Desigualdad diamagnética

En matemáticas y física , la desigualdad diamagnética relaciona la norma de Sobolev del valor absoluto de una sección de un fibrado lineal con su derivada covariante . La desigualdad diamagnética tiene una interpretación física importante: una partícula cargada en un campo magnético tiene más energía en su estado fundamental que en el vacío . ^{[1] [2]}

Para enunciar con precisión la desigualdad, denotemos el espacio de Hilbert usual de funciones integrables al cuadrado y el espacio de Sobolev de funciones integrables al cuadrado con derivadas integrables al cuadrado. Sean funciones medibles en y supongamos que es de valor real, es de valor complejo y . Entonces, para casi cada , en particular, . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f,A_{1},\puntos ,A_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\puntos ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |(\nabla +iA)f(x)|.}$$${\displaystyle |f|\en H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Para esta prueba seguimos a Elliott H. Lieb y Michael Loss . ^[1] A partir de los supuestos, cuando se los considera en el sentido de distribuciones y para casi todos tales que (y si ). Además, Entonces para casi todos tales que . El caso que es similar. ${\displaystyle \partial_{j}|f|\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\partial _{j}f(x)\right)}$$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle \parcial _{j}|f|(x)=0}$${\displaystyle f(x)=0}$$${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}iA_{j}f(x)\right)=\operatorname {Im} (A_{j}f)=0.}$$$${\displaystyle \nabla |f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right)\leq \left|{\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right|=|\mathbf {D} f(x)|}$$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle f(x)=0}$

Sea un fibrado lineal U(1) , y sea una conexión 1-forma para . En esta situación, es de valor real, y la derivada covariante satisface para cada sección . Aquí están los componentes de la conexión trivial para . Si y , entonces para casi cada , se sigue de la desigualdad diamagnética que ${\displaystyle p:L\to \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle \mathbf {D}}$${\displaystyle \mathbf {D} f_ {j}=(\partial _ {j}+iA_ {j}) f}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \parcial _{j}}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\puntos ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |\mathbf {D} f(x)|.}$$

El caso anterior es del mayor interés físico. Lo consideramos como espacio-tiempo de Minkowski . Dado que el grupo de calibración del electromagnetismo es , las formas de conexión 1 para no son más que los cuatro potenciales electromagnéticos válidos en . Si es el tensor electromagnético , entonces el sistema Maxwell – Klein–Gordon sin masa para una sección de son y la energía de este sistema físico es La desigualdad diamagnética garantiza que la energía se minimice en ausencia de electromagnetismo, por lo tanto . ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U(1)}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F=dA}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización L}$$${\displaystyle {\begin{casos}\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=\operatorname {Estoy} (\phi \mathbf {D} _{\nu }\phi )\\\mathbf { D} ^{\mu }\mathbf {D} _ {\mu }\phi =0\end{casos}}}$$$${\displaystyle {\frac {||F(t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}+{\frac {||\mathbf {D} \phi (t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}.}$$${\estilo de visualización A=0}$

• Diamagnetismo  – Propiedad magnética de los materiales ordinarios