Diffeología

En matemáticas , una difeología sobre un conjunto generaliza el concepto de atlas suave de una variedad diferenciable , al declarar únicamente lo que constituye las "parametrizaciones suaves" en el conjunto. Un espacio difeológico es un conjunto dotado de una difeología. Muchas de las herramientas estándar de la geometría diferencial se extienden a los espacios difeológicos, que, además de las variedades, incluyen cocientes arbitrarios de variedades, subconjuntos arbitrarios de variedades y espacios de aplicaciones entre variedades.

El cálculo diferencial en , o, más generalmente, en espacios vectoriales de dimensión finita , es uno de los logros más importantes de las matemáticas modernas. Fundamental para sus definiciones y teoremas básicos es la estructura lineal del espacio subyacente. ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El campo de la geometría diferencial establece y estudia la extensión del cálculo diferencial clásico a espacios no lineales. Esta extensión es posible gracias a la definición de una variedad diferenciable , que también constituye el punto de partida para los espacios difeológicos.

Una variedad suave de dimensión es un conjunto equipado con un atlas suave maximal , que consta de funciones inyectivas, llamadas cartas , de la forma , donde es un subconjunto abierto de , que satisface algunas relaciones de compatibilidad mutua. Las cartas de una variedad realizan dos funciones distintas, que a menudo se sincretizan: ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi :U\to M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Dictan la estructura local de la variedad. El diagrama identifica su imagen con su dominio . Esto es conveniente porque este último es simplemente un subconjunto abierto de un espacio euclidiano .${\displaystyle \phi :U\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$
• Definen la clase de aplicaciones suaves entre variedades. Estas son las aplicaciones a las que se extiende el cálculo diferencial. En particular, las cartas determinan funciones suaves (aplicaciones suaves ), curvas suaves (aplicaciones suaves ), homotopías suaves (aplicaciones suaves ), etc.${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \to M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to M}$

Una difeología generaliza la estructura de una variedad diferenciable al abandonar el primer requisito para un atlas, a saber, que los mapas proporcionen un modelo local del espacio, al tiempo que conserva la capacidad de analizar aplicaciones diferenciables en el espacio. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Un espacio difeológico es un conjunto dotado de una difeología : una colección de aplicaciones cuyos miembros se denominan diagramas , que satisface ciertos axiomas. No es necesario que los diagramas sean inyectivos, y pueden (de hecho, deben) tener como dominios los subconjuntos abiertos de espacios euclidianos arbitrarios. ${\displaystyle X}$$${\displaystyle \{p:U\to X\mid U{\text{ es un subconjunto abierto de }}\mathbb {R} ^{n},{\text{ y }}n\geq 0\},}$$

Una variedad diferenciable puede considerarse un espacio difeológico que es localmente difeomorfo a . En general, si bien no proporciona modelos locales para el espacio, los axiomas de una difeología aseguran que los gráficos inducen una noción coherente de funciones diferenciables, curvas diferenciables, homotopías diferenciables, etc. Por lo tanto, la difeología es adecuada para tratar objetos más generales que las variedades. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sean y variedades diferenciables. Una homotopía diferenciable de aplicaciones es una aplicación diferenciable . Para cada , la aplicación es diferenciable, y la intuición detrás de una homotopía diferenciable es que es una curva diferenciable que entra en el espacio de funciones diferenciables que conectan, por ejemplo, y . Pero no es una variedad diferenciable de dimensión finita, por lo que formalmente aún no podemos hablar de curvas diferenciables que entren en ella. ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle H:\mathbb {R} \times M\to N}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle H_{t}:=H(t,\cdot ):M\to N}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,N)}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,N)}$

Por otro lado, la colección de mapas es una difeología en . Con esta estructura, las curvas suaves (una noción que ahora está definida rigurosamente) corresponden precisamente a las homotopías suaves. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle \{p:U\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,N)\mid {\text{ la aplicación }}U\times M\to N,\ (r,x)\mapsto p(r)(x){\text{ es suave}}\}}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,N)}$

El concepto de difeología fue introducido por primera vez por Jean-Marie Souriau en la década de 1980 bajo el nombre de espace différentiel. ^{[ 9 ] [ 10 ]} La aplicación que motivó a Souriau para la difeología fue manejar uniformemente los grupos de dimensión infinita que surgían de su trabajo en cuantización geométrica . Así, la noción de grupo difeológico precedió al concepto más general de espacio difeológico. El programa difeológico de Souriau fue retomado por sus estudiantes, en particular Paul Donato ^{[ 11 ]} y Patrick Iglesias-Zemmour , ^{[ 12 ]} quienes completaron los primeros trabajos pioneros en el campo.

En la década de 1970, Kuo-Tsaï Chen (陳國才, Chen Guocai ) introdujo una estructura similar a la difeología para formalizar ciertos cálculos con integrales de trayectoria. La definición de Chen utilizaba conjuntos convexos en lugar de conjuntos abiertos para los dominios de las gráficas. ^{[ 13 ]} La similitud entre las estructuras difeológicas y las de "Chen" se puede precisar al considerarlas como haces concretos sobre el sitio concreto apropiado. ^{[ 14 ]}

Una difeología en un conjunto consiste en una colección de aplicaciones, llamadas gráficos o parametrizaciones, de subconjuntos abiertos de (para todo ) a tales que se cumplen los siguientes axiomas: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle X}$

• Axioma de cobertura : todo mapa constante es un gráfico.
• Axioma de localidad : para un mapa dado , si cada punto en tiene un vecindario tal que es una parcela, entonces él mismo es una parcela.${\displaystyle p:U\to X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V\subset U}$${\displaystyle p|_{V}}$${\displaystyle p}$
• Axioma de compatibilidad suave : si es un gráfico y es una función suave de un subconjunto abierto de algún en el dominio de , entonces el compuesto es un gráfico.${\displaystyle p}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\circ F}$

Nótese que los dominios de diferentes gráficos pueden ser subconjuntos de para diferentes valores de ; en particular, cualquier difeología contiene los elementos de su conjunto subyacente como los gráficos con . Un conjunto junto con una difeología se denomina espacio difeológico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$

De forma más abstracta, un espacio difeológico es un haz concreto en el sitio de subconjuntos abiertos de , para todo , y cubiertas abiertas . ^{[ 14 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$

Una aplicación entre espacios difeológicos se denomina suave si y solo si su composición con cualquier representación gráfica del primer espacio es una representación gráfica del segundo espacio. Se denomina difeomorfismo si es suave, biyectiva y su inversa también es suave. Al dotar a los subconjuntos abiertos de los espacios euclidianos de su difeología estándar (tal como se define en la siguiente sección), las representaciones gráficas en un espacio difeológico son precisamente las aplicaciones suaves de a . ${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

Los espacios difeológicos constituyen los objetos de una categoría , denotada por , cuyos morfismos son aplicaciones suaves. La categoría es cerrada bajo muchas operaciones categóricas: por ejemplo, es cartesiana cerrada , completa y cocompleta , y más generalmente es un cuasitopos . ^{[ 14 ]}${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$

Cualquier espacio difeológico es un espacio topológico cuando está equipado con la topología D : ^{[ 12 ]} la topología final tal que todos los gráficos son continuos (con respecto a la topología euclidiana en ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En otras palabras, un subconjunto es abierto si y solo si es abierto para cualquier parcela en . En realidad, la topología D está completamente determinada por curvas suaves , es decir, un subconjunto es abierto si y solo si es abierto para cualquier mapa suave . ^{[ 15 ]} La topología D es automáticamente conectada por caminos localmente ^{[ 16 ]}${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle c^{-1}(U)}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \to X}$

Un mapeo suave entre espacios difeológicos es automáticamente continuo entre sus D-topologías. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, tenemos el functor , de la categoría de espacios difeológicos a la categoría de espacios topológicos, que asigna a un espacio difeológico su D-topología. Este functor se realiza como una categoría concreta sobre . ${\displaystyle D:{\mathsf {Dflg}}\to {\mathsf {Top}}}$${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$

Se puede desarrollar un cálculo de Cartan-De Rham en el marco de las difeologías, así como una adaptación adecuada de las nociones de fibrados , homotopía , etc. ^{[ 6 ]} Sin embargo, no existe una definición canónica de espacios tangentes y fibrados tangentes para espacios difeológicos. ^{[ 17 ]}

Cualquier conjunto contiene al menos dos difeologías:

• la difeología gruesa (o trivial, o indiscreta), que consiste en cada aplicación al conjunto. Esta es la difeología más grande posible. La topología D correspondiente es la topología trivial .
• la difeología discreta (o fina), que consiste en los mapas localmente constantes en el conjunto. Esta es la difeología más pequeña posible. La topología D correspondiente es la topología discreta .

Cualquier espacio topológico puede dotarse de la difeología continua , cuyas gráficas son los mapas continuos .

The Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$admits several diffeologies beyond those listed above.

• The standard diffeology on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ consists of those maps ${\displaystyle p:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ which are smooth in the usual sense of multivariable calculus.
• The wire (or spaghetti) diffeology on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is the diffeology whose plots factor locally through ${\displaystyle \mathbb {R} }$. More precisely, a map ${\displaystyle p:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ is a plot if and only if for every ${\displaystyle u\in U}$ there is an open neighbourhood ${\displaystyle V\subseteq U}$ of ${\displaystyle u}$ such that ${\displaystyle p|_{V}=q\circ F}$ for two smooth functions ${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle q:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$. This diffeology does not coincide with the standard diffeology on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ when ${\displaystyle n\geq 2}$: for instance, the identity ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}\to X=\mathbb {R} ^{n}}$ is not a plot for the wire diffeology.^[6]
• The previous example can be enlarged to diffeologies whose plots factor locally through ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}}$, yielding the rank-${\displaystyle r}$-restricted diffeology on a smooth manifold ${\displaystyle M}$: a map ${\displaystyle U\to M}$ is a plot if and only if it is smooth and the rank of its differential is less than or equal than ${\displaystyle r}$. For ${\displaystyle r=1}$ one recovers the wire diffeology.^[18]

Diffeological spaces generalize manifolds, but they are far from the only mathematical objects to do so. For instance manifolds with corners, orbifolds, and infinite-dimensional Fréchet manifolds are all well-established alternatives. This subsection makes precise the extent to which these spaces are diffeological.

We view ${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$ as a concrete category over the category of topological spaces ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$ via the D-topology functor ${\displaystyle D:{\mathsf {Dflg}}\to {\mathsf {Top}}}$. If ${\displaystyle U:{\mathsf {C}}\to {\mathsf {Top}}}$ is another concrete category over ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$, we say that a functor ${\displaystyle E:{\mathsf {C}}\to {\mathsf {Dflg}}}$ is an embedding (of concrete categories) if it is injective on objects and faithful, and ${\displaystyle D\circ E=U}$. To specify an embedding, we need only describe it on objects; it is necessarily the identity map on arrows.

We will say that a diffeological space ${\displaystyle X}$ is locally modeled by a collection of diffeological spaces ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ if around every point ${\displaystyle x\in X}$, there is a D-open neighbourhood ${\displaystyle U}$, a D-open subset ${\displaystyle V}$ of some ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$, and a diffeological diffeomorphism ${\displaystyle U\to V}$.^[6][19]

La categoría de variedades diferenciables de dimensión finita (que permite aquellas con componentes conexas de diferentes dimensiones) se incrusta completamente en . La incrustación asigna a una variedad diferenciable la difeología canónica En particular, una aplicación difeológicamente diferenciable entre variedades es diferenciable en el sentido usual, y la D-topología de es la topología original de . La imagen esencial de esta incrustación consiste en aquellos espacios difeológicos que son modelados localmente por la colección , y cuya D-topología es Hausdorff y segundo-contable . ^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \{p:U\to M\mid p{\text{ is smooth in the usual sense}}\}.}$$${\displaystyle y(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{y(\mathbb {R} ^{n})\}}$

La categoría de variedades suaves de dimensión finita con frontera (que permite aquellas con componentes conexas de diferentes dimensiones) se incrusta completamente en . La incrustación se define de forma idéntica al caso suave, excepto que "suave en el sentido usual" se refiere a la definición estándar de aplicaciones suaves entre variedades con frontera. La imagen esencial de esta incrustación consiste en aquellos espacios difeológicos que se modelan localmente mediante la colección , y cuya topología D es Hausdorff y segundo-contable. Lo mismo puede hacerse de forma más general para variedades con esquinas , utilizando la colección . ^{[ 20 ]}${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$${\displaystyle \{y(O)\mid O{\text{ is a half-space}}\}}$${\displaystyle \{y(O)\mid O{\text{ is an orthant}}\}}$

La categoría de variedades de Fréchet se incrusta igualmente por completo en . Una vez más, la incrustación se define de forma idéntica al caso suave, excepto que "suave en el sentido habitual" se refiere a la definición estándar de aplicaciones suaves entre espacios de Fréchet. La imagen esencial de esta incrustación consiste en aquellos espacios difeológicos que se modelan localmente mediante la colección , y cuya topología D es de Hausdorff. ${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$${\displaystyle \{y(E)\mid E{\text{ is a Fréchet space}}\}}$

La incrustación se restringe a una de las categorías de variedades de Banach . Históricamente, el caso de las variedades de Banach fue demostrado primero por Hain, ^{[ 21 ]} y el caso de las variedades de Fréchet fue tratado posteriormente por Losik. ^{[ 22 ] [ 23 ]} La categoría de variedades modeladas en espacios vectoriales convenientes también se incrusta de manera similar en . ^{[ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$

Un orbifold (clásico) es un espacio que se modela localmente mediante cocientes de la forma , donde es un subgrupo finito de transformaciones lineales. Por otro lado, cada modelo es naturalmente un espacio difeológico (con la difeología de cocientes que se discute más adelante), y por lo tanto, los diagramas de orbifold generan una difeología en . Esta difeología está determinada unívocamente por la estructura de orbifold de . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\Gamma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Por el contrario, un espacio difeológico modelado localmente por la colección (y con topología D de Hausdorff) posee una estructura de orbifold clásica que induce la difeología original, donde los difeomorfismos locales son las cartas del orbifold. Dicho espacio se denomina orbifold difeológico. ^{[ 26 ]}${\displaystyle \{\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \}}$

Mientras que los orbifolds difeológicos tienen automáticamente una noción de mapa suave entre ellos (a saber, mapas difeológicamente suaves en ), la noción de un mapa suave entre orbifolds clásicos no está estandarizada. ${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$

Si los orbifolds se consideran pilas diferenciables representadas por grupoides de Lie propios étale , entonces existe un functor desde la 1-categoría subyacente de orbifolds, y mapas de pilas equivalentes entre ellos, a . Su imagen esencial consiste en orbifolds difeológicos, pero el functor no es ni fiel ni completo. ^{[ 27 ]}${\displaystyle {\mathsf {Dflg}}}$

Si a un conjunto se le dan dos difeologías diferentes, su intersección es una difeología en , llamada difeología de intersección , que es más fina que ambas difeologías iniciales. La topología D de la difeología de intersección es más fina que la intersección de las topologías D de las difeologías originales. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Si y son espacios difeológicos, entonces la difeología del producto en el producto cartesiano es la difeología generada por todos los productos de gráficos de y de . Precisamente, un mapa necesariamente tiene la forma para mapas y . El mapa es un gráfico en la difeología del producto si y solo si y son gráficos de y , respectivamente. Esto se generaliza a productos de colecciones arbitrarias de espacios. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p:U\to X\times Y}$${\displaystyle p(u)=(x(u),y(u))}$${\displaystyle x:U\to X}$${\displaystyle y:U\to Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

La topología D de es la topología generada por delta más gruesa que contiene la topología producto de las topologías D de y ; es igual a la topología producto cuando o es localmente compacta , pero puede ser más fina en general. ^{[ 15 ]}${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Dada una aplicación de un conjunto a un espacio difeológico , la difeología de retroceso en consiste en aquellas aplicaciones tales que la composición es una gráfica de . En otras palabras, la difeología de retroceso es la difeología más pequeña en que hace suave. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:U\to X}$${\displaystyle f\circ p}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Si es un subconjunto del espacio difeológico , entonces la difeología del subespacio en es la difeología de retroceso inducida por la inclusión . En este caso, la D-topología de es igual a la topología del subespacio de la D-topología de si es abierto, pero puede ser más fina en general. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

Dada una aplicación del espacio difeológico a un conjunto , la difeología de empuje hacia adelante en es la difeología generada por las composiciones , para gráficos de . En otras palabras, la difeología de empuje hacia adelante es la difeología más pequeña en que hace suave. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\circ p}$${\displaystyle p:U\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$

Si es un espacio difeológico y es una relación de equivalencia en , entonces la difeología cociente en el conjunto cociente es la difeología de empuje directo inducida por la aplicación cociente . La D-topología en es la topología cociente de la D-topología de . Nótese que esta topología puede ser trivial sin que la difeología sea trivial. ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X\to X/{\sim }}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$

Los cocientes suelen dar lugar a difeologías no manifold. Por ejemplo, el conjunto de los números reales es una variedad diferenciable. El cociente , para algún irracional , llamado toro irracional , es un espacio difeológico difeomorfo al cociente del 2-toro regular por una línea de pendiente . Tiene una difeología no trivial, aunque su D-topología es la topología trivial . ^{[ 28 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \alpha }$

La difeología funcional en el conjunto de aplicaciones suaves entre dos espacios difeológicos y es la difeología cuyos gráficos son las aplicaciones tales que es suave con respecto a la difeología producto de . Cuando y son variedades, la D-topología de es la topología localmente conectada por caminos más pequeña que contiene la topología de Whitney . ^{[ 15 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \phi :U\to {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$$${\displaystyle U\times X\to Y,\quad (u,x)\mapsto \phi (u)(x)}$$${\displaystyle U\times X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$${\displaystyle C^{\infty }}$

Tomando la difeología de subespacios de una difeología funcional, se pueden definir difeologías en el espacio de secciones de un haz de fibras , o el espacio de bisecciones de un grupoide de Lie , etc.

Si es una variedad compacta y lisa, y es un fibrado liso sobre , entonces el espacio de secciones lisas del fibrado frecuentemente está equipado con la estructura de una variedad de Fréchet. ^{[ 29 ]} Al incrustar esta variedad de Fréchet en la categoría de espacios difeológicos, la difeología resultante coincide con la difeología de subespacios que hereda de la difeología funcional en . ^{[ 30 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle F\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma (F)}$${\displaystyle \Gamma (F)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,F)}$

De forma análoga a las nociones de inmersiones y sumersiones entre variedades, existen dos clases especiales de morfismos entre espacios difeológicos. Una subducción es una función sobreyectiva entre espacios difeológicos tal que la difeología de es la proyección de la difeología de . De manera similar, una inducción es una función inyectiva entre espacios difeológicos tal que la difeología de es la proyección inversa de la difeología de . Las subducciones e inducciones son automáticamente suaves. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Resulta instructivo considerar el caso en el que y son variedades diferenciables. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• Toda inmersión sobreyectiva es una subducción.${\displaystyle f:X\to Y}$
• Una subducción no tiene por qué ser una inmersión sobreyectiva. Un ejemplo es$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\quad f(x,y):=xy.}$$
• Una inmersión inyectiva no tiene por qué ser una inducción. Un ejemplo es la parametrización de la "figura de ocho",

$${\displaystyle f:\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R^{2}} ,\quad f(t):=(2\cos(t),\sin(2t)).}$$

• Una inducción no tiene por qué ser una inmersión inyectiva. Un ejemplo es la "semicúbica", ^{[ 31 ] [ 32 ]}

$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad f(t):=(t^{2},t^{3}).}$$

En la categoría de espacios difeológicos, las subducciones son precisamente los epimorfismos fuertes , y las inducciones son precisamente los monomorfismos fuertes . ^{[ 18 ]} Un mapa que es a la vez una subducción y una inducción es un difeomorfismo.

• Patrick Iglesias-Zemmour: Diffeología (muchos documentos)
• diffeology.net Centro global sobre difeología y temas relacionados.