Geometría algebraica no conmutativa derivada

En matemáticas, la geometría algebraica no conmutativa derivada , ^[1] la versión derivada de la geometría algebraica no conmutativa , es el estudio geométrico de categorías derivadas y construcciones relacionadas de categorías trianguladas utilizando herramientas categóricas. Algunos ejemplos básicos incluyen la categoría derivada acotada de haces coherentes en una variedad suave, , llamada su categoría derivada, o la categoría derivada de complejos perfectos en una variedad algebraica, denotada . Por ejemplo, la categoría derivada de haces coherentes en una variedad proyectiva suave se puede utilizar como un invariante de la variedad subyacente para muchos casos (si tiene un haz (anti)canónico amplio). Desafortunadamente, estudiar las categorías derivadas como objetos geométricos de sí mismos no tiene un nombre estandarizado. $Estilo de visualización D^{b}(X)}$${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$$Estilo de visualización D^{b}(X)}$${\estilo de visualización X}$

La categoría derivada de es uno de los ejemplos motivadores de esquemas no conmutativos derivados debido a su sencilla estructura categórica. Recordemos que la sucesión de Euler de es la sucesión exacta corta ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus 2}\to {\mathcal {O}}\to 0}$

Si consideramos los dos términos de la derecha como un complejo, entonces obtenemos el triángulo distinguido

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus 2}{\overset {\phi }{\rightarrow }}{\mathcal {O}}\to \operatorname {Cono} (\phi ){\overset {+1}{\rightarrow }}.}$

Dado que hemos construido este haz utilizando únicamente herramientas categóricas, podríamos repetir esto nuevamente tensando la sucesión de Euler por el haz plano y aplicar nuevamente la construcción del cono. Si tomamos los duales de los haces, entonces podemos construir todos los fibrados de líneas utilizando únicamente su estructura triangulada. Resulta que la forma correcta de estudiar categorías derivadas a partir de sus objetos y su estructura triangulada es con colecciones excepcionales. ${\displaystyle \operatorname {Cono} (\phi )\cong {\mathcal {O}}(-2)[+1]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$${\displaystyle \nombreoperador {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$

Las herramientas técnicas para codificar esta construcción son las descomposiciones semiortogonales y las colecciones excepcionales. ^[2] Una descomposición semiortogonal de una categoría triangulada es una colección de subcategorías completamente trianguladas de modo que se cumplan las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{n}}$

(1) Para los objetos que tenemos${\displaystyle T_{i}\in \nombre del operador {Ob} ({\mathcal {T}}_{i})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (T_{i},T_{j})=0}$${\displaystyle i>j}$

(2) Las subcategorías generan , lo que significa que cada objeto se puede descomponer en una secuencia de , ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$${\displaystyle T_{i}\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$

${\displaystyle 0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{1}\to T_{0}=T}$

de modo que . Nótese que esto es análogo a una filtración de un objeto en una categoría abeliana de modo que los núcleos vivan en una subcategoría específica. ${\displaystyle \operatorname {Cone} (T_{i}\to T_{i-1})\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}}_{i})}$

Podemos especializar esto un poco más considerando colecciones excepcionales de objetos, que generan sus propias subcategorías. Un objeto en una categoría triangulada se llama excepcional si se cumple la siguiente propiedad ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E,E[+\ell ])={\begin{cases}k&{\text{if }}\ell =0\\0&{\text{if }}\ell \neq 0\end{cases}}}$

donde es el cuerpo subyacente del espacio vectorial de morfismos. Una colección de objetos excepcionales es una colección excepcional de longitud si para cualquier y cualquier , tenemos ${\displaystyle k}$${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle i>j}$${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{i},E_{j}[+\ell ])=0}$

y es una colección fuerte y excepcional si además, para cualquier y cualquier , tenemos ${\displaystyle \ell \neq 0}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{i},E_{j}[+\ell ])=0}$

Luego podemos descomponer nuestra categoría triangulada en la descomposición semiortogonal.

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {T}}',E_{1},\ldots ,E_{r}\rangle }$

donde , la subcategoría de objetos en tal que . Si además entonces la colección excepcional fuerte se llama completa . ${\displaystyle {\mathcal {T}}'=\langle E_{1},\ldots ,E_{r}\rangle ^{\perp }}$${\displaystyle E\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (E,E_{i}[+\ell ])=0}$${\displaystyle {\mathcal {T}}'=0}$

Beilinson proporcionó el primer ejemplo de una colección excepcional fuerte completa. En la categoría derivada, los fibrados de líneas forman una colección excepcional fuerte completa. ^[2] Demuestra el teorema en dos partes. Primero, muestra que estos objetos son una colección excepcional y, segundo, muestra que la diagonal de tiene una resolución cuyas composiciones son tensores del pullback de los objetos excepcionales. ${\displaystyle D^{b}(\mathbb {P} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n),{\mathcal {O}}(-n+1),\ldots ,{\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\Delta }}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n}}$

Lema técnico

Una colección excepcional de haces está completa si existe una resolución ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to p_{1}^{*}E_{1}\otimes p_{2}^{*}F_{1}\to \cdots \to p_{1}^{*}E_{n}\otimes p_{2}^{*}F_{n}\to {\mathcal {O}}_{\Delta }\to 0}$

en donde se encuentran haces coherentes arbitrarios en . ${\displaystyle D^{b}(X\times X)}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle X}$

Otra forma de reformular este lema es observar el complejo de Koszul asociado a${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}{\mathcal {O}}(-D_{i})\xrightarrow {\phi } {\mathcal {O}}}$

donde son los divisores del hiperplano de . Esto da el complejo exacto${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\left(-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\right)\to \cdots \to \bigoplus _{i\neq j}{\mathcal {O}}(-D_{i}-D_{j})\to \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(-D_{i})\to {\mathcal {O}}\to 0}$

lo que da una manera de construir usando las haces , ya que son las haces utilizadas en todos los términos en la secuencia exacta anterior, excepto ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n),\ldots ,{\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(-\sum _{i=0}^{n}D_{i}\right)\cong {\mathcal {O}}(-n-1)}$

lo que da una equivalencia derivada del resto de los términos del complejo anterior con . Para el complejo de Koszul anterior es el complejo exacto${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\to 0}$

dando el cuasi isomorfismo de con el complejo${\displaystyle {\mathcal {O}}(-3)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\to 0}$

Si es una variedad proyectiva suave con un haz (anti)canónico amplio y hay una equivalencia de categorías derivadas , entonces hay un isomorfismo de las variedades subyacentes. ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle F:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$

La prueba comienza analizando dos funtores de Serre inducidos en y encontrando un isomorfismo entre ellos. En particular, muestra que hay un objeto que actúa como el haz dualizante en . El isomorfismo entre estos dos funtores da un isomorfismo del conjunto de puntos subyacentes de las categorías derivadas. Luego, lo que se necesita verificar es un ismorfismo , para cualquier , dando un isomorfismo de anillos canónicos ${\displaystyle D^{b}(Y)}$${\displaystyle \omega _{Y}=F(\omega _{X})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F(\omega _{X}^{\otimes k})\cong \omega _{Y}^{\otimes k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle A(X)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }H^{0}(X,\omega _{X}^{\otimes k})\cong \bigoplus _{k=0}^{\infty }H^{0}(Y,\omega _{Y}^{\otimes k})}$

Si se puede demostrar que son (anti)amplias, entonces la proyección de estos anillos dará un isomorfismo . Todos los detalles están contenidos en las notas de Dolgachev. ${\displaystyle \omega _{Y}}$${\displaystyle X\to Y}$

Este teorema falla en el caso de que sea Calabi-Yau, ya que , o es el producto de una variedad que es Calabi-Yau . Las variedades abelianas son una clase de ejemplos en los que un teorema de reconstrucción nunca podría cumplirse. Si es una variedad abeliana y es su dual, la transformada de Fourier-Mukai con núcleo , el fibrado de Poincaré, ^[4] da una equivalencia ${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle FM_{\mathcal {P}}:D^{b}(X)\to D^{b}({\hat {X}})}$

de categorías derivadas. Dado que una variedad abeliana generalmente no es isomorfa a su dual, existen categorías derivadas equivalentes sin variedades subyacentes isomorfas. ^[5] Existe una teoría alternativa de geometría triangulada tensorial en la que consideramos no solo una categoría triangulada, sino también una estructura monoidal, es decir, un producto tensorial. Esta geometría tiene un teorema de reconstrucción completo que utiliza el espectro de categorías. ^[6]

Las superficies K3 son otra clase de ejemplos en los que la reconstrucción falla debido a su propiedad de Calabi-Yau. Existe un criterio para determinar si dos superficies K3 son o no equivalentes derivadas: la categoría derivada de la superficie K3 es equivalente derivada a otra K3 si y solo si existe una isometría de Hodge , es decir, un isomorfismo de la estructura de Hodge . ^[3] Además, este teorema se refleja también en el mundo motívico, donde los motivos de Chow son isomorfos si y solo si existe una isometría de las estructuras de Hodge. ^[7]${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle D^{b}(Y)}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$

Una buena aplicación de la demostración de este teorema es la identificación de autoequivalencias de la categoría derivada de una variedad proyectiva suave con un haz (anti)canónico amplio. Esto viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Auteq} (D^{b}(X))\cong (\operatorname {Pic} (X)\rtimes \operatorname {Aut} (X))\times \mathbb {Z} }$

Donde una autoequivalencia está dada por un automorfismo , luego tensada por un fibrado lineal y finalmente compuesta con un desplazamiento. Nótese que actúa sobre a través del mapa de polarización, . ^[8]${\displaystyle F}$${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\in \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle g\mapsto g^{*}(L)\otimes L^{-1}}$

La categoría derivada acotada se utilizó ampliamente en SGA6 para construir una teoría de intersección con y . Dado que estos objetos son íntimamente relativos al anillo de Chow de , su motivo chow , Orlov planteó la siguiente pregunta: dado un funtor completamente fiel ${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle K(X)}$${\displaystyle Gr_{\gamma }K(X)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle F:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$

¿Existe un mapa inducido sobre los motivos de la comida?

${\displaystyle f:M(X)\to M(Y)}$

tal que es un sumando de ? ^[9] En el caso de superficies K3, se ha confirmado un resultado similar ya que las superficies K3 equivalentes derivadas tienen una isometría de estructuras de Hodge, lo que da un isomorfismo de motivos. ${\displaystyle M(X)}$${\displaystyle M(Y)}$

En una variedad suave hay una equivalencia entre la categoría derivada y la triangulación completa gruesa ^{[10] [11]} de complejos perfectos. Para esquemas noetherianos separados de dimensión finita de Krull ( llamada condición ELF ) ^[12] este no es el caso, y Orlov define la categoría derivada de singularidades como su diferencia usando un cociente de categorías. Para un esquema ELF su categoría derivada de singularidades se define como ${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle D_{sg}(X):=D^{b}(X)/D_{\text{perf}}(X)}$^[13]

para una definición adecuada de la localización de categorías trianguladas.

Aunque la localización de categorías está definida para una clase de morfismos en la categoría cerrada bajo composición, podemos construir dicha clase a partir de una subcategoría triangulada. Dada una subcategoría triangulada completa , la clase de morfismos , en donde encaja en un triángulo distinguido${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {N}}\subset {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {N}})}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y\to N\to X[+1]}$

con y . Se puede comprobar que esto forma un sistema multiplicativo utilizando el axioma octaédrico para triángulos distinguibles. Dado ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y{\xrightarrow {s'}}Z}$

con triángulos distinguidos

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y\to N\to X[+1]}$

${\displaystyle Y{\xrightarrow {s'}}Z\to N'\to Y[+1]}$

donde , entonces se distinguen triángulos ${\displaystyle N,N'\in {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle X\to Z\to M\to X[+1]}$

${\displaystyle N\to M\to N'\to N[+1]}$donde since está cerrado bajo extensiones. Esta nueva categoría tiene las siguientes propiedades${\displaystyle M\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

• Se triangula canónicamente donde un triángulo en se distingue si es isomorfo a la imagen de un triángulo en${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$
• La categoría tiene la siguiente propiedad universal: cualquier funtor exacto donde donde , entonces se factoriza únicamente a través del funtor cociente , por lo que existe un morfismo tal que .${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle F(N)\cong 0}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle Q:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\tilde {F}}:{\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}\to {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle {\tilde {F}}\circ Q\simeq F}$

• Si es un esquema regular, entonces todo complejo acotado de haces coherentes es perfecto. Por lo tanto, la categoría de singularidad es trivial.${\displaystyle X}$
• Cualquier haz coherente que tenga apoyo en dirección opuesta es perfecto. Por lo tanto, los haces coherentes no triviales en tienen apoyo en .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {Sing} (X)}$${\displaystyle D_{sg}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Sing} (X)}$
• En particular, los objetos en son isomorfos a para algún haz coherente .${\displaystyle D_{sg}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}[+k]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Kontsevich propuso un modelo para los modelos de Landau-Ginzburg que se desarrolló según la siguiente definición: ^[14] un modelo de Landau-Ginzburg es una variedad suave junto con un morfismo que es plano . Hay tres categorías asociadas que se pueden utilizar para analizar las D-branas en un modelo de Landau-Ginzburg utilizando factorizaciones matriciales del álgebra conmutativa. ${\displaystyle X}$${\displaystyle W:X\to \mathbb {A} ^{1}}$

Con esta definición, hay tres categorías que se pueden asociar a cualquier punto , una categoría graduada , una categoría exacta y una categoría triangulada , cada una de las cuales tiene objetos ${\displaystyle w_{0}\in \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$

${\displaystyle {\overline {P}}=(p_{1}:P_{1}\to P_{0},p_{0}:P_{0}\to P_{1})}$¿Dónde están las multiplicaciones por ?${\displaystyle p_{0}\circ p_{1},p_{1}\circ p_{0}}$${\displaystyle W-w_{0}}$

También hay una función de cambio que se envía a${\displaystyle [+1]}$${\displaystyle {\overline {P}}}$

${\displaystyle {\overline {P}}[+1]=(-p_{0}:P_{0}\to P_{1},-p_{1}:P_{1}\to P_{0})}$.

La diferencia entre estas categorías es la definición de morfismos, de los cuales el más general es el de aquellos cuyos morfismos son complejos graduados. ${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\overline {P}},{\overline {Q}})=\bigoplus _{i,j}\operatorname {Hom} (P_{i},Q_{j})}$

donde la gradación viene dada por y la diferencial que actúa sobre elementos homogéneos de grado por ${\displaystyle (i-j){\bmod {2}}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle Df=q\circ f-(-1)^{d}f\circ p}$

En los morfismos están los morfismos de grado en . Finalmente, tiene los morfismos en módulo las homotopías nulas. Además, se puede dotar de una estructura triangulada a través de una construcción de cono graduado en . Dado que hay un código de mapeo con mapas ${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {P}}\to {\overline {Q}}}$${\displaystyle C(f)}$

${\displaystyle c_{1}:Q_{1}\oplus P_{0}\to Q_{0}\oplus P_{1}}$dónde${\displaystyle c_{1}={\begin{bmatrix}q_{0}&f_{1}\\0&-p_{1}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle c_{0}:Q_{0}\oplus P_{1}\to Q_{1}\oplus P_{0}}$dónde${\displaystyle {\displaystyle c_{0}={\begin{bmatrix}q_{1}&f_{0}\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}}}$

Entonces, un diagrama en es un triángulo distinguido si es isomorfo a un cono de . ${\displaystyle {\overline {P}}\to {\overline {Q}}\to {\overline {R}}\to {\overline {P}}[+1]}$${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$

Utilizando la construcción de podemos definir la categoría de D-branas de tipo B con superpotencial como categoría del producto ${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle DB(W)=\prod _{w\in \mathbb {A} _{1}}DB_{w_{0}}(W).}$

Esto se relaciona con la categoría de singularidad de la siguiente manera: Dado un superpotencial con singularidades aisladas solo en , denote . Entonces, existe una equivalencia exacta de categorías ${\displaystyle W}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X_{0}=W^{-1}(0)}$

${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)\cong D_{sg}(X_{0})}$

dado por un funtor inducido a partir del funtor cokernel que envía un par . En particular, dado que es regular, el teorema de Bertini muestra que es solo un producto finito de categorías. ${\displaystyle \operatorname {Cok} }$${\displaystyle {\overline {P}}\mapsto \operatorname {Coker} (p_{1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle DB(W)}$

Existe una transformada de Fourier-Mukai sobre las categorías derivadas de dos variedades relacionadas que da una equivalencia de sus categorías de singularidad. Esta equivalencia se llama periodicidad de Knörrer . Esto se puede construir de la siguiente manera: dado un morfismo plano de un esquema noetheriano regular separado de dimensión finita de Krull, existe un esquema y un morfismo asociados tales que donde son las coordenadas del factor . Considérense las fibras , , y el morfismo inducido . Y la fibra . Entonces, hay una inyección y una proyección que forman un fibrado . La transformada de Fourier-Mukai ${\displaystyle \Phi _{Z}}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle Y=X\times \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle g:Y\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle g=f+xy}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(0)}$${\displaystyle Y_{0}=g^{-1}(0)}$${\displaystyle x:Y_{0}\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle Z=x^{-1}(0)}$${\displaystyle i:Z\to Y_{0}}$${\displaystyle q:Z\to X_{0}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \Phi _{Z}(\cdot )=\mathbf {R} i_{*}q^{*}(\cdot )}$

induce una equivalencia de categorías

${\displaystyle D_{sg}(X_{0})\to D_{sg}(Y_{0})}$

llamada periodicidad de Knörrer . Existe otra forma de esta periodicidad donde se reemplaza por el polinomio . ^{[15] [16]} Estos teoremas de periodicidad son las principales técnicas computacionales porque permiten una reducción en el análisis de las categorías de singularidad. ${\displaystyle xy}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

Si tomamos el modelo de Landau-Ginzburg donde , entonces la única fibra singular de es el origen. Entonces, la categoría D-brana del modelo de Landau-Ginzburg es equivalente a la categoría de singularidad . Sobre el álgebra hay objetos indecomponibles ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2k+1},W)}$${\displaystyle W=z_{0}^{n}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{2k}^{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle D_{\text{sing}}(\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [z]/(z^{n})))}$${\displaystyle A=\mathbb {C} [z]/(z^{n})}$

${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Coker} (A{\xrightarrow {z^{i}}}A)=A/z^{i}}$

cuyos morfismos pueden ser completamente comprendidos. Para cualquier par hay morfismos donde ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle \alpha _{j}^{i}:V_{i}\to V_{j}}$

• porque éstas son las proyecciones naturales${\displaystyle i\geq j}$
• porque estos son multiplicaciones por${\displaystyle i<j}$${\displaystyle z^{j-i}}$

donde cada otro morfismo es una composición y combinación lineal de estos morfismos. Hay muchos otros casos que pueden calcularse explícitamente, utilizando la tabla de singularidades que se encuentra en el artículo original de Knörrer. ^[16]

• Categoría derivada
• Categoría triangulada
• Complejo perfecto
• Descomposición semiortogonal
• Transformada de Fourier-Mukai
• Estado de estabilidad de Bridgeland
• Simetría especular homológica
• Notas sobre categorías derivadas: http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/derived9.pdf

• Una versión no conmutativa del teorema de Beilinson
• Categorías derivadas de variedades tóricas
• Categorías derivadas de variedades tóricas II