La conjetura de Dickson

En teoría de números , la conjetura de Dickson es la afirmación de que para un conjunto finito de formas lineales${\displaystyle a_{1}+b_{1}n,a_{2}+b_{2}n,\dots ,a_{k}+b_{k}n}$con cada uno${\displaystyle b_{i}\geq 1}$⁠ , existen infinitos números enteros positivos${\displaystyle n}$para los cuales todos son primos , a menos que exista una condición de congruencia que lo impida. ^{[ 1 ]} La conjetura lleva el nombre de Leonard Dickson , quien la propuso por primera vez en 1904. ^{[ 2 ]}

El caso${\displaystyle k=1}$es el teorema de Dirichlet . Otros dos casos especiales son conjeturas bien conocidas: que hay infinitos primos gemelos ( ⁠${\displaystyle n}$y​${\displaystyle n+2}$son primos), y que hay infinitos primos de Sophie Germain ( ⁠${\displaystyle n}$y​${\displaystyle 2n+1}$son primos).

Dado${\displaystyle n}$polinomios con grados positivos y coeficientes enteros ( ⁠${\displaystyle n}$( puede ser cualquier número natural) que satisfagan cada una las tres condiciones de la conjetura de Bunyakovsky , y para cualquier número primo${\displaystyle p}$hay un número entero${\displaystyle x}$de tal manera que los valores de todos${\displaystyle n}$polinomios en${\displaystyle x}$no son divisibles por${\displaystyle p}$⁠ , entonces hay infinitos enteros positivos${\displaystyle x}$de tal manera que todos los valores de estos${\displaystyle n}$polinomios en${\displaystyle x}$son primos. Por ejemplo, si la conjetura es cierta, entonces hay infinitos enteros positivos.${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle x^{2}+1}$,​​${\displaystyle 3x-1}$y​${\displaystyle x^{2}+x+41}$son todos primos. Cuando todos los polinomios tienen grado 1, esta es la conjetura original de Dickson. Esta generalización es equivalente a la conjetura generalizada de Bunyakovsky y a la hipótesis H de Schinzel .

• Triplete primo
• Teorema de Green-Tao
• Primera conjetura de Hardy-Littlewood
• constelación principal
• Números primos en progresión aritmética

• Dickson, LE ( 1904), "Una nueva extensión del teorema de Dirichlet sobre números primos" (PDF) , Messenger of Mathematics , 33 : 155–161
• Ribenboim, Paulo (1996) [1988], El nuevo libro de registros de números primos (3.ª  ed.), Springer Nueva York, ISBN 978-0-387-94457-9, MR 1377060