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regla de poder

En cálculo , la regla de la potencia se utiliza para diferenciar funciones de la forma F ( incógnita ) = incógnita r {\displaystyle f(x)=x^{r}} , cuando sea r {\displaystyle r} ...

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En cálculo , la regla de la potencia se utiliza para diferenciar funciones de la formaF(incógnita)=incógnitar{\displaystyle f(x)=x^{r}}, cuando sear{\displaystyle r}es un número real . Dado que la diferenciación es una operación lineal en el espacio de funciones diferenciables, los polinomios también pueden diferenciarse utilizando esta regla. La regla de la potencia subyace a la serie de Taylor, ya que relaciona una serie de potencias con las derivadas de una función .

Declaración

DejarF{\displaystyle f}ser una función que satisfaceF(incógnita)=incógnitar{\displaystyle f(x)=x^{r}}a pesar deincógnita{\displaystyle x}, dónder∈R{\displaystyle r\in \mathbb {R} }. [ a ] ​​Entonces,

F′(incógnita)=rincógnitar−1.{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,.}

La regla de potencia para la integración establece que

∫incógnitardincógnita=incógnitar+1r+1+do{\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}

para cualquier número realr≠−1{\displaystyle r\neq -1}. Se puede derivar invirtiendo la regla de la potencia para la diferenciación. En esta ecuación C es cualquier constante .

Pruebas

Demostración para exponentes reales

DejarF(incógnita)=incógnitar{\displaystyle f(x)=x^{r}}, dónder{\displaystyle r}es cualquier número real.

SiF(incógnita)=miincógnita{\displaystyle f(x)=e^{x}}, entoncesln⁡(F(incógnita))=incógnita{\displaystyle \ln(f(x))=x}, dóndeln{\displaystyle \ln }es la función logaritmo natural , oF′(incógnita)=F(incógnita)=miincógnita{\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}, como se requería. Por lo tanto, aplicando la regla de la cadena aF(incógnita)=mirln⁡incógnita{\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}, vemos que F′(incógnita)=rincógnitamirln⁡incógnita=rincógnitaincógnitar{\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}} lo cual se simplifica arincógnitar−1{\displaystyle rx^{r-1}}.

Cuandoincógnita<0{\displaystyle x<0}, podemos usar la misma definición conincógnitar=((−1)(−incógnita))r=(−1)r(−incógnita)r{\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}, donde ahora tenemos−incógnita>0{\displaystyle -x>0}Esto conduce necesariamente al mismo resultado. Nótese que porque(−1)r{\displaystyle (-1)^{r}}no tiene una definición convencional cuandor{\displaystyle r}Si no es un número racional, las funciones de potencia irracionales no están bien definidas para bases negativas. Además, como las potencias racionales de −1 con denominadores pares (en su mínima expresión) no son números reales, estas expresiones solo son reales para potencias racionales con denominadores impares (en su mínima expresión).

Finalmente, siempre que la función sea diferenciable enincógnita=0{\displaystyle x=0}, el límite definitorio para la derivada es: límiteh→0hr−0rh{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}} lo cual produce 0 solo cuandor{\displaystyle r}es un número racional con denominador impar (en su mínima expresión) yr>1{\displaystyle r>1}y 1 cuandor=1{\displaystyle r=1}. Para todos los demás valores der{\displaystyle r}, la expresiónhr{\displaystyle h^{r}}no está bien definido parah<0{\displaystyle h<0}Como se explicó anteriormente , o no es un número real, por lo que el límite no existe como una derivada de valor real. Para los dos casos que sí existen, los valores coinciden con el valor de la regla de potencia existente en 0, por lo que no es necesario hacer ninguna excepción.

La exclusión de la expresión00{\displaystyle 0^{0}}(el casoincógnita=0{\displaystyle x=0}) de nuestro esquema de exponenciación se debe al hecho de que la funciónF(incógnita,y)=incógnitay{\displaystyle f(x,y)=x^{y}}no tiene límite en (0,0), ya queincógnita0{\displaystyle x^{0}}x se aproxima a 1 cuando x se aproxima a 0, mientras que0y{\displaystyle 0^{y}}y se aproxima a 0 cuando y se aproxima a 0. Por lo tanto, sería problemático atribuirle un valor específico, ya que dicho valor contradiría uno de los dos casos, dependiendo de la aplicación. Tradicionalmente, se deja sin definir.

Demostraciones para exponentes enteros

Demostración por inducción (números naturales)

Dejarnorte∈norte{\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Es necesario demostrar queddincógnitaincógnitanorte=norteincógnitanorte−1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}El caso base puede ser cuandonorte=0{\displaystyle n=0}o1{\displaystyle 1}, dependiendo de cómo se defina el conjunto de números naturales .

Cuandonorte=0{\displaystyle n=0},ddincógnitaincógnita0=ddincógnita(1)=límiteh→01−1h=límiteh→00h=0=0incógnita0−1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}

Cuandonorte=1{\displaystyle n=1},ddincógnitaincógnita1=límiteh→0(incógnita+h)−incógnitah=límiteh→0hh=1=1incógnita1−1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}

Por lo tanto, el caso base se mantiene en ambos casos.

Supongamos que la afirmación se cumple para algún número natural k , es decirddincógnitaincógnitak=kincógnitak−1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}

Cuandonorte=k+1{\displaystyle n=k+1},ddincógnitaincógnitak+1=ddincógnita(incógnitak⋅incógnita)=incógnitak⋅ddincógnitaincógnita+incógnita⋅ddincógnitaincógnitak=incógnitak+incógnita⋅kincógnitak−1=incógnitak+kincógnitak=(k+1)incógnitak=(k+1)incógnita(k+1)−1{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}Por el principio de inducción matemática, la afirmación es verdadera para todos los números naturales n .

Demostración mediante el teorema del binomio (número natural)

Dejary=incógnitanorte{\displaystyle y=x^{n}}, dóndenorte∈norte{\displaystyle n\in \mathbb {N} }.

Entonces,dydincógnita=límiteh→0(incógnita+h)norte−incógnitanorteh=límiteh→01h[incógnitanorte+(norte1)incógnitanorte−1h+(norte2)incógnitanorte−2h2+⋯+(nortenorte)hnorte−incógnitanorte]=límiteh→0[(norte1)incógnitanorte−1+(norte2)incógnitanorte−2h+⋯+(nortenorte)hnorte−1]=norteincógnitanorte−1{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}}

Dado que n sobre 1 es igual a n, y el resto de los términos contienen h, que es 0, los términos restantes se cancelan. Esta demostración solo funciona para números naturales, ya que el teorema del binomio solo funciona para números naturales.

Demostración mediante series geométricas (números naturales)

Dejary=incógnitanorte{\displaystyle y=x^{n}}, dóndenorte∈norte{\displaystyle n\in \mathbb {N} } ya,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }. Entonces,dydincógnita|incógnita=a=límiteb→abnorte−anorteb−a=límiteb→a[anorte−1+anorte−2b+anorte−3b2+⋯+bnorte−1]=norteanorte−1{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}&=\lim _{b\to a}{\frac {b^{n}-a^{n}}{b-a}}\\[4pt]&=\lim _{b\to a}\left[a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +b^{n-1}\right]\\[4pt]&=na^{n-1}\end{aligned}}}

Generalización a exponentes enteros negativos

Para un entero negativo n , seanorte=−metro{\displaystyle n=-m}de modo que m sea un entero positivo. Usando la regla del recíproco ,ddincógnitaincógnitanorte=ddincógnita(1incógnitametro)=−ddincógnitaincógnitametro(incógnitametro)2=−metroincógnitametro−1incógnita2metro=−metroincógnita−metro−1=norteincógnitanorte−1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}En conclusión, para cualquier número enteronorte{\displaystyle n},ddincógnitaincógnitanorte=norteincógnitanorte−1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}

Generalización a exponentes racionales

Una vez demostrada la validez de la regla de la potencia para exponentes enteros, dicha regla puede extenderse a exponentes racionales.

Demostración mediante la regla de la cadena

Esta demostración se compone de dos pasos que implican el uso de la regla de la cadena para la derivación.

  1. Dejary=incógnitar=incógnita1norte{\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}, dóndenorte∈norte+{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}. Entoncesynorte=incógnita{\displaystyle y^{n}=x}. Por la regla de la cadena ,norteynorte−1⋅dydincógnita=1{\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}. Resolviendo paradydincógnita{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}},dydincógnita=1norteynorte−1=1norte(incógnita1norte)norte−1=1norteincógnita1−1norte=1norteincógnita1norte−1=rincógnitar−1{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}Por lo tanto, la regla de potencia se aplica a exponentes racionales de la forma1/norte{\displaystyle 1/n}, dóndenorte{\displaystyle n}es un número natural distinto de cero. Esto se puede generalizar a exponentes racionales de la formapag/q{\displaystyle p/q}aplicando la regla de la potencia para exponentes enteros usando la regla de la cadena, como se muestra en el siguiente paso.
  2. Dejary=incógnitar=incógnitapag/q{\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}, dóndepag∈Z,q∈norte+,{\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},}de modo quer∈Q{\displaystyle r\in \mathbb {Q} }. Por la regla de la cadena ,dydincógnita=ddincógnita(incógnita1q)pag=pag(incógnita1q)pag−1⋅1qincógnita1q−1=pagqincógnitapag/q−1=rincógnitar−1{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}

De los resultados anteriores, podemos concluir que cuandor{\displaystyle r}es un número racional ,ddincógnitaincógnitar=rincógnitar−1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}

Demostración mediante diferenciación implícita

Una generalización más directa de la regla de la potencia a exponentes racionales utiliza la diferenciación implícita.

Dejary=incógnitar=incógnitapag/q{\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}, dóndepag,q∈Z{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }de modo quer∈Q{\displaystyle r\in \mathbb {Q} }.

Entonces,yq=incógnitapag{\displaystyle y^{q}=x^{p}}Derivando ambos lados de la ecuación con respecto aincógnita{\displaystyle x},qyq−1⋅dydincógnita=pagincógnitapag−1{\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}Resolver paradydincógnita{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}},dydincógnita=pagincógnitapag−1qyq−1.{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}Desdey=incógnitapag/q{\displaystyle y=x^{p/q}},ddincógnitaincógnitapag/q=pagincógnitapag−1qincógnitapag−pag/q.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}Aplicando las leyes de los exponentes,ddincógnitaincógnitapag/q=pagqincógnitapag−1incógnita−pag+pag/q=pagqincógnitapag/q−1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}Por lo tanto, dejandor=pagq{\displaystyle r={\frac {p}{q}}}, podemos concluir queddincógnitaincógnitar=rincógnitar−1{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}cuandor{\displaystyle r}es un número racional.

Demostración mediante series geométricas (racionales positivos)

Esta demostración utiliza fórmulas algebraicas específicas para evaluar la forma definicional de la derivada exactamente para potencias racionales positivas.

Siy=incógnitapagq{\displaystyle y=x^{\frac {p}{q}}}, dóndepag,q∈norte{\displaystyle p,q\in \mathbb {N} } ya,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }. Entonces,dydincógnita|incógnita=a=límiteb→abpagq−apagqb−a{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}&=\lim _{b\to a}{\frac {b^{\frac {p}{q}}-a^{\frac {p}{q}}}{b-a}}\\[4pt]\end{aligned}}}

Ahora, consideremos la fórmula de la suma geométrica,bnorte−anorteb−a=∑i=0norte−1b(norte−1)−iai{\displaystyle {\frac {b^{n}-a^{n}}{b-a}}=\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}b^{(n-1)-i}a^{i}}

Observando la fórmula, se puede demostrar lo siguiente: (b−a)=(b1norte)norte−(a1norte)norte=(b1norte−a1norte)∑i=0norte−1(b1norte)(norte−1)−i(a1norte)i{\displaystyle {\begin{aligned}(b-a)=(b^{\frac {1}{n}})^{n}-(a^{\frac {1}{n}})^{n}=(b^{\frac {1}{n}}-a^{\frac {1}{n}})\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}(b^{\frac {1}{n}})^{(n-1)-i}(a^{\frac {1}{n}})^{i}\end{aligned}}}

De este modo,

(b1norte−a1norte)b−a=1∑i=0norte−1(b1norte)(norte−1)−i(a1norte)i=1b1−1norte+b1−2nortea1norte+b1−3nortea2norte+⋯+a1−1norte{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(b^{\frac {1}{n}}-a^{\frac {1}{n}})}{b-a}}={\frac {1}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}(b^{\frac {1}{n}})^{(n-1)-i}(a^{\frac {1}{n}})^{i}}}={\frac {1}{b^{1-{\frac {1}{n}}}+b^{1-{\frac {2}{n}}}a^{\frac {1}{n}}+b^{1-{\frac {3}{n}}}a^{\frac {2}{n}}+\dots +a^{1-{\frac {1}{n}}}}}\end{aligned}}}

Volviendo a la primera afirmación, ahora se puede evaluar siguiendo los siguientes pasos: límiteb→abpagq−apagqb−a=límiteb→a(b1q)pag−(a1q)pagb−a=límiteb→a(b1q−a1q)(∑i=0pag−1(b1q)(pag−1)−i(a1q)i)b−a=límiteb→a(b1q−a1q)b−a(∑i=0pag−1(b1q)(pag−1)−i(a1q)i)=límiteb→a1∑i=0q−1(b1q)(q−1)−i(a1q)i(∑i=0pag−1(b1q)(pag−1)−i(a1q)i)=(1qa1−1q)(pag(a1q)pag−1)=pagqapagq−1{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{b\to a}{\frac {b^{\frac {p}{q}}-a^{\frac {p}{q}}}{b-a}}&=\lim _{b\to a}{\frac {(b^{\frac {1}{q}})^{p}-(a^{\frac {1}{q}})^{p}}{b-a}}\\[4pt]&=\lim _{b\to a}{\frac {(b^{\frac {1}{q}}-a^{\frac {1}{q}})(\displaystyle \sum _{i=0}^{p-1}(b^{\frac {1}{q}})^{(p-1)-i}(a^{\frac {1}{q}})^{i})}{b-a}}\\[4pt]&=\lim _{b\to a}{\frac {(b^{\frac {1}{q}}-a^{\frac {1}{q}})}{b-a}}(\displaystyle \sum _{i=0}^{p-1}(b^{\frac {1}{q}})^{(p-1)-i}(a^{\frac {1}{q}})^{i})\\[4pt]&=\lim _{b\to a}{\frac {1}{\displaystyle \sum _{i=0}^{q-1}(b^{\frac {1}{q}})^{(q-1)-i}(a^{\frac {1}{q}})^{i}}}(\displaystyle \sum _{i=0}^{p-1}(b^{\frac {1}{q}})^{(p-1)-i}(a^{\frac {1}{q}})^{i})\\[4pt]&=({\frac {1}{qa^{1-{\frac {1}{q}}}}})(p(a^{\frac {1}{q}})^{p-1})\\[4pt]&={\frac {p}{q}}a^{{\frac {p}{q}}-1}\\[4pt]\end{aligned}}}

Demostración mediante series geométricas (racionales negativos)

Siy=incógnitapagq{\displaystyle y=x^{\frac {p}{q}}}, dóndepag,q∈Z/norte{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z/N} } ya,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }.

Entonces,dydincógnita|incógnita=a=límiteb→a(1bpagq)−(1apagq)b−a=límiteb→a(−1(ba)pagq)(bpagq−apagqb−a)=(−1(a2)pagq)(pagqapagq−1)=−pagqa−pagq−1{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}&=\lim _{b\to a}{\frac {({\frac {1}{b^{\frac {p}{q}}}})-({\frac {1}{a^{\frac {p}{q}}}})}{b-a}}\\[4pt]&=\lim _{b\to a}({\frac {-1}{(ba)^{\frac {p}{q}}}})({\frac {b^{\frac {p}{q}}-a^{\frac {p}{q}}}{b-a}})\\[4pt]&=({\frac {-1}{(a^{2})^{\frac {p}{q}}}})({\frac {p}{q}}a^{{\frac {p}{q}}-1})\\[4pt]&=-{\frac {p}{q}}a^{-{\frac {p}{q}}-1}\end{aligned}}}

Historia

La regla de la potencia para integrales fue demostrada por primera vez en forma geométrica por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri a principios del siglo XVII para todos los valores enteros positivos denorte{\displaystyle {\displaystyle n}}y durante mediados del siglo XVII para todas las potencias racionales por los matemáticos Pierre de Fermat , Evangelista Torricelli , Gilles de Roberval , John Wallis y Blaise Pascal , cada uno trabajando de forma independiente. En ese momento, eran tratados sobre la determinación del área entre la gráfica de una función de potencia racional y el eje horizontal. Sin embargo, en retrospectiva, se considera el primer teorema general del cálculo que se descubrió. [ 1 ] La regla de la potencia para la diferenciación fue derivada por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz , cada uno de forma independiente, para funciones de potencia racionales a mediados del siglo XVII, quienes luego la utilizaron para derivar la regla de la potencia para las integrales como la operación inversa. Esto refleja la forma convencional en que se presentan los teoremas relacionados en los libros de texto modernos de cálculo básico, donde las reglas de diferenciación suelen preceder a las reglas de integración. [ 2 ]

Aunque ambos hombres afirmaron que sus reglas, demostradas solo para cantidades racionales, funcionaban para todas las potencias reales, ninguno buscó una prueba de ello, ya que en aquel momento las aplicaciones de la teoría no se ocupaban de funciones de potencia tan exóticas, y las cuestiones de convergencia de series infinitas aún eran ambiguas.

El caso único der=−1{\displaystyle r=-1}fue resuelto por el jesuita flamenco y matemático Grégoire de Saint-Vincent y su estudiante Alphonse Antonio de Sarasa a mediados del siglo XVII, quienes demostraron que la integral definida asociada,

∫1incógnita1tdt{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}

representando el área entre la hipérbola rectangularincógnitay=1{\displaystyle xy=1}y el eje x, era una función logarítmica, cuya base finalmente se descubrió que era el número trascendental e . La notación moderna para el valor de esta integral definida esln⁡(incógnita){\displaystyle \ln(x)}, el logaritmo natural.

En análisis complejo

Si consideramos funciones de la formaF(z)=zdo{\displaystyle f(z)=z^{c}}dóndedo{\displaystyle c}es cualquier número complejo yz{\displaystyle z}es un número complejo en un plano complejo ranurado que excluye el punto de ramificación de 0 y cualquier corte de rama conectado a él, y utilizamos la definición multivaluada convencional.zdo:=exp⁡(doln⁡z){\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}, entonces es sencillo demostrar que, en cada rama del logaritmo complejo, el mismo argumento utilizado anteriormente produce un resultado similar:F′(z)=dozexp⁡(doln⁡z){\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}. [ 3 ]

Además, sido{\displaystyle c}es un entero positivo, entonces no hay necesidad de un corte de rama: se puede definirF(0)=0{\displaystyle f(0)=0}, o bien definir potencias complejas enteras positivas mediante la multiplicación compleja, y demostrar queF′(z)=dozdo−1{\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}}para todos los complejosz{\displaystyle z}, a partir de la definición de la derivada y el teorema del binomio.

Sin embargo, debido a la naturaleza multivaluada de las funciones de potencia complejas para exponentes no enteros, se debe tener cuidado al especificar la rama del logaritmo complejo que se está utilizando. Además, independientemente de la rama que se utilice, sido{\displaystyle c}Si no es un entero positivo, entonces la función no es diferenciable en 0.

Véase también

Referencias

Notas

  1. ↑ Sir{\displaystyle r}es un número racional cuya representación de términos más simples tiene un denominador impar, entonces el dominio deF{\displaystyle f}se entiende que esR{\displaystyle \mathbb {R} }. De lo contrario, el dominio es(0,∞){\displaystyle (0,\infty )}.

Citas

  1. ↑ Boyer, Carl (1959). Historia del cálculo y su desarrollo conceptual . Nueva York: Dover. pág . 127. ISBN  0-486-60509-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  2. ↑ Boyer, Carl (1959). Historia del cálculo y su desarrollo conceptual . Nueva York: Dover. págs. 191, 205. ISBN  0-486-60509-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  3. ↑ Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009). Análisis complejo (2 ed.). Heidelberg: Springer-Verlag. pag. 46.ISBN​   978-3-540-93982-5.

Lecturas adicionales

  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; y Edwards, Bruce H. (2003). Cálculo de una variable: Funciones trascendentales tempranas (3.ª edición). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.