Desviación de un conjunto parcialmente ordenado

En matemáticas de teoría del orden , la desviación de un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un número ordinal que mide su complejidad . Un poset también se conoce como conjunto parcialmente ordenado.

La desviación de un conjunto parcialmente ordenado se utiliza para definir la dimensión de Krull de un módulo sobre un anillo como la desviación de su conjunto parcialmente ordenado de submódulos.

Se declara que un poset trivial (aquel en el que no hay dos elementos distintos comparables) tiene desviación.${\displaystyle -\infty }$Un conjunto parcialmente ordenado no trivial que satisface la condición de cadena descendente se denomina de desviación 0. Por inducción, se dice que un conjunto parcialmente ordenado tiene una desviación máxima α (para un ordinal α) si para toda cadena descendente de elementos a ₀ > a ₁ >... todos los conjuntos parcialmente ordenados de elementos entre a _n y a _{n +1,} salvo un número finito , tienen una desviación menor que α. La desviación (si existe) es el valor mínimo de α para el cual esto se cumple.

No todos los conjuntos parcialmente ordenados tienen una desviación. Las siguientes condiciones sobre un conjunto parcialmente ordenado son equivalentes:

• El poset tiene una desviación
• El poset opuesto tiene una desviación
• El conjunto parcialmente ordenado no contiene un subconjunto isomorfo al orden de los números racionales (con su orden numérico estándar).

El conjunto parcialmente ordenado de enteros positivos tiene desviación 0: toda cadena descendente es finita, por lo que la condición que define la desviación es trivialmente verdadera . Sin embargo, su conjunto parcialmente ordenado opuesto tiene desviación 1.

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y consideremos el conjunto parcialmente ordenado de ideales del anillo de polinomios k[x] en una variable. Dado que la desviación de este conjunto parcialmente ordenado es la dimensión de Krull del anillo, sabemos que debe ser 1. Esto corresponde al hecho de que k[x] no tiene la condición de cadena descendente (por lo que la desviación es mayor que cero), pero en cualquier cadena descendente, los elementos consecutivos están "cerca". Por ejemplo, tomemos la cadena descendente de ideales.${\displaystyle (x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...}$- esta es una cadena descendente infinita, pero para cualesquiera dos términos consecutivos, digamos${\displaystyle (x^{n})}$y${\displaystyle (x^{n+1})}$, no hay ninguna cadena descendente infinita de ideales de k[x] contenida entre estos términos.

Ampliando este ejemplo, consideremos el anillo de polinomios en dos variables, k[x,y] , que tiene dimensión de Krull 2. Tomemos la cadena descendente${\displaystyle (x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...}$Dados dos términos adyacentes cualesquiera en esta cadena,${\displaystyle (x^{n})}$y${\displaystyle (x^{n+1})}$, existe una cadena descendente infinita${\displaystyle (x^{n}y,x^{n+1})\supset (x^{n}y^{2},x^{n+1})\supset (x^{n}y^{3},x^{n+1})\supset ...}$Así, podemos encontrar una cadena descendente tal que entre dos términos adyacentes cualesquiera exista otra cadena descendente infinita; podemos «anidar» cadenas descendentes hasta dos niveles de profundidad. Extendiendo esto, es fácil ver que en el anillo de polinomios en n variables, es posible anidar cadenas descendentes hasta n niveles de profundidad y no más. Esto es esencialmente lo que significa que el conjunto parcialmente ordenado de ideales tenga desviación n .