aproximación de Derjaguin

La aproximación de Derjaguin (o a veces también denominada aproximación de proximidad ), que recibe su nombre del científico ruso Boris Derjaguin , expresa el perfil de fuerza que actúa entre cuerpos de tamaño finito en términos del perfil de fuerza entre dos paredes planas semiinfinitas. ^{[ 1 ]} Esta aproximación se utiliza ampliamente para estimar fuerzas entre partículas coloidales , ya que las fuerzas entre dos cuerpos planos suelen ser mucho más fáciles de calcular. La aproximación de Derjaguin expresa la fuerza F ( h ) entre dos cuerpos como una función de la separación de la superficie como ^{[ 2 ]}

${\displaystyle F(h)=2\pi R_{\rm {eff}}W(h),}$

donde W ( h ) es la energía de interacción por unidad de área entre las dos paredes planas y R _eff el radio efectivo. Cuando los dos cuerpos son dos esferas de radios R ₁ y R ₂ , respectivamente, el radio efectivo viene dado por

${\displaystyle R_{\rm {eff}}^{-1}=R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}.}$

Los perfiles de fuerza experimentales entre cuerpos macroscópicos, medidos con el aparato de fuerzas superficiales (SFA) ^{[ 3 ]} o la técnica de sonda coloidal ^{[ 4 ],} se suelen reportar como la relación F ( h )/ R _eff .

La fuerza F ( h ) entre dos cuerpos está relacionada con la energía libre de interacción U ( h ) como

${\displaystyle F(h)=-{dU \over dh},}$

donde h es la separación entre superficies. Por el contrario, cuando se conoce el perfil de fuerza, se puede evaluar la energía de interacción como

${\displaystyle U(h)=\int _ {h}^{\infty }F(h')\,dh'.}$

Cuando se consideran dos paredes planas, las cantidades correspondientes se expresan por unidad de área. La presión de disyunción es la fuerza por unidad de área y puede expresarse mediante la derivada.

${\displaystyle \Pi (h)=-{dW \over dh},}$

donde W ( h ) es la energía libre superficial por unidad de área. Por el contrario, se tiene

${\displaystyle W(h)=\int _{h}^{\infty }\Pi (h')\,dh'.}$

La principal restricción de la aproximación de Derjaguin es que solo es válida a distancias mucho menores que el tamaño de los objetos involucrados, es decir, h ≪ R ₁ y h ≪ R ₂ . Además, es una aproximación continua y, por lo tanto, válida a distancias mayores que la escala de longitud molecular . Incluso cuando se trata de superficies rugosas, se ha demostrado que esta aproximación es válida en muchas situaciones. ^{[ 5 ]} Su rango de validez está restringido a distancias mayores que el tamaño característico de las características de rugosidad de la superficie (por ejemplo, la rugosidad cuadrática media ).

Las geometrías frecuentes consideradas implican la interacción entre dos esferas idénticas de radio R donde el radio efectivo se convierte en

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R/2.}$

En el caso de interacción entre una esfera de radio R y una superficie plana, se tiene

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R.}$

Las dos relaciones anteriores se pueden obtener como casos especiales de la expresión para R _eff dada más arriba. Para la situación de cilindros que se cruzan perpendicularmente, como se utiliza en el aparato de fuerzas superficiales, se tiene

${\displaystyle R_{\rm {eff}}={\sqrt {R_{1}R_{2}}},}$

donde R ₁ y R ₂ son los radios de curvatura de los dos cilindros involucrados.

Consideremos como ejemplo la fuerza F ( h ) entre dos esferas idénticas de radio R. Se supone que las superficies de ambas esferas están divididas en discos infinitesimales de ancho dr y radio r, como se muestra en la figura. La fuerza viene dada por la suma de las presiones de hinchamiento correspondientes entre los dos discos.

${\displaystyle F=\int \Pi (x)\,dA,}$

donde x es la distancia entre los discos y dA el área de uno de estos discos. Esta distancia se puede expresar como x = h + 2y . Al considerar el teorema de Pitágoras en el triángulo gris que se muestra en la figura, se tiene

${\displaystyle R^{2}=(Ry)^{2}+r^{2}.}$

Al expandir esta expresión y darse cuenta de que y ≪ R, se encuentra que el área del disco se puede expresar como

${\displaystyle dA=2\pi r\,dr=2\pi R\,dy=\pi R\,dx.}$

La fuerza ahora se puede escribir como

${\displaystyle F(h)=\pi R\int _{h}^{\infty }\Pi (x)\,dx=\pi RW(h),}$

donde W ( h ) es la energía libre superficial por unidad de área introducida anteriormente. Al introducir la ecuación anterior, el límite superior de integración se reemplazó por infinito, lo cual es aproximadamente correcto siempre que h ≪ R .

En el caso general de dos cuerpos convexos, el radio efectivo se puede expresar de la siguiente manera ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\rm {eff}}^{2}}}=\left({\frac {1}{R'_{1}}}+{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_{2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi ,}$

donde R' _i y R" _i son los radios de curvatura principales para las superficies i = 1 y 2, evaluados en los puntos de distancia de aproximación más cercana, y φ es el ángulo entre los planos generados por los círculos con radios de curvatura más pequeños. Cuando los cuerpos no son esféricos alrededor de la posición de aproximación más cercana, se desarrolla un par entre los dos cuerpos y viene dado por ^{[ 6 ].}

${\displaystyle T=\pi R_{\rm {eff}}^{3}V(h)\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin 2\varphi ,}$

dónde

${\displaystyle V(h)=\int _{h}^{\infty }W(h')\,dh'.}$

Las expresiones anteriores para dos esferas se recuperan al establecer R' _i = R" _i = R _i . El torque se anula en este caso.

La expresión para dos cilindros que se cruzan perpendicularmente se obtiene a partir de R' _i = R _i y R" _i → ∞ . En este caso, el torque tenderá a orientar los cilindros perpendicularmente para fuerzas repulsivas. Para fuerzas atractivas, el torque tenderá a alinearlos.

Estas fórmulas generales se han utilizado para evaluar fuerzas de interacción aproximadas entre elipsoides. ^{[ 7 ]}

La aproximación de Derjaguin es única por su simplicidad y generalidad. Para mejorarla, se propusieron el método de integración de elementos de superficie y el enfoque de integración de superficies para obtener expresiones más precisas de las fuerzas entre dos cuerpos. Estos procedimientos también consideran la orientación relativa de las superficies que se aproximan. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Zypman, FR (2006). "Expresiones exactas para las fuerzas y energías de interacción plano-partícula coloidal con aplicaciones a la microscopía de fuerza atómica". J. Phys.: Condens. Matter . 8 (10): 2795– 2803. Bibcode : 2006JPCM...18.2795Z . doi : 10.1088/0953-8984/18/10/005 .