Curva del diablo

En geometría , una curva del diablo , también conocida como el Diablo en Dos Palos , es una curva definida en el plano cartesiano por una ecuación de la forma ^{[ 1 ].}

$${\displaystyle y^{4}-b^{2}y^{2}=x^{4}-a^{2}x^{2}}$$es decir, una función cuártica, en términos de x e y.

La ecuación polar de esta curva tiene la forma

$${\displaystyle r={\sqrt {\frac {b^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {b^{2}-a^{2}\cot ^{2}\theta }{1-\cot ^{2}\theta }}}}$$

Las curvas del diablo fueron descubiertas en 1750 por Gabriel Cramer , quien las estudió extensamente. ^{[ 2 ]}

El nombre proviene de la forma que adopta su lemniscata central al ser graficada. La forma recibe su nombre del juego de malabarismo diábolo , que a su vez recibió su nombre del Diablo ^{[ 3 ]} y que consiste en dos palos, una cuerda y un accesorio giratorio con forma de lemniscata. ^{[ 4 ]}

Para${\displaystyle |b|>|a|}$, la lemniscata central, a menudo llamada reloj de arena, es horizontal, Para${\displaystyle |b|<|a|}$es vertical. Si${\displaystyle |b|=|a|}$, la forma se convierte en un círculo. El reloj de arena vertical interseca el eje y en${\displaystyle -b,0,b}$El reloj de arena horizontal interseca el eje x en${\displaystyle -a,0,a}$y para los cuatro puntos de inflexión, para este reloj de arena, $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x(a^{2}-2x^{2})}{y(b^{2}-2y^{2})}}=0}$$donación: $${\displaystyle x=+/-{\frac {\sqrt {2}}{2}}a}$$

Área total del reloj de arena horizontal $${\displaystyle \approx 2.8284\int _{0}^{a}{\sqrt {b^{2}-{\sqrt {-4a^{2}x^{2}+b^{4}+4x^{4}}}}}\,dx}$$

Un caso especial de la curva del diablo ocurre en${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {25}{24}}}$donde la curva se denomina curva del motor eléctrico . ^{[ 5 ]} Se define mediante una ecuación de la forma

$${\displaystyle y^{2}(y^{2}-96)=x^{2}(x^{2}-100)}$$

El nombre de este caso especial proviene del parecido de su forma central con las bobinas de alambre que giran debido a las fuerzas ejercidas por los imanes que lo rodean.

• Weisstein, Eric W. "La curva del diablo" . MathWorld .
• Historia de las Matemáticas de MacTutor (Universidad de St. Andrews) – La curva del diablo