Teorema de la esfera

En geometría riemanniana , el teorema de la esfera , también conocido como teorema de la esfera un cuarto de pinza , restringe fuertemente la topología de las variedades que admiten métricas con una cota de curvatura particular. El enunciado preciso del teorema es el siguiente: Si${\displaystyle M}$es una variedad riemanniana completa , simplemente conexa , n -dimensional con curvatura seccional que toma valores en el intervalo${\displaystyle (1,4]}$entonces${\displaystyle M}$es homeomorfo a la n -esfera . (Para ser precisos, queremos decir que la curvatura seccional de cada plano 2 tangente en cada punto debe estar en${\displaystyle (1,4]}$.) Otra forma de expresar el resultado es que si${\displaystyle M}$Si no es homeomorfo a la esfera, entonces es imposible poner una métrica en${\displaystyle M}$con curvatura estrechada en un cuarto.

Nótese que la conclusión es falsa si se permite que las curvaturas seccionales tomen valores en el intervalo cerrado.${\displaystyle [1,4]}$. El contraejemplo estándar es el espacio proyectivo complejo con la métrica de Fubini-Study ; las curvaturas seccionales de esta métrica toman valores entre${\displaystyle 1}$y${\displaystyle 4}$, incluyendo los puntos finales. Otros contraejemplos pueden encontrarse entre los espacios simétricos de rango uno .

La demostración original del teorema de la esfera no concluyó que${\displaystyle M}$era necesariamente difeomorfo a la n -esfera. Esta complicación se debe a que las esferas en dimensiones superiores admiten estructuras suaves que no son difeomorfas. (Para más información, véase el artículo sobre esferas exóticas ). Sin embargo, en 2007 Simon Brendle y Richard Schoen utilizaron el flujo de Ricci para demostrar que con las hipótesis anteriores,${\displaystyle M}$es necesariamente difeomorfo a la n -esfera con su estructura suave estándar. Además, la demostración de Brendle y Schoen solo utiliza la suposición más débil de pinzamiento puntual en lugar de global. Este resultado se conoce como el teorema de la esfera diferenciable .

Heinz Hopf conjeturó que una variedad simplemente conexa con curvatura seccional estrecha es una esfera. ^{[ 1 ]} En 1951, Harry Rauch demostró que una variedad simplemente conexa con curvatura en${\displaystyle [3/4,1]}$es homeomorfo a una esfera. ^{[ 2 ]} En 1960, tanto Marcel Berger como Wilhelm Klingenberg demostraron la versión topológica del teorema de la esfera con la constante de pinzamiento óptima. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Berger analiza la historia del teorema en su libro Una visión panorámica de la geometría riemanniana , publicado originalmente en 2003. ^{[ 5 ]}

• Brendle, Simon (2010). Ricci Flow and the Sphere Theorem . Graduate Studies in Mathematics. Vol.  111. Providence, RI: American Mathematical Society . doi : 10.1090/gsm/111 . ISBN 978-0-8218-4938-5MR 2583938 .​ 
• Brendle, Simon; Schoen, Richard (2009). "Las variedades con curvatura 1/4-apretada son formas espaciales". Journal of the American Mathematical Society . 22 (1): 287– 307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS...22..287B . doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 . MR 2449060 . 
• Brendle, Simon; Schoen, Richard (2011). "Curvatura, teoremas de esferas y el flujo de Ricci". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 48 (1): 1– 32. arXiv : 1001.2278 . doi : 10.1090/s0273-0979-2010-01312-4 . MR 2738904 .