual a${\displaystyle 2\pi /(d\phi /dt)}$⁠ , lo que implica

${\displaystyle \left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}}$

ya que la masa puntual${\displaystyle m}$es insignificante en comparación con la masa del cuerpo central .${\displaystyle M}$⁠ . Entonces${\displaystyle B'(r)=-2GM/r^{2}}$y al integrar esto se obtiene${\displaystyle B(r)=2GM/r+C}$, donde${\displaystyle C}$es una constante de integración desconocida. ${\displaystyle C}$se puede determinar configurando${\displaystyle M=0}$⁠ , en cuyo caso el espacio-tiempo es plano y ⁠${\displaystyle B(r)=-c^{2}}$⁠ . Entonces${\displaystyle C=-c^{2}}$y

${\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{\text{s}}/r-1).}$

Cuando la masa puntual está temporalmente estacionaria,${\displaystyle {\dot {r}}=0}$y​${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$⁠ . La ecuación métrica original se convierte en${\displaystyle {\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)}$y la primera ecuación E–L anterior se convierte en ⁠${\displaystyle A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}})}$⁠ . Cuando la masa puntual está temporalmente estacionaria,${\displaystyle {\ddot {r}}}$es la aceleración de la gravedad ,${\displaystyle -MG/r^{2}}$⁠ . Entonces

${\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{\text{s}}/r}}.}$

La formulación original de la métrica utiliza coordenadas anisotrópicas en las que la velocidad de la luz no es la misma en las direcciones radial y transversal. Arthur Eddington dio formas alternativas en coordenadas isotrópicas . ^{[ 3 ]} Para coordenadas esféricas isotrópicas${\displaystyle r_{1}}$,​${\displaystyle \theta }$,​​${\displaystyle \phi }$, coordenadas${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \phi }$no cambian, y luego (siempre que${\displaystyle r\geq {2Gm}/{c^{2}}}$⁠ ) ^{​​[ 4 ]}

${\displaystyle r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$, ${\displaystyle dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)}$

y

${\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}{\Bigg /}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

Luego, para coordenadas rectangulares isotrópicas${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$,

${\displaystyle x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi ),}$ ${\displaystyle y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi ),}$ ${\displaystyle z=r_{1}\,\cos(\theta )}$

La métrica se convierte entonces, en coordenadas rectangulares isotrópicas:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}{\Bigg /}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

Para derivar la métrica de Schwarzschild, se asumió que esta era de vacío, esféricamente simétrica y estática . Esta suposición estática es innecesaria, ya que el teorema de Birkhoff establece que cualquier solución de vacío esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein es estacionaria ; por lo tanto, se deduce la solución de Schwarzschild. El teorema de Birkhoff implica que cualquier estrella pulsante que conserve su simetría esférica no genera ondas gravitacionales , puesto que la región exterior a la estrella permanece estática.

• Karl Schwarzschild
• Métrica de Kerr
• Métrica de Reissner-Nordström