Prueba de Dickey-Fuller

En estadística , la prueba de Dickey-Fuller contrasta la hipótesis nula de que existe una raíz unitaria en un modelo de series temporales autorregresivas (AR). La hipótesis alternativa varía según la versión de la prueba utilizada, pero suele ser estacionariedad o estacionariedad de tendencia . La prueba recibe su nombre de los estadísticos David Dickey y Wayne Fuller , quienes la desarrollaron en 1979. ^{[ 1 ]}

Un modelo AR simple es

${\displaystyle y_{t}=\rho y_{t-1}+u_{t}\,}$

dónde${\displaystyle y_{t}}$es la variable de interés,${\displaystyle t}$es el índice de tiempo,${\displaystyle \rho }$es un coeficiente, y${\displaystyle u_{t}}$es el término de error (se supone que es ruido blanco ). Hay una raíz unitaria presente si${\displaystyle \rho =1}$En este caso, el modelo no sería estacionario.

El modelo de regresión se puede escribir como

${\displaystyle \Delta y_{t}=(\rho -1)y_{t-1}+u_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

dónde${\displaystyle \Delta }$es el operador de primera diferencia y${\displaystyle \delta \equiv \rho -1}$Este modelo se puede estimar y probar si existe una raíz unitaria es equivalente a probar${\displaystyle \delta =0}$Dado que la prueba se realiza sobre el término residual en lugar de sobre los datos brutos, no es posible utilizar la distribución t estándar para proporcionar valores críticos. Por lo tanto, esta estadística${\displaystyle t}$tiene una distribución específica conocida simplemente como la tabla de Dickey-Fuller .

Existen tres versiones principales de la prueba:

1. Prueba de raíz unitaria:

${\displaystyle \Delta y_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

2. Prueba para detectar una raíz unitaria con constante:

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

3. Prueba de raíz unitaria con tendencia temporal constante y determinista:

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+a_{1}t+\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

Cada versión de la prueba tiene su propio valor crítico que depende del tamaño de la muestra. En cada caso, la hipótesis nula es que hay una raíz unitaria,${\displaystyle \delta =0}$. Las pruebas tienen un bajo poder estadístico , ya que a menudo no pueden distinguir entre verdaderos procesos de raíz unitaria (${\displaystyle \delta =0}$) y procesos cercanos a la raíz unitaria (${\displaystyle \delta }$es cercano a cero). Esto se denomina el problema de la "equivalencia de observación cercana".

La intuición detrás de la prueba es la siguiente. Si la serie${\displaystyle y}$Si una serie es estacionaria (o estacionaria en tendencia ), tiende a regresar a una media constante (o con tendencia determinista). Por lo tanto, los valores grandes tenderán a ir seguidos de valores más pequeños (cambios negativos), y los valores pequeños de valores más grandes (cambios positivos). En consecuencia, el nivel de la serie será un predictor significativo del cambio del siguiente período y tendrá un coeficiente negativo. Si, por otro lado, la serie está integrada, los cambios positivos y negativos ocurrirán con probabilidades que no dependen del nivel actual de la serie; en un paseo aleatorio , el punto en el que te encuentras ahora no afecta la dirección que tomarás a continuación.

Es notable que

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+u_{t}\,}$

puede ser reescrito como

${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{i=1}^{t}u_{i}+a_{0}t}$

con una tendencia determinista proveniente de${\displaystyle a_{0}t}$y un término de intersección estocástica proveniente de${\displaystyle y_{0}+\sum _{i=1}^{t}u_{i}}$, lo que da como resultado lo que se conoce como una tendencia estocástica . ^{[ 2 ]}

También existe una extensión de la prueba de Dickey-Fuller (DF) llamada prueba de Dickey-Fuller aumentada (ADF), que elimina todos los efectos estructurales (autocorrelación) en la serie temporal y luego realiza las pruebas utilizando el mismo procedimiento.

Cuál de las tres versiones principales de la prueba debe usarse no es un asunto menor. La decisión es importante para el tamaño de la prueba de raíz unitaria (la probabilidad de rechazar la hipótesis nula de una raíz unitaria cuando existe) y la potencia de la prueba de raíz unitaria (la probabilidad de rechazar la hipótesis nula de una raíz unitaria cuando no existe). La exclusión inapropiada del término de tendencia temporal determinista conduce a un sesgo en la estimación del coeficiente para δ , lo que lleva a que el tamaño real de la prueba de raíz unitaria no coincida con el informado. Si el término de tendencia temporal se excluye inapropiadamente con la${\displaystyle a_{0}}$Si se estima el término, la potencia de la prueba de raíz unitaria puede reducirse sustancialmente, ya que la tendencia puede capturarse mediante el modelo de paseo aleatorio con deriva . ^{[ 3 ]} Por otro lado, la inclusión inapropiada del término de la intersección o de la tendencia temporal reduce la potencia de la prueba de raíz unitaria, y a veces esa reducción puede ser sustancial.

El uso de conocimiento previo sobre si se debe incluir la intersección y la tendencia temporal determinista es ideal, pero no siempre posible. Cuando dicho conocimiento previo no está disponible, se han sugerido varias estrategias de prueba (series de pruebas ordenadas), por ejemplo, por Dolado, Jenkinson y Sosvilla-Rivero (1990) ^{[ 4 ]} y por Enders (2004), a menudo con la extensión ADF para eliminar la autocorrelación. Elder y Kennedy (2001) presentan una estrategia de prueba simple que evita las pruebas dobles y triples para la raíz unitaria que pueden ocurrir con otras estrategias de prueba, y discuten cómo usar conocimiento previo sobre la existencia o no de crecimiento (o contracción) a largo plazo en y . ^{[ 5 ]} Hacker y Hatemi-J (2010) proporcionan resultados de simulación sobre estos asuntos, ^{[ 6 ]} incluyendo simulaciones que cubren las estrategias de prueba de raíz unitaria de Enders (2004) y Elder y Kennedy (2001). Los resultados de la simulación se presentan en Hacker (2010), los cuales indican que el uso de un criterio de información como el criterio de información de Schwarz puede ser útil para determinar la raíz unitaria y el estado de tendencia dentro de un marco de Dickey-Fuller. ^{[ 7 ]}

• Prueba KPSS
• Prueba de Phillips-Perron

• Enders, Walter (2010). Series temporales econométricas aplicadas (Tercera  ed.). Nueva York: Wiley. pp. 206–215 . ISBN  978-0470-50539-7.
• Hatanaka, Michio (1996). Econometría basada en series temporales: raíces unitarias y cointegración . Nueva York: Oxford University Press. pp. 48–49 . ISBN  978-0-19-877353-5.

• Tablas estadísticas para pruebas de raíz unitaria – Tabla de Dickey-Fuller
• Cómo realizar una prueba de Dickey-Fuller usando Excel