álgebra de diferencias

El álgebra de diferencias es una rama de las matemáticas que estudia las ecuaciones en diferencias (o funcionales ) desde el punto de vista algebraico . Es análoga al álgebra diferencial , pero se centra en ecuaciones en diferencias en lugar de ecuaciones diferenciales . Como disciplina independiente, fue iniciada por Joseph Ritt y su alumno Richard Cohn.

Un anillo de diferencias es un anillo conmutativo.${\displaystyle R}$junto con un endomorfismo de anillo${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$A menudo se asume que${\displaystyle \sigma }$es inyectivo . Cuando${\displaystyle R}$es un campo del que se habla de un campo de diferencias . Un ejemplo clásico de un campo de diferencias es el campo${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$de funciones racionales con el operador de diferencia${\displaystyle \sigma }$dado por${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$El papel de los anillos de diferencias en el álgebra de diferencias es similar al papel de los anillos conmutativos en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica . Un morfismo de anillos de diferencias es un morfismo de anillos que conmuta con${\displaystyle \sigma }$Un álgebra de diferencias sobre un cuerpo de diferencias${\displaystyle K}$es un anillo de diferencia${\displaystyle R}$con un${\displaystyle K}$-estructura de álgebra tal que${\displaystyle K\to R}$es un morfismo de anillos de diferencia, es decir${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$extiende${\displaystyle \sigma \colon K\to K}$. Un álgebra de diferencias que es un cuerpo se llama extensión de cuerpo de diferencias .

El anillo de polinomios de diferencia${\displaystyle K\{y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$sobre un campo de diferencia${\displaystyle K}$en las variables (diferencia)${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$es el anillo de polinomios sobre${\displaystyle K}$en las infinitas variables${\displaystyle \sigma ^{i}(y_{j}),\ (i\in \mathbb {N} ,1\leq j\leq n)}$Se convierte en un álgebra de diferencias sobre${\displaystyle K}$extendiendo${\displaystyle \sigma }$de${\displaystyle K}$a${\displaystyle K\{y\}}$como sugiere la denominación de las variables.

Mediante un sistema de ecuaciones de diferencias algebraicas sobre${\displaystyle K}$uno significa cualquier subconjunto${\displaystyle F}$de${\displaystyle K\{y\}}$. Si${\displaystyle R}$es un álgebra de diferencias sobre${\displaystyle K}$las soluciones de${\displaystyle F}$en${\displaystyle R}$son

${\displaystyle \mathbb {V} _{R}(F)=\{a\in R^{n}|\ f(a)=0{\text{ para todo }}f\in F\}.}$

Clásicamente, uno está principalmente interesado en soluciones en extensiones de cuerpos de diferencias de${\displaystyle K}$. Por ejemplo, si${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$y${\displaystyle R}$es el campo de funciones meromorfas en${\displaystyle \mathbb {C} }$con operador diferencial${\displaystyle \sigma }$dado por${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$, entonces el hecho de que la función gamma${\displaystyle \Gamma }$satisface la ecuación funcional${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$puede reformularse abstractamente como${\displaystyle \Gamma \in \mathbb {V} _{R}(\sigma (y_{1})-xy_{1})}$.

Intuitivamente, una variedad de diferencias sobre un campo de diferencias${\displaystyle K}$es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones en diferencias algebraicas sobre${\displaystyle K}$Esta definición debe hacerse más precisa especificando dónde se buscan las soluciones. Por lo general, se buscan soluciones en la llamada familia universal de extensiones de cuerpos de diferencias de${\displaystyle K}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Alternativamente, se puede definir una variedad de diferencias como un functor de la categoría de extensiones de cuerpos de diferencias de${\displaystyle K}$a la categoría de conjuntos , que es de la forma${\displaystyle R\rightsquigarrow \mathbb {V} _{R}(F)}$para algunos${\displaystyle F\subseteq K\{y\}}$.

Existe una correspondencia biunívoca entre las variedades de diferencias definidas por ecuaciones de diferencias algebraicas en las variables.${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$y ciertos ideales en${\displaystyle K\{y\}}$, es decir, los ideales de diferencia perfecta de${\displaystyle K\{y\}}$. ^{[ 3 ]} Uno de los teoremas básicos del álgebra de diferencias afirma que toda cadena ascendente de ideales de diferencias perfectas en${\displaystyle K\{y\}}$es finito. Este resultado puede verse como un análogo en diferencias del teorema de la base de Hilbert .

El álgebra de diferencias está relacionada con muchas otras áreas matemáticas, como los sistemas dinámicos discretos , la combinatoria , la teoría de números o la teoría de modelos . Si bien algunos problemas de la vida real, como la dinámica de poblaciones , pueden modelarse mediante ecuaciones de diferencias algebraicas, el álgebra de diferencias también tiene aplicaciones en matemáticas puras . Por ejemplo, existe una demostración de la conjetura de Manin-Mumford utilizando métodos del álgebra de diferencias. ^{[ 4 ]} Se ha estudiado la teoría de modelos de campos de diferencias.

• Diferencia finita
• Relación de recurrencia
• Ecuación funcional
• Álgebra diferencial

• Alexander Levin (2008), Álgebra de diferencias , Springer, ISBN 978-1-4020-6946-8
• Richard M. Cohn (1979), Álgebra de diferencias , RE Krieger Pub. Co., ISBN 978-0-88275-651-6

• Wibmer, Michael (2013). Apuntes de clase - Ecuaciones en diferencias algebraicas (PDF) .  80 páginas.
• La página principal de Zoé Chatzidakis tiene varias encuestas en línea que discuten (la teoría del modelo de) campos de diferencia.