Esquema derivado

Así como la geometría algebraica afín es equivalente (en sentido categórico ) a la teoría de anillos conmutativos (comúnmente llamada álgebra conmutativa ), la geometría algebraica derivada afín sobre característica cero es equivalente a la teoría de anillos graduados diferenciales conmutativos . Uno de los principales ejemplos de esquemas derivados proviene de la intersección derivada de subesquemas de un esquema, dando lugar al complejo de Koszul . Por ejemplo, sea${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]=R}$, entonces podemos obtener un esquema derivado

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})\right)}$

dónde

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}}$

es el espectro étale . Dado que podemos construir una resolución

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matrix}}}$

el anillo derivado${\displaystyle R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})}$, un producto tensorial derivado , es el complejo de Koszul${\displaystyle K_{R}(f_{1},\ldots ,f_{k})}$. La truncación de este esquema derivado a amplitud${\displaystyle [-1,0]}$proporciona un modelo clásico que motiva la geometría algebraica derivada. Nótese que si tenemos un esquema proyectivo

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)}$

dónde${\displaystyle \deg(f_{i})=d_{i}}$podemos construir el esquema derivado${\displaystyle (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))}$dónde

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]}$

con amplitud${\displaystyle [-1,0]}$.

Dejar${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$sea ​​un álgebra graduada diferencial fija definida sobre un cuerpo de característica${\displaystyle 0}$. Luego un${\displaystyle A_{\bullet }}$-álgebra diferencial graduada${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})}$Se denomina semilibre si se cumplen las siguientes condiciones:

1. El álgebra graduada subyacente${\displaystyle R_{\bullet }}$es un álgebra polinomial sobre${\displaystyle A_{\bullet }}$, lo que significa que es isomorfo a${\displaystyle A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
2. Existe una filtración${\displaystyle \varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots }$en el conjunto de indexación${\displaystyle I}$dónde${\displaystyle \textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_ {n}=I}$y${\displaystyle d_{R}(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]}$para cualquier${\displaystyle x_{i}\in I_{n+1}}$.

Resulta que cada${\displaystyle A_{\bullet }}$-El álgebra graduada diferencial admite un cuasi-isomorfismo sobreyectivo de un semi-álgebra libre${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$Álgebra graduada diferencial, llamada resolución semilibre. Estas son únicas salvo equivalencia homotópica en una categoría de modelo adecuada. El complejo cotangente (relativo) de un${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$-álgebra diferencial graduada${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B})}$se puede construir utilizando una resolución semilibre${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})}$: se define como

${\displaystyle \mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }.}$

Se pueden construir muchos ejemplos tomando el álgebra${\displaystyle B}$representando una variedad sobre un campo de característica 0, encontrando una presentación de${\displaystyle R}$como cociente de un álgebra polinómica y tomando el complejo de Koszul asociado a esta presentación. El complejo de Koszul actúa como una resolución semilibre del álgebra diferencial graduada.${\displaystyle (B_{\bullet },0)}$dónde${\displaystyle B_{\bullet }}$es el álgebra graduada con la parte graduada no trivial en grado 0.

El complejo cotangente de una hipersuperficie${\displaystyle X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}}$se puede calcular fácilmente: puesto que tenemos el dga${\displaystyle K_{R}(f)}$representando la mejora derivada de${\displaystyle X}$, podemos calcular el complejo de cotangente como

${\displaystyle 0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0}$

dónde${\displaystyle \Phi (gds)=g\cdot df}$y${\displaystyle d}$es la derivación universal habitual. Si tomamos una intersección completa, entonces el complejo de Koszul

${\displaystyle R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}}$

es cuasi-isomorfo al complejo

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].}$

Esto implica que podemos construir el complejo cotangente del anillo derivado.${\displaystyle R^{\bullet }}$como el producto tensorial del complejo cotangente anterior para cada${\displaystyle f_{i}}$.

Tenga en cuenta que el complejo cotangente en el contexto de la geometría derivada difiere del complejo cotangente de los esquemas clásicos. Es decir, si hubiera una singularidad en la hipersuperficie definida por${\displaystyle f}$Entonces, el complejo cotangente tendría amplitud infinita. Estas observaciones justifican la filosofía de suavidad oculta de la geometría derivada, ya que ahora trabajamos con un complejo de longitud finita.

Dada una función polinómica${\displaystyle f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},}$Consideremos entonces el diagrama de retroceso (homotópico).

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}}$

donde la flecha inferior es la inclusión de un punto en el origen. Entonces, el esquema derivado${\displaystyle Z}$tiene complejo tangente en${\displaystyle x\in Z}$está dado por el morfismo

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}}$

donde el complejo es de amplitud${\displaystyle [-1,0]}$. Nótese que el espacio tangente se puede recuperar utilizando${\displaystyle H^{0}}$y el${\displaystyle H^{-1}}$mide qué tan lejos está${\displaystyle x\in Z}$es por ser un punto liso.

Dado un stack${\displaystyle [X/G]}$Hay una buena descripción para el complejo tangente:

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X.}$

Si el morfismo no es inyectivo, el${\displaystyle H^{-1}}$mide nuevamente cuán singular es el espacio. Además, la característica de Euler de este complejo produce la dimensión (virtual) correcta de la pila de cocientes . En particular, si observamos la pila de módulos de principal${\displaystyle G}$-fibrados , entonces el complejo tangente es simplemente${\displaystyle {\mathfrak {g}}[+1]}$.

Consideremos la variedad afín.

${\displaystyle M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])}$

y la función regular dada por${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$. Entonces,

${\displaystyle \Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})}$

donde tratamos las dos últimas coordenadas como${\displaystyle dx,dy}$El lugar crítico derivado es entonces el esquema derivado.

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right).}$

Nótese que, dado que el término izquierdo en la intersección derivada es una intersección completa, podemos calcular un complejo que representa el anillo derivado como

${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}}$

dónde${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])}$es el complejo de Koszul.

Por ejemplo, si

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{cases}}}$

tenemos el complejo

${\displaystyle R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R}$

representando la mejora derivada de${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$.