Diferencia en las diferencias

La diferencia en diferencias ( DID ^{[ 1 ]} o DD ^{[ 2 ]} ) es una técnica estadística cuasiexperimental utilizada en econometría e investigación cuantitativa en ciencias sociales que intenta imitar un diseño de investigación experimental utilizando datos de estudios observacionales , al estudiar el efecto diferencial de un tratamiento en un "grupo de tratamiento" versus un " grupo de control " en un experimento natural . ^{[ 3 ]} Calcula el efecto de un tratamiento (es decir, una variable explicativa o una variable independiente ) sobre un resultado (es decir, una variable de respuesta o variable dependiente ) al comparar el cambio promedio a lo largo del tiempo en la variable de resultado para el grupo de tratamiento con el cambio promedio a lo largo del tiempo para el grupo de control. Aunque está destinada a mitigar los efectos de factores extraños y el sesgo de selección , dependiendo de cómo se elija el grupo de tratamiento, este método aún puede estar sujeto a ciertos sesgos (por ejemplo, regresión de la media , causalidad inversa y sesgo de variable omitida ).

A diferencia de una estimación de series temporales del efecto del tratamiento en los sujetos (que analiza las diferencias a lo largo del tiempo) o una estimación de sección transversal del efecto del tratamiento (que mide la diferencia entre los grupos de tratamiento y control), la diferencia de diferencias utiliza datos de panel para medir las diferencias, entre el grupo de tratamiento y el grupo de control, de los cambios en la variable de resultado que ocurren a lo largo del tiempo.

La diferencia en diferencias requiere datos medidos de un grupo de tratamiento y un grupo de control en dos o más períodos de tiempo diferentes, específicamente al menos un período de tiempo antes del "tratamiento" y al menos un período de tiempo después del "tratamiento". En el ejemplo que se muestra, el resultado en el grupo de tratamiento está representado por la línea P , y el resultado en el grupo de control está representado por la línea S. La variable de resultado (dependiente) en ambos grupos se mide en el tiempo  1, antes de que cualquiera de los grupos haya recibido el tratamiento (es decir, la variable independiente o explicativa), representada por los puntos P ₁ y S ₁ . El grupo de tratamiento recibe o experimenta el tratamiento y ambos grupos se miden nuevamente en el tiempo  2. No toda la diferencia entre los grupos de tratamiento y control en el tiempo  2 (es decir, la diferencia entre P ₂ y S ₂ ) puede explicarse como un efecto del tratamiento, porque el grupo de tratamiento y el grupo de control no comenzaron en el mismo punto en el tiempo  1. Por lo tanto, DID calcula la diferencia "normal" en la variable de resultado entre los dos grupos (la diferencia que aún existiría si ninguno de los grupos experimentara el tratamiento), representada por la línea punteada Q . (Observe que la pendiente de P ₁ a Q es la misma que la pendiente de S ₁ a S ₂ ). El efecto del tratamiento es la diferencia entre el resultado observado ( P ₂ ) y el resultado "normal" (la diferencia entre P ₂ y Q ).

Consideremos el modelo

${\displaystyle y_{it}~=~\gamma _{s(i)}+\lambda _{t}+\delta I(\dots )+\varepsilon _{it}}$

dónde${\displaystyle y_{it}}$es la variable dependiente para el individuo${\displaystyle i}$y tiempo${\displaystyle t}$,${\displaystyle s(i)}$es el grupo al que${\displaystyle i}$pertenece (es decir, al grupo de tratamiento o al grupo de control), y${\displaystyle I(\dots )}$es una forma abreviada de la variable ficticia igual a 1 cuando el evento descrito en${\displaystyle (\dots )}$es verdadero, y 0 en caso contrario. En el gráfico de tiempo versus${\displaystyle Y}$por grupo,${\displaystyle \gamma _{s}}$es la intersección vertical para la gráfica de${\displaystyle s}$, y${\displaystyle \lambda _{t}}$es la tendencia temporal compartida por ambos grupos según el supuesto de tendencia paralela (ver Supuestos a continuación).${\displaystyle \delta }$es el efecto del tratamiento y${\displaystyle \varepsilon _ {it}}$es el término residual .

Consideremos el promedio de la variable dependiente y los indicadores ficticios por grupo y tiempo:

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{s}&={\text{ número de individuos en el grupo }}s\\{\overline {y}}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}y_{it}\ I(s(i)~=~s),\\{\overline {\gamma }}_{s}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s(i)}\ I(s(i)~=~s)~=~\gamma _{s},\\{\overline {\lambda }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}\ I(s(i)~=~s)~=~\lambda _{t},\\D_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}I(s(i)~=~{\text{ tratamiento, }}t{\text{ en el período posterior}})\ I(s(i)~=~s)~=~I(s~=~{\text{ tratamiento, }}t{\text{ en el período posterior}}),\\{\overline {\varepsilon }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{it}\ I(s(i)~=~s),\end{aligned}}}$

y supongamos, por simplicidad, que${\displaystyle s=1,2}$y${\displaystyle t=1,2}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle D_{st}}$No es aleatorio; simplemente codifica cómo se etiquetan los grupos y los períodos.

${\displaystyle {\begin{aligned}&({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\\[6pt]={}&{\big [}(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\varepsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{12}){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\varepsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\varepsilon }}_{22}){\big ]}\\[6pt]={}&\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\varepsilon }}_{11}-{\overline {\varepsilon }}_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{22}-{\overline {\varepsilon }}_{21}.\end{aligned}}}$

La estricta suposición de exogeneidad implica entonces que

${\displaystyle \operatorname {E} \left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21}).}$

Sin pérdida de generalidad , supongamos que${\displaystyle s=2}$es el grupo de tratamiento y${\displaystyle t=2}$es el período posterior, entonces${\displaystyle D_{22}=1}$y${\displaystyle D_{11}=D_{12}=D_{21}=0}$, dando como resultado el estimador DID

${\displaystyle {\hat {\delta }}~=~({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22}),}$

lo cual puede interpretarse como el efecto del tratamiento indicado por${\displaystyle D_{st}}$A continuación se muestra cómo se puede leer este estimador como un coeficiente en una regresión de mínimos cuadrados ordinarios. El modelo descrito en esta sección está sobreparametrizado; para remediarlo, uno de los coeficientes de las variables ficticias se puede establecer en 0, por ejemplo, podemos establecer${\displaystyle \gamma _{1}=0}$.

Todos los supuestos de Gauss-Markov del modelo MCO se aplican igualmente a DID, ya que DID es una versión especial de MCO. Además, DID requiere un supuesto de tendencia paralela . El supuesto de tendencia paralela dice que${\displaystyle \lambda _{2}-\lambda _{1}}$son los mismos en ambos${\displaystyle s=1}$y${\displaystyle s=2}$Dado que la definición formal anterior representa con precisión la realidad, esta suposición se cumple automáticamente. Sin embargo, un modelo con${\displaystyle \lambda _{st}:\lambda _{22}-\lambda _{21}\neq \lambda _{12}-\lambda _{11}}$Puede ser más realista. Para aumentar la probabilidad de que se cumpla el supuesto de tendencias paralelas, a menudo se combina un enfoque de diferencias en diferencias con el emparejamiento . ^{[ 4 ]} Esto implica "emparejar" unidades de "tratamiento" conocidas con unidades de "control" contrafactuales simuladas: unidades característicamente equivalentes que no recibieron tratamiento. Al definir la variable de resultado como una diferencia temporal (cambio en el resultado observado entre los períodos pre y postratamiento) y emparejar múltiples unidades en una muestra grande sobre la base de historias pretratamiento similares, el ATE resultante (es decir, el ATT: efecto promedio del tratamiento para los tratados) proporciona una estimación robusta de diferencias en diferencias de los efectos del tratamiento. Esto cumple dos propósitos estadísticos: primero, condicionado a las covariables pretratamiento, es probable que se cumpla el supuesto de tendencias paralelas; y segundo, este enfoque reduce la dependencia de supuestos de ignorabilidad asociados necesarios para una inferencia válida.

Como se ilustra en la figura, el efecto del tratamiento es la diferencia entre el valor observado de y y el valor que habría tenido y con tendencias paralelas si no se hubiera aplicado el tratamiento. Sin embargo, una limitación del método DID surge cuando, en un grupo, un factor distinto al tratamiento cambia, pero no en el otro, al mismo tiempo que el tratamiento, lo que implica una violación del supuesto de tendencias paralelas.

Para garantizar la precisión de la estimación DID, se supone que la composición de los individuos de los dos grupos permanece invariable a lo largo del tiempo. Al utilizar un modelo DID, se deben considerar y abordar diversos problemas que pueden comprometer los resultados, como la autocorrelación ^{[ 2 ]} y las caídas de Ashenfelter .

El método DID se puede implementar según la tabla que aparece a continuación, donde la celda inferior derecha es el estimador DID.

Realizar un análisis de regresión da el mismo resultado. Consideremos el modelo MCO.

${\displaystyle y~=~\beta _{0}+\beta _{1}T+\beta _{2}S+\beta _{3}(T\cdot S)+\varepsilon }$

dónde${\displaystyle T}$es una variable ficticia para el período, igual a${\displaystyle 1}$cuando${\displaystyle t=2}$, y${\displaystyle S}$es una variable ficticia para la pertenencia al grupo, igual a${\displaystyle 1}$cuando${\displaystyle s=2}$La variable compuesta${\displaystyle (T\cdot S)}$es una variable ficticia que indica cuándo${\displaystyle S=T=1}$Aunque no se muestra rigurosamente aquí, esta es una parametrización adecuada de la definición formal del modelo ; además, resulta que los promedios de grupo y período en esa sección se relacionan con las estimaciones de los parámetros del modelo de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\beta }}_{0}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{1}&={\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{2}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{3}&={\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0){\big ]},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle {\widehat {E}}(\dots \mid \dots )}$representa promedios condicionales calculados sobre la muestra, por ejemplo,${\displaystyle T=1}$es el indicador para el período posterior,${\displaystyle S=0}$es un indicador para el grupo de control. Tenga en cuenta que${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$es una estimación del contrafactual en lugar del impacto del grupo de control. El grupo de control se utiliza a menudo como un sustituto del contrafactual (véase Método de control sintético para una comprensión más profunda de este punto). Por lo tanto,${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$puede interpretarse como el impacto tanto del grupo de control como del contrafactual de la intervención (tratamiento). De manera similar,${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$, debido a la suposición de tendencia paralela, también es el mismo diferencial entre el grupo de tratamiento y el grupo de control en${\displaystyle T=1}$Las descripciones anteriores no deben interpretarse como que implican el efecto (promedio) únicamente del grupo de control, ya que${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$, o solo la diferencia de los grupos de tratamiento y control en el período previo, para${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$. Como en Card y Krueger , a continuación, una primera diferencia (temporal) de la variable de resultado${\displaystyle (\Delta Y_{i}=Y_{i,1}-Y_{i,0})}$elimina la necesidad de la tendencia temporal (es decir,${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$) para formar una estimación insesgada de${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}}$, lo que implica que${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$en realidad no está condicionado al grupo de tratamiento o control. ^{[ 5 ]} De manera consistente, una diferencia entre los grupos de tratamiento y control eliminaría la necesidad de diferenciales de tratamiento (es decir,${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$) para formar una estimación insesgada de${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}}$Este matiz es importante de entender cuando el usuario cree que existen violaciones (débiles) de la tendencia previa paralela o en el caso de violaciones de los supuestos de aproximación contrafactual apropiados dada la existencia de choques no comunes o eventos de confusión . Para ver la relación entre esta notación y la sección anterior, considere como arriba solo una observación por período de tiempo para cada grupo, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)&={\widehat {E}}(y\mid {\text{ after period, control}})\\[3pt]\\&={\frac {{\widehat {E}}(y\ I({\text{ after period, control}}))}{{\widehat {P}}({\text{ after period, control}})}}\\[3pt]\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i,{\text{after}}}I(i{\text{ in control}})}{n_{\text{control}}}}={\overline {y}}_{\text{control, after}}\\[3pt]\\&={\overline {y}}_{\text{12}}\end{aligned}}}$

y así sucesivamente para otros valores de${\displaystyle T}$y${\displaystyle S}$, lo cual es equivalente a

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}~=~(y_{11}-y_{21})-(y_{12}-y_{22}).}$

Pero esta es la expresión para el efecto del tratamiento que se dio en la definición formal y en la tabla anterior.

Las variantes de los marcos de diferencias en diferencias incluyen aquellas para la implementación escalonada del tratamiento, así como un estimador introducido para múltiples períodos de tiempo y otras variaciones por Brantly Callaway y Pedro HC Sant'Anna . ^{[ 6 ]}

El artículo de Card y Krueger sobre el salario mínimo en Nueva Jersey , publicado en 1994, ^{[ 5 ]} se considera uno de los estudios DID más famosos; Card recibió posteriormente el Premio Nobel de Economía de 2021 , en parte por este y otros trabajos relacionados. Card y Krueger compararon el empleo en el sector de la comida rápida en Nueva Jersey y Pensilvania , en febrero de 1992 y en noviembre de 1992, después de que el salario mínimo de Nueva Jersey aumentara de 4,25 $ a 5,05 $ en abril de 1992. Observar un cambio en el empleo solo en Nueva Jersey, antes y después del tratamiento, no controlaría las variables omitidas, como el clima y las condiciones macroeconómicas de la región. Al incluir a Pensilvania como control en un modelo de diferencias en diferencias, cualquier sesgo causado por variables comunes a Nueva Jersey y Pensilvania se controla implícitamente, incluso cuando estas variables no se observan. Suponiendo que Nueva Jersey y Pensilvania tengan tendencias paralelas a lo largo del tiempo, el cambio en el empleo en Pensilvania puede interpretarse como el cambio que Nueva Jersey habría experimentado si no hubiera aumentado el salario mínimo, y viceversa. La evidencia sugiere que el aumento del salario mínimo no provocó una disminución del empleo en Nueva Jersey, contrariamente a lo que sugiere cierta teoría económica. La tabla a continuación muestra las estimaciones de Card y Krueger sobre el efecto del tratamiento en el empleo, medido en FTE (o equivalentes a tiempo completo) . Card y Krueger estiman que el aumento de $0.80 en el salario mínimo en Nueva Jersey condujo a un aumento promedio de 2.75 FTE en el empleo por tienda.

Un ejemplo de aplicación de software de esta investigación se encuentra en el comando -diff- de Stata ^{[ 7 ].}

El marco de diferencias en diferencias (DID) se ha aplicado ampliamente más allá de la economía laboral y los estudios sobre el salario mínimo. En salud pública , el DID se ha utilizado para evaluar el efecto de nuevas directrices médicas o campañas de vacunación comparando regiones antes y después de la implementación de políticas. ^{[ 8 ]} En educación , los métodos DID ayudan a medir el impacto de reformas como cambios en la financiación escolar o el tamaño de las clases. En economía ambiental , se utilizan para evaluar regulaciones sobre contaminación, consumo de energía o política climática. Estas aplicaciones se basan en el supuesto clave de tendencias paralelas, pero cuando se diseñan cuidadosamente, proporcionan a los responsables políticos estimaciones causales sólidas utilizando datos observacionales.

• Diseño de experimentos
• Efecto promedio del tratamiento
• Método de control sintético

• Angrist, JD; Pischke, JS (2008). Econometría casi inofensiva: una guía para empiristas . Princeton University Press. pp. 227–243 . ISBN  978-0-691-12034-8.
• Andrew Baker, Brantly Callaway, Scott Cunningham, Andrew Goodman-Bacon y Pedro HC Sant'Anna. 2025. " Diseños de diferencias en diferencias: una guía práctica " . Journal of Economic Literature .
• Cameron, Arthur C.; Trivedi, Pravin K. (2005). Microeconometría: Métodos y aplicaciones . Cambridge University Press. pp. 768–772 . doi : 10.1017/CBO9780511811241 . ISBN  9780521848053. S2CID 120313863 . 
• Imbens, Guido W.; Wooldridge, Jeffrey M. (2009). "Desarrollos recientes en la econometría de la evaluación de programas" . Journal of Economic Literature . 47 (1): 5– 86. doi : 10.1257/jel.47.1.5 .
• Bakija, Jon; Heim, Bradley (agosto de 2008). "¿Cómo responden las donaciones caritativas a los incentivos y los ingresos? Estimaciones de panel dinámico que tienen en cuenta los cambios predecibles en la tributación" . Documento de trabajo del NBER n . ° 14237. doi : 10.3386/w14237 .
• Conley, T .; Taber, C. (julio de 2005). "Inferencia con 'diferencia en diferencias' con un pequeño número de cambios de política" . Documento de trabajo técnico del NBER n . ° 312. doi : 10.3386/t0312 .

• Estimación de diferencias en diferencias , sitio web de Healthcare Economist