Determinación de las constantes de equilibrio

La concentración libre [A] o la actividad {A} de una especie A se mide mediante un electrodo selectivo de iones, como el electrodo de vidrio . Si el electrodo se calibra utilizando patrones de actividad, se supone que la ecuación de Nernst se aplica en la forma

${\displaystyle E=E^{0}+{\frac {RT}{nF}}\ln \mathrm {\{A\}} }$

donde E ⁰ es el potencial de electrodo estándar . Cuando se utilizan soluciones tampón de pH conocido para la calibración, la lectura del medidor será un pH.

${\displaystyle \mathrm {pH} ={\frac {nF}{RT}}\left(E^{0}-E\right)}$

A 298  K, 1  unidad de pH es aproximadamente igual a 59  mV. ^{[ 2 ]}

Cuando el electrodo se calibra con soluciones de concentración conocida, por ejemplo mediante una titulación ácido fuerte-base fuerte, se asume una ecuación de Nernst modificada.

${\displaystyle E=E^{0}+s\log _{10}\mathrm {[A]} }$

donde s es un factor de pendiente empírico. Se puede preparar una solución de concentración conocida de iones hidrógeno estandarizando un ácido fuerte con bórax . También se puede utilizar ácido clorhídrico de punto de ebullición constante como patrón primario para la concentración de iones hidrógeno.

Se supone que el intercambio químico es rápido en la escala de tiempo de la RMN. Un desplazamiento químico individual δ es el promedio ponderado por la fracción molar de los desplazamientos δ de los núcleos en las especies contribuyentes.

${\displaystyle {\bar {\delta }}={\frac {\sum x_{i}\delta _{i}}{\sum x_{i}}}}$

Ejemplo: el pKa del grupo hidroxilo en el ácido cítrico se ha determinado a partir de datos de desplazamiento químico de ^13C _, obteniéndose un valor de 14,4. Ni la potenciometría ni la espectroscopia ultravioleta-visible pudieron utilizarse para esta determinación. ^{[ 3 ]}

La medición simultánea de K y ΔH para aductos 1:1 se realiza habitualmente mediante calorimetría de titulación isotérmica . La extensión a sistemas más complejos está limitada por la disponibilidad de software adecuado.

El método de competencia puede utilizarse cuando el valor de una constante de estabilidad es demasiado elevado para ser determinado mediante un método directo. Fue empleado por primera vez por Schwarzenbach para determinar las constantes de estabilidad de complejos de EDTA con iones metálicos.

Para simplificar, consideremos la determinación de la constante de estabilidad.${\displaystyle K_{AB}}$de un complejo binario, AB , de un reactivo A con otro reactivo B.

${\displaystyle K_{AB}={\frac {[AB]}{[A][B]}}}$

donde [X] representa la concentración, en equilibrio, de una especie X en una solución de composición dada.

Se elige un ligando C que forma un complejo más débil con A. La constante de estabilidad, K _AC , es lo suficientemente pequeña como para ser determinada por un método directo. Por ejemplo, en el caso de los complejos de EDTA, A es un ion metálico y C puede ser una poliamina como la dietilentriamina .

${\displaystyle K_{AC}={\frac {[AC]}{[A][C]}}}$

La constante de estabilidad, K, para la reacción de competencia

${\displaystyle AC+B\leftrightharpoons AB+C}$

puede expresarse como

${\displaystyle K={\frac {[AB][C]}{[AC][B]}}}$

Resulta que

${\displaystyle K_{AB}=K\times K_{AC}}$

donde K es la constante de estabilidad para la reacción de competencia. Por lo tanto, el valor de la constante de estabilidad${\displaystyle K_{AB}}$pueden derivarse de los valores de K determinados experimentalmente y${\displaystyle K_{AC}}$.

El modelo químico consta de un conjunto de especies químicas presentes en la disolución, tanto los reactivos añadidos a la mezcla de reacción como las especies complejas formadas a partir de ellos. Denominando los reactivos con las letras A, B, etc., cada especie compleja se especifica mediante los coeficientes estequiométricos que relacionan la combinación particular de reactivos que la forman.

${\displaystyle {\ce {{{\mathit {p}}A}+{\mathit {q}}B\cdots <=>A_{\mathit {p}}B_{\mathit {q}}\cdots }}}$:${\displaystyle \beta _{pq\cdots }={\frac {[{\ce {A}}_{p}{\ce {B}}_{q}\cdots ]}{[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots }}}$

Al utilizar programas informáticos de propósito general, es habitual emplear constantes de asociación acumulativas , como se muestra arriba. Las cargas eléctricas no se muestran en expresiones generales como esta y, a menudo, se omiten en expresiones específicas para simplificar la notación. De hecho, las cargas eléctricas no influyen en los procesos de equilibrio, salvo por el requisito de neutralidad eléctrica global en todos los sistemas.

En las soluciones acuosas, las concentraciones de protones (iones hidronio) e iones hidróxido están limitadas por la autodisociación del agua.

${\displaystyle {\ce {H2O <=> H+ + OH-}}}$:${\displaystyle K_{\mathrm {W} }^{'}={\frac {[H^{+}][OH^{-}]}{[H_{2}O]}}}$

En soluciones diluidas, se supone que la concentración de agua es constante, por lo que la expresión de equilibrio se escribe en forma del producto iónico del agua.

${\displaystyle K_{\mathrm {W} }={\ce {[H+]}}[{\ce {OH-}}]\,}$

Cuando tanto H ⁺ como OH ⁻ deben considerarse como reactivos, uno de ellos se elimina del modelo especificando que su concentración se derive de la concentración del otro. Por lo general, la concentración del ion hidróxido viene dada por

${\displaystyle [{\ce {OH-}}]={\frac {K_{{\ce {W}}}}{[{\ce {H+}}]}}\,}$

En este caso, la constante de equilibrio para la formación de hidróxido tiene coeficientes estequiométricos de -1 con respecto al protón y cero con respecto a los demás reactivos. Esto tiene implicaciones importantes para todos los equilibrios de protonación en solución acuosa y, en particular, para las constantes de hidrólisis .

Es bastante común omitir del modelo aquellas especies cuyas concentraciones se consideran insignificantes. Por ejemplo, se suele asumir que no existe interacción entre los reactivos y/o complejos y el electrolito utilizado para mantener una fuerza iónica constante o el tampón utilizado para mantener un pH constante. Estas suposiciones pueden o no estar justificadas. Asimismo, se asume implícitamente que no hay otras especies complejas presentes. Cuando se ignoran erróneamente los complejos, se introduce un error sistemático en los cálculos.

Los valores de la constante de equilibrio se suelen estimar inicialmente tomando como referencia fuentes de datos .

Un cálculo de especiación consiste en calcular las concentraciones de todas las especies en un sistema en equilibrio, conociendo las concentraciones analíticas, T _A , T _{B ,} etc., de los reactivos A , B , etc. Esto implica resolver un conjunto de ecuaciones no lineales de balance de masa.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {T_{A}}}&=[{\ce {A}}]+\sum _{1,nk}p\beta _{pq\cdots }[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots \\{\ce {T_{B}}}&=[{\ce {B}}]+\sum _{1,nk}q\beta _{pq\cdots }[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots \\etc.\end{aligned}}}$

para las concentraciones libres [A], [B], etc. Cuando se mide el pH (o la fem equivalente, E), la concentración libre de iones de hidrógeno, [H], se obtiene a partir del valor medido como

${\displaystyle [\mathrm {H} ]=10^{-\mathrm {pH} }}$o${\displaystyle [\mathrm {H} ]=e^{\mathrm {{-{\frac {nF}{RT}}}(EE^{0})} }}$

y solo se calculan las concentraciones libres de los demás reactivos. Las concentraciones de los complejos se derivan de las concentraciones libres mediante el modelo químico.

Algunos autores ^{[ 5 ] [ 6 ]} incluyen los términos de reactivos libres en las sumas declarando constantes β de identidad (unidad) para las cuales los coeficientes estequiométricos son 1 para el reactivo en cuestión y cero para todos los demás reactivos. Por ejemplo, con 2 reactivos, las ecuaciones de balance de masa adoptan la forma más simple.

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\ce {A}}&=\sum _{0,nk}p\beta _{pq}[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\\[4pt]T_{\ce {B}}&=\sum _{0,nk}q\beta _{pq}[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \beta _{10}=\beta _{01}=1}$

De esta forma, todas las especies químicas, incluidos los reactivos libres , se tratan de la misma manera, ya que se han formado a partir de la combinación de reactivos que se especifica mediante los coeficientes estequiométricos.

En un sistema de titulación, las concentraciones analíticas de los reactivos en cada punto de titulación se obtienen a partir de las condiciones iniciales, las concentraciones y los volúmenes de la bureta. La concentración analítica (total) de un reactivo R en el i -ésimo punto de titulación viene dada por

${\displaystyle T_{{\ce {R}}}={\frac {{\ce {R}}_{0}+v_{i}{\ce {[R]}}}{v_{0}+v_{i}}}}$

donde R₀ _es la cantidad inicial de R en el recipiente de titulación, v₀ es el volumen inicial, [R] es la concentración de R en la bureta y vᵢ _{es el volumen añadido. La concentración en} la bureta de un reactivo que no está presente en ella se considera cero.

En general, resolver estas ecuaciones no lineales representa un desafío formidable debido al amplio rango de variación de las concentraciones libres. Inicialmente, se deben estimar los valores de las concentraciones libres. Posteriormente, estos valores se refinan, generalmente mediante iteraciones de Newton-Raphson . Se pueden refinar los logaritmos de las concentraciones libres en lugar de las concentraciones libres mismas. El refinamiento de los logaritmos de las concentraciones libres tiene la ventaja adicional de imponer automáticamente una restricción de no negatividad a las concentraciones libres. Una vez calculadas las concentraciones de los reactivos libres, se derivan las concentraciones de los complejos y las constantes de equilibrio.

Cabe señalar que las concentraciones de reactivos libres pueden considerarse parámetros implícitos en el proceso de ajuste de la constante de equilibrio. En este contexto, los valores de las concentraciones libres se ven limitados al imponer que se apliquen las condiciones de balance de masa en todas las etapas del proceso.

El objetivo del proceso de refinamiento es encontrar valores de constante de equilibrio que proporcionen el mejor ajuste a los datos experimentales. Esto generalmente se logra minimizando una función objetivo , U , mediante el método de mínimos cuadrados no lineales . Primero, los residuos se definen como

${\displaystyle r_{i}=y_{i}^{\text{obs}}-y_{i}^{\text{calc}}}$

Entonces, la función objetivo más general viene dada por

${\displaystyle U=\sum _{i}\sum _{j}r_{i}W_{ij}r_{j}\,}$

La matriz de ponderaciones, W , debería ser, idealmente, la inversa de la matriz de varianza-covarianza de las observaciones. Es raro que esto se conozca. Sin embargo, cuando se conoce, el valor esperado de U es uno, lo que significa que los datos se ajustan dentro del error experimental . La mayoría de las veces solo se conocen los elementos diagonales, en cuyo caso la función objetivo se simplifica a

${\displaystyle U=\sum _{i}W_{ii}r_{i}^{2}}$

con W _ij = 0 cuando j ≠ i . A menudo se utilizan pesos unitarios, W _ii = 1 , pero, en ese caso, el valor esperado de U es la raíz cuadrática media de los errores experimentales.

La minimización se puede realizar utilizando el método de Gauss-Newton . En primer lugar, la función objetivo se linealiza aproximándola como una expansión en serie de Taylor de primer orden alrededor de un conjunto de parámetros iniciales, p .

${\displaystyle U=U^{0}+\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial p_{i}}}\delta p_{i}}$

Los incrementos δ p _i se suman a los parámetros iniciales correspondientes de tal manera que U sea menor que U ⁰ . En el mínimo las derivadas ⁠ ∂ U / ∂ p _i ⁠ , que están simplemente relacionadas con los elementos de la matriz jacobiana , J

${\displaystyle J_{jk}={\frac {\partial y_{j}^{\mathrm {calc} }}{\partial p_{k}}}}$

donde p _k es el k -ésimo parámetro del refinamiento, son iguales a cero. Una o más constantes de equilibrio pueden ser parámetros del refinamiento. Sin embargo, las cantidades medidas (ver arriba) representadas por y no se expresan en términos de las constantes de equilibrio, sino en términos de las concentraciones de las especies, que son funciones implícitas de estos parámetros. Por lo tanto, los elementos jacobianos deben obtenerse mediante diferenciación implícita .

Los incrementos de los parámetros δ p se calculan resolviendo las ecuaciones normales , derivadas de las condiciones de que ⁠ ∂ U / ∂ p ⁠ = 0 en el mínimo.

${\displaystyle {\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)\delta p=J^{\mathrm {T} }Wr}}$

Los incrementos δ p se suman iterativamente a los parámetros.

${\displaystyle \mathbf {p} ^{n+1}=\mathbf {p} ^{n}+\delta \mathbf {p} }$

donde n es el número de iteración. Las concentraciones de las especies y los valores de y ^calc se recalculan en cada punto de datos. Las iteraciones continúan hasta que no se logra una reducción significativa de U , es decir, hasta que se cumple un criterio de convergencia. Sin embargo, si los parámetros actualizados no resultan en una disminución de la función objetivo, es decir, si se produce una divergencia, se debe modificar el cálculo del incremento. La modificación más simple consiste en utilizar una fracción, f , del incremento calculado, lo que se conoce como recorte por desplazamiento.

${\displaystyle \mathbf {p} ^{n+1}=\mathbf {p} ^{n}+f\mathbf {\delta p} }$

En este caso, la dirección del vector de desplazamiento, δ p , no cambia. Por otro lado, con el algoritmo de Levenberg-Marquardt más potente, el vector de desplazamiento se rota hacia la dirección de descenso más pronunciado , modificando las ecuaciones normales,

${\displaystyle \mathbf {\left(J^{\mathrm {T} }WJ+\lambda I\right)\delta p=J^{\mathrm {T} }Wr} }$

donde λ es el parámetro de Marquardt e I es una matriz identidad. Se han propuesto otros métodos para manejar la divergencia. ^{[ 6 ]}

Surge un problema particular con los datos de RMN y espectrofotometría. Para estos últimos, la magnitud observada es la absorbancia, A , y la ley de Beer-Lambert se puede escribir como

${\displaystyle A_{\lambda }=l\sum (\varepsilon _{pq..})_{\lambda }c_{pq..}}$

Se puede observar que, suponiendo que se conocen las concentraciones, c, que la absorbancia, A , a una longitud de onda dada,${\displaystyle \lambda }$y longitud del camino${\displaystyle l}$, es una función lineal de las absortividades molares, ε . Con una  longitud de trayectoria de 1 cm, en notación matricial

${\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {C} \,}$

Existen dos enfoques para el cálculo de las absortividades molares desconocidas.

(1) Los valores ε se consideran parámetros de la minimización y el jacobiano se construye sobre esa base. Sin embargo, los valores ε mismos se calculan en cada paso del refinamiento mediante mínimos cuadrados lineales:

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {\left(C^{\mathrm {T} }C\right)^{-1}C^{\mathrm {T} }A} }$

utilizando los valores refinados de las constantes de equilibrio para obtener la especiación. La matriz

${\displaystyle \mathbf {\left(C^{T}C\right)^{-1}C^{T}} }$

es un ejemplo de pseudoinversa .

Golub y Pereyra ^{[ 7 ]} mostraron cómo se puede diferenciar la pseudoinversa de manera que los incrementos de parámetros tanto para las absortividades molares como para las constantes de equilibrio se puedan calcular resolviendo las ecuaciones normales.

(2) La ley Beer-Lambert está escrita como

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} _{\lambda }=\mathbf {A} _{\lambda }^{-1}\mathbf {C} \,}$

Las absorbancias molares desconocidas de todas las especies "coloreadas" se obtienen mediante el método no iterativo de mínimos cuadrados lineales, una longitud de onda a la vez. Los cálculos se realizan una vez por cada ciclo de refinamiento, utilizando los valores de la constante de estabilidad obtenidos en dicho ciclo para calcular los valores de concentración de las especies en la matriz.${\displaystyle \mathbf {C} }$.

Una vez completado el refinamiento, se deben revisar los resultados para verificar que el modelo elegido sea aceptable. En general, un modelo es aceptable cuando los datos se ajustan dentro del margen de error experimental, pero no existe un único criterio para realizar esta evaluación. Se deben considerar los siguientes aspectos.

Distribución de residuos

En el mínimo de U el sistema puede aproximarse a uno lineal, los residuos en el caso de pesos unitarios están relacionados con las observaciones por

${\displaystyle \mathbf {r=y^{\mathrm {obs} }-J\left(J^{\mathrm {T} }T\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }y^{\mathrm {obs} }} }$

La matriz simétrica e idempotente J ( J ^T T ) ⁻¹ J se conoce en la literatura estadística como la matriz sombrero , H . Por lo tanto,

${\displaystyle \mathbf {r=\left(I-H\right)y^{\mathrm {obs} }} }$

y

${\displaystyle \mathbf {M^{r}=\left(I-H\right)M^{y}\left(I-H\right)} }$

donde I es la matriz identidad y M ^r y M ^y son las matrices de varianza-covarianza de los residuos y las observaciones, respectivamente. Esto demuestra que, aunque las observaciones no estén correlacionadas, los residuos siempre lo están.

El diagrama de la derecha muestra el resultado del refinamiento de las constantes de estabilidad de _{Ni(Gly)⁺, Ni(Gly)₂ y Ni(Gly)⁻³} ( donde ^GlyH = _glicina ) . ^Los valores observados se muestran con rombos azules y las concentraciones de las especies, como porcentaje del níquel total, se superponen. Los residuos se muestran en el recuadro inferior. Estos residuos no se distribuyen de forma tan aleatoria como cabría esperar. Esto se debe a la variación de los potenciales de unión líquida y otros efectos en las interfaces vidrio/líquido. Dichos efectos son muy lentos en comparación con la velocidad a la que se establece el equilibrio.

En la cooperatividad, la unión inicial del ligando afecta la afinidad del huésped por ligandos subsiguientes. En la cooperatividad positiva, el primer evento de unión aumenta la afinidad del huésped por otro ligando. Ejemplos de cooperatividad positiva y negativa son la hemoglobina y el receptor de aspartato, respectivamente. ^{[ 10 ]}

Se han estudiado las propiedades termodinámicas de la cooperatividad con el fin de definir parámetros matemáticos que distingan la cooperatividad positiva de la negativa. La ecuación tradicional de la energía libre de Gibbs establece:${\displaystyle \Delta G=\Delta H-T\Delta S\ }$Sin embargo, para cuantificar la cooperatividad en un sistema huésped-anfitrión, es necesario considerar la energía de enlace. El esquema de la derecha muestra el enlace de A, el enlace de B, el enlace cooperativo positivo de A-B y, por último, el enlace cooperativo negativo de A-B. Por lo tanto, una forma alternativa de la ecuación de la energía libre de Gibbs sería

${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }=\Delta G_{A}^{\circ }+\Delta G_{B}^{\circ }-\Delta G_{AB}^{\circ }}$

${\displaystyle \Delta H_{S}^{\circ }=\Delta H_{A}^{\circ }+\Delta H_{B}^{\circ }-\Delta H_{AB}^{\circ }}$

${\displaystyle \ T\Delta G_{S}^{\circ }=T\Delta H_{A}^{\circ }+T\Delta H_{B}^{\circ }-T\Delta S_{AB}^{\circ }}$

dónde:

${\displaystyle \Delta G_{A}^{\circ }}$= energía libre de enlace A

${\displaystyle \Delta G_{B}^{\circ }}$= energía libre de enlace B

${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$= energía libre de enlace para A y B unidos

${\displaystyle \Delta G_{AB}^{\circ }}$= suma de las energías libres de enlace

Se considera que si${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$más que la suma de${\displaystyle \Delta G_{A}^{\circ }}$y${\displaystyle \Delta G_{B}^{\circ }}$, es positivamente cooperativo. Si${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$es menor, entonces es cooperativa negativa. ^{[ 11 ]} La química huésped-anfitrión no se limita a las interacciones receptor-ligando. También se demuestra en sistemas de pares iónicos. Dichas interacciones se estudian en un medio acuoso utilizando anfitriones organometálicos sintéticos y moléculas huésped orgánicas. Por ejemplo, un receptor policatiónico que contiene cobre (el anfitrión) se coordina con moléculas como tetracarboxilatos, tricarbalato, aspartato y acetato (los huéspedes). Este estudio ilustra que la entropía , en lugar de la entalpía, determina la energía de enlace del sistema que conduce a la cooperatividad negativa. El gran cambio en la entropía se origina por el desplazamiento de las moléculas de disolvente que rodean al ligando y al receptor. Cuando múltiples acetatos se unen al receptor, libera más moléculas de agua al entorno que un tetracarboxilato. Esto condujo a una disminución en la energía libre, lo que implica que el sistema está cooperando negativamente. ^{[ 12 ]} En un estudio similar, utilizando guanidinio y Cu(II) y huéspedes policarboxilato, se demuestra que la cooperatividad positiva está determinada en gran medida por la entalpía. ^{[ 13 ]} Además de los estudios termodinámicos, la química huésped-anfitrión también tiene aplicaciones biológicas.