haz gaussiano

En una posición z a lo largo del haz (medida desde el foco), el parámetro de tamaño del punto w viene dado por una relación hiperbólica : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}},}$$ donde ^{[ 1 ]}$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}}$$ se denomina rango de Rayleigh, como se explica más adelante, y${\displaystyle n}$es el índice de refracción del medio.

El radio del haz w ( z ) , en cualquier posición z a lo largo del haz, está relacionado con el ancho completo a media altura (FWHM) de la distribución de intensidad en esa posición según: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}.}$$

Los frentes de onda tienen curvatura cero (radio de curvatura = ∞) en la cintura. La magnitud de la curvatura del frente de onda aumenta a medida que nos alejamos de la cintura, alcanzando un extremo en la distancia de Rayleigh, z = ± z _R (máximo para z = + z _R , mínimo para z = - z _R ). Más allá de la distancia de Rayleigh, | z | > z _R , la magnitud de la curvatura vuelve a disminuir, aproximándose a cero cuando z → ±∞ . La curvatura se suele expresar en términos de su recíproco, R , el radio de curvatura ; para un haz gaussiano fundamental, la curvatura en la posición z viene dada por:

$${\displaystyle {\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}},}$$

por lo tanto el radio de curvatura R ( z ) es ^{[ 1 ]}$${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right].}$$ Al ser el recíproco de la curvatura, el radio de curvatura invierte su signo y es infinito en el punto más bajo del haz, donde la curvatura pasa por cero.

Muchos haces láser tienen una sección transversal elíptica. También son comunes los haces con puntos de cintura distintos para las dos dimensiones transversales, denominados haces astigmáticos. Estos haces pueden tratarse utilizando las dos ecuaciones de evolución anteriores, pero con valores distintos para cada parámetro en x e y , y definiciones distintas del punto z = 0. La fase de Gouy es un valor único que se calcula correctamente sumando la contribución de cada dimensión, con una fase de Gouy dentro del rango de ± π /4 aportada por cada dimensión.

Un haz elíptico invierte su relación de elipticidad a medida que se propaga desde el campo lejano hasta el centro. La dimensión que era mayor lejos del centro se vuelve menor cerca del centro.

Las soluciones arbitrarias de la ecuación de Helmholtz paraxial pueden descomponerse como la suma de modos de Hermite-Gauss (cuyos perfiles de amplitud son separables en x e y usando coordenadas cartesianas ), modos de Laguerre-Gauss (cuyos perfiles de amplitud son separables en r y θ usando coordenadas cilíndricas ) o de manera similar como combinaciones de modos de Ince-Gauss (cuyos perfiles de amplitud son separables en ξ y η usando coordenadas elípticas ). ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} En cualquier punto a lo largo del haz z, estos modos incluyen el mismo factor gaussiano que el modo gaussiano fundamental multiplicando los factores geométricos adicionales para el modo especificado. Sin embargo, los diferentes modos se propagan con una fase de Gouy diferente , razón por la cual el perfil transversal neto debido a una superposición de modos evoluciona en z , mientras que la propagación de cualquier modo Hermite-Gaussiano (o Laguerre-Gaussiano) individual conserva la misma forma a lo largo de un haz.

Existen otras descomposiciones modales , pero las gaussianas son útiles para problemas que involucran haces compactos, es decir, donde la potencia óptica está confinada a lo largo de un eje. Incluso cuando un láser no opera en el modo gaussiano fundamental, su potencia generalmente se encuentra entre los modos de orden más bajo utilizando estas descomposiciones, ya que la extensión espacial de los modos de orden superior tiende a exceder los límites del resonador (cavidad) del láser . "Haz gaussiano" normalmente implica radiación confinada al modo gaussiano fundamental (TEM ₀₀ ).

La forma de un haz gaussiano de una longitud de onda λ determinada está regida únicamente por un parámetro: el radio del haz w₀ _. Este valor mide el tamaño del haz en su punto focal ( z = 0 en las ecuaciones anteriores), donde el ancho del haz w ( z ) (definido anteriormente) es mínimo (y, de igual modo, donde la intensidad en el eje ( r = 0 ) es máxima). Como se indicó anteriormente, w ( z ) y w₀ miden el radio del haz _, no su diámetro, como se muestra en el diagrama.

A partir de este parámetro se determinan los demás parámetros que describen la geometría del haz. Esto incluye el rango de Rayleigh z _R y la divergencia asintótica del haz θ , como se detalla a continuación.

La distancia de Rayleigh o el alcance de Rayleigh z _R se determina en función del tamaño de la cintura de un haz gaussiano:

$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.}$$

Aquí λ es la longitud de onda de la luz y n es el índice de refracción. A una distancia de la cintura igual al rango de Rayleigh z _R , el ancho w del haz es √ 2 mayor que en el foco, donde w = w ₀ , la cintura del haz. Esto también implica que la intensidad en el eje ( r = 0 ) allí es la mitad de la intensidad máxima (en z = 0 ). Ese punto a lo largo del haz también resulta ser donde la curvatura del frente de onda ( 1/ R ) es máxima. ^{[ 1 ]}

La distancia entre los dos puntos z = ± z _R se denomina parámetro confocal o profundidad de foco del haz. ^{[ 8 ]}

Las colas de una función gaussiana nunca llegan a cero, pero para los fines de la siguiente discusión, el "borde" de un haz es el radio donde ^r = w ( z ) . Es ahí donde la intensidad ha disminuido a 1/ e² de su valor en el eje. Ahora bien, para z ≫ zR _, el parámetro w ( z ) aumenta linealmente con z . Esto significa que lejos de la cintura, el "borde" del haz (en el sentido anterior) tiene forma de cono. El ángulo entre ese cono (cuyo r = w ( z ) ) y el eje del haz ( r = 0 ) define la divergencia del haz: $${\displaystyle \theta =\lim _{z\to \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).}$$

En el caso paraxial, como hemos estado considerando, θ (en radianes) es entonces aproximadamente ^{[ 1 ].}$${\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}}$$

donde n es el índice de refracción del medio a través del cual se propaga el haz, y λ es la longitud de onda en el espacio libre. La dispersión angular total del haz divergente, o ángulo del vértice del cono descrito anteriormente, viene dada por $${\displaystyle \Theta =2\theta \,.}$$

Ese cono contiene entonces el 86% de la potencia total del haz gaussiano.

Debido a que la divergencia es inversamente proporcional al tamaño del punto, para una longitud de onda λ dada , un haz gaussiano enfocado en un punto pequeño diverge rápidamente a medida que se propaga lejos del foco. Por el contrario, para minimizar la divergencia de un haz láser en el campo lejano (y aumentar su intensidad máxima a grandes distancias) debe tener una gran sección transversal ( w₀ ₎ en la cintura (y por lo tanto un gran diámetro donde se lanza, ya que w ( z ) nunca es menor que w₀ ). Esta relación entre el ancho del haz y la divergencia es una característica fundamental de la difracción y de la transformada de Fourier que describe la difracción _de Fraunhofer . Un haz con cualquier perfil de amplitud especificado también obedece esta relación inversa, pero el modo gaussiano fundamental es un caso especial donde el producto del tamaño del haz en el foco y la divergencia en el campo lejano es menor que para cualquier otro caso.

Dado que el modelo de haz gaussiano utiliza la aproximación paraxial, falla cuando los frentes de onda están inclinados más de unos 30° con respecto al eje del haz. ^{[ 9 ]} A partir de la expresión anterior para la divergencia, esto significa que el modelo de haz gaussiano solo es preciso para haces con cinturas mayores que aproximadamente 2 λ / π .

La calidad del haz láser se cuantifica mediante el producto de parámetros del haz (BPP). Para un haz gaussiano, el BPP es el producto de la divergencia del haz y el tamaño de cintura w₀ _. El BPP de un haz real se obtiene midiendo el diámetro mínimo del haz y la divergencia en campo lejano, y calculando su producto. La relación entre el BPP del haz real y el de un haz gaussiano ideal a la misma longitud de onda se conoce como M² (" M² "). El M² para un haz gaussiano es uno. Todos los haces láser reales tienen ^{valores de M² mayores que uno, aunque los haces} de muy alta calidad pueden tener valores muy cercanos a uno.

La apertura numérica de un haz gaussiano se define como NA = n sin θ , donde n es el índice de refracción del medio a través del cual se propaga el haz. Esto significa que el rango de Rayleigh está relacionado con la apertura numérica mediante $${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.}$$

La fase de Gouy es un desplazamiento de fase adquirido gradualmente por un haz alrededor de la región focal. En la posición z, la fase de Gouy de un haz gaussiano fundamental viene dada por ^{[ 1 ].}$${\displaystyle \psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).}$$

La fase de Gouy produce un aumento en la longitud de onda aparente cerca de la cintura ( z ≈ 0 ). Por lo tanto, la velocidad de fase en esa región supera formalmente la velocidad de la luz . Este comportamiento paradójico debe entenderse como un fenómeno de campo cercano donde la desviación de la velocidad de fase de la luz (como ocurriría exactamente con una onda plana ) es muy pequeña, excepto en el caso de un haz con una gran apertura numérica , en cuyo caso la curvatura de los frentes de onda (véase la sección anterior) cambia sustancialmente en la distancia de una sola longitud de onda. En todos los casos, la ecuación de onda se satisface en cada posición.

El signo de la fase de Gouy depende de la convención de signos elegida para el fasor del campo eléctrico. ^{[ 10 ]} Con dependencia e ^iωt , la fase de Gouy cambia de - π /2 a + π /2 , mientras que con dependencia e ^{- iωt} cambia de + π /2 a - π /2 a lo largo del eje.

Para un haz gaussiano fundamental, la fase de Gouy produce una discrepancia de fase neta con respecto a la velocidad de la luz de π radianes (es decir, una inversión de fase) al pasar del campo lejano de un lado de la cintura al campo lejano del otro lado. Esta variación de fase no es observable en la mayoría de los experimentos. Sin embargo, tiene importancia teórica y adquiere un mayor alcance para los modos gaussianos de orden superior . ^{[ 10 ]}

Como lo derivaron Saleh y Teich, la relación entre los haces entrantes y salientes se puede encontrar considerando la fase que se agrega a cada punto.${\displaystyle (x,y)}$del haz gaussiano a medida que viaja a través de la lente. ^{[ 15 ]} Un enfoque alternativo debido a Self es considerar el efecto de una lente delgada en los frentes de onda del haz gaussiano . ^{[ 16 ]}

La solución exacta al problema anterior se expresa simplemente en términos de la magnificación.${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).\end{aligned}}}$

La magnificación, que depende de${\displaystyle w_{0}}$y${\displaystyle z_{0}}$(o rango de Rayleigh${\displaystyle z_{R}}$), viene dado por

${\displaystyle M={\frac {M_{r}}{\sqrt {1+r^{2}}}}}$

dónde

${\displaystyle r={\frac {z_{R}}{z_{0}-f}},\quad M_{r}=\left|{\frac {f}{z_{0}-f}}\right|.}$

Una expresión equivalente para la posición del haz${\displaystyle z_{0}'}$es

${\displaystyle {\frac {1}{z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{\frac {1}{z_{0}'}}={\frac {1}{f}}.}$

Esta última expresión deja claro que la ecuación de la lente delgada de óptica geométrica se recupera en el límite que${\displaystyle \left|\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}}}\right)\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}\right)\right|\ll 1}$También cabe señalar que si${\displaystyle \left|z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}\right|\gg f}$entonces el haz entrante está "bien colimado" de modo que${\displaystyle z_{0}'\approx f}$.

En algunas aplicaciones es deseable utilizar una lente convergente para enfocar un haz láser en un punto muy pequeño. Matemáticamente, esto implica minimizar la magnificación.${\displaystyle M}$. Si el tamaño del haz está limitado por el tamaño de la óptica disponible, esto generalmente se logra mejor enviando el haz colimado más grande posible a través de una lente de distancia focal pequeña, es decir maximizando${\displaystyle z_{R}}$y minimizando${\displaystyle f}$En esta situación, es justificable hacer la aproximación.${\displaystyle z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}\gg 1}$, lo que implica que${\displaystyle M\approx f/z_{R}}$y obteniendo el resultado${\displaystyle w_{0}'\approx fw_{0}/z_{R}}$Este resultado se presenta a menudo en la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}2w_{0}'&\approx {\frac {4}{\pi }}\lambda F_{\#}\\[1.2ex]z_{0}'&\approx f\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle F_{\#}={\frac {f}{2w_{0}}},}$

que se encuentra después de suponer que el medio tiene un índice de refracción${\displaystyle n\approx 1}$y sustituyendo${\displaystyle z_{R}=\pi w_{0}^{2}/\lambda }$Los factores de 2 se introducen debido a la preferencia común de representar el tamaño de la viga mediante los diámetros de la cintura de la viga.${\displaystyle 2w_{0}'}$y${\displaystyle 2w_{0}}$, en lugar de los radios de la cintura${\displaystyle w_{0}'}$y${\displaystyle w_{0}}$.

Es posible descomponer un haz paraxial coherente utilizando el conjunto ortogonal de los llamados modos de Hermite-Gauss , cada uno de los cuales viene dado por el producto de un factor en x y un factor en y . Esta solución es posible debido a la separabilidad en x e y en la ecuación de Helmholtz paraxial escrita en coordenadas cartesianas . ^{[ 19 ]} Así, dado un modo de orden ( l , m ) referido a las direcciones x e y , la amplitud del campo eléctrico en x , y , z puede expresarse como: $${\displaystyle E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),}$$ donde los factores de dependencia de x e y vienen dados cada uno por: $${\displaystyle u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),}$$ donde hemos empleado el parámetro de haz complejo q ( z ) (como se definió anteriormente) para un haz de cintura w ₀ en z desde el foco. En esta forma, el primer factor es simplemente una constante de normalización para hacer que el conjunto de u _J sea ortonormal . El segundo factor es una normalización adicional que depende de z , que compensa la expansión de la extensión espacial del modo según w ( z )/ w ₀ (debido a los dos últimos factores). También contiene parte de la fase de Gouy. El tercer factor es una fase pura que mejora el desplazamiento de fase de Gouy para órdenes J superiores .

Los dos últimos factores explican la variación espacial en x (o y ). El cuarto factor es el polinomio de Hermite de orden J ("forma de los físicos", es decir, H ₁ ( x ) = 2 x ), mientras que el quinto explica la disminución de amplitud gaussiana exp(− x ² / w ( z ) ² ) , aunque esto no es obvio usando el complejo q en el exponente. La expansión de esa exponencial también produce un factor de fase en x , que explica la curvatura del frente de onda ( 1/ R ( z ) ) en z a lo largo del haz.

Los modos de Hermite-Gauss se designan típicamente como "TEM _lm "; el haz gaussiano fundamental puede denominarse TEM ₀₀ (donde TEM es electromagnético transversal ). Multiplicando u _l ( x , z ) y u _m ( y , z ) para obtener el perfil del modo 2D, y eliminando la normalización de modo que el factor principal se denomine simplemente E ₀ , podemos escribir el modo ( l , m ) en la forma más accesible:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\exp \left({-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}\right)\exp \left({-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}\right)\times {}\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}}$$

En esta forma, el parámetro w ₀ , como antes, determina la familia de modos, en particular escalando la extensión espacial de la cintura del modo fundamental y todos los demás patrones de modo en z = 0 . Dado que w ₀ , w ( z ) y R ( z ) tienen las mismas definiciones que para el haz gaussiano fundamental descrito anteriormente . Se puede ver que con l = m = 0 obtenemos el haz gaussiano fundamental descrito anteriormente (ya que H ₀ = 1 ). La única diferencia específica en los perfiles x e y en cualquier z se debe a los factores del polinomio de Hermite para los números de orden l y m . Sin embargo, hay un cambio en la evolución de la fase de Gouy de los modos sobre z : $${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

donde el orden combinado del modo N se define como N = l + m . Mientras que el desplazamiento de fase de Gouy para el modo gaussiano fundamental (0,0) solo cambia en ± π /2 radianes en todo z (y solo en ± π /4 radianes entre ± z _R ), este se incrementa por el factor N + 1 para los modos de orden superior. ^{[ 10 ]}

Los modos gaussianos de Hermite, con su simetría rectangular, son especialmente adecuados para el análisis modal de la radiación de láseres con cavidades de diseño asimétrico rectangular. Por otro lado, los láseres y sistemas con simetría circular se pueden analizar mejor utilizando el conjunto de modos gaussianos de Laguerre que se presenta en la siguiente sección.

Los perfiles de haz con simetría circular (o láseres con cavidades con simetría cilíndrica) suelen resolverse mejor mediante la descomposición modal de Laguerre-Gauss. ^{[ 6 ]} Estas funciones se escriben en coordenadas cilíndricas utilizando polinomios de Laguerre generalizados . Cada modo transversal se etiqueta nuevamente con dos números enteros, en este caso el índice radial p ≥ 0 y el índice azimutal l , que puede ser positivo o negativo (o cero): ^{[ 20 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {1}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}}$$

donde L _p ^l son los polinomios de Laguerre generalizados . C ^LG _lp es una constante de normalización requerida: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }dr\;r\,|u(r,\phi ,z)|^{2}=1,}$$.

w ( z ) y R ( z ) tienen las mismas definiciones que las anteriores . Al igual que con los modos Hermite-Gaussianos de orden superior, la magnitud del desplazamiento de fase de Gouy de los modos Laguerre-Gaussianos se exagera por el factor N + 1 : $${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$ donde en este caso el número de modo combinado N = | l | + 2 p . Como antes, las variaciones de amplitud transversal están contenidas en los dos últimos factores en la línea superior de la ecuación, que nuevamente incluye la caída gaussiana básica en r pero ahora multiplicada por un polinomio de Laguerre. El efecto del número de modo rotacional l , además de afectar al polinomio de Laguerre, está contenido principalmente en el factor de fase exp(− ilφ ) , en el que el perfil del haz se adelanta (o retrasa) en l fases completas de 2 π en una rotación alrededor del haz (en φ ). Este es un ejemplo de un vórtice óptico de carga topológica l , y puede asociarse con el momento angular orbital de la luz en ese modo.

La tercera familia completa de soluciones para la ecuación de onda paraxial son los modos de Ince-Gauss. Describen haces con geometría transversal elíptica caracterizada por la elipticidad.${\displaystyle \varepsilon }$Los modos Hermite-Gaussiano y Laguerre-Gaussiano son un caso especial de los modos Ince-Gaussiano para${\displaystyle \varepsilon =\infty }$y${\displaystyle \varepsilon =0}$respectivamente. Los modos Ince-Gaussianos se pueden escribir utilizando coordenadas elípticas y polinomios de Ince . Los modos Ince-Gaussianos pares e impares${\displaystyle \mathrm {IG} _{p,m}^{\mathrm {e} }}$y${\displaystyle \mathrm {IG} _{p,m}^{\mathrm {o} }}$están dados por: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {IG} _{p,m}^{\mathrm {e} }\left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)&={\frac {Cw_{0}}{w\left(z\right)}}C_{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)C_{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \mathrm {i} \left(kz+{\frac {kr^{2}}{2R(z)}}-(p+1)\psi (z)\right),\\\mathrm {IG} _{p,m}^{\mathrm {o} }\left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)&={\frac {Sw_{0}}{w\left(z\right)}}S_{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)S_{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \mathrm {i} \left(kz+{\frac {kr^{2}}{2R(z)}}-(p+1)\psi (z)\right),\end{aligned}}}$$dónde${\displaystyle C}$,${\displaystyle S}$son constantes de normalización y${\displaystyle C_{p}^{m}}$,${\displaystyle S_{p}^{m}}$los polinomios de Ince pares e impares de orden${\displaystyle p}$y${\displaystyle m}$respectivamente.${\displaystyle \psi (z)=\arctan(z/z_{\mathrm {R} })}$es la fase de Gouy y${\displaystyle \xi }$,${\displaystyle \eta }$son las coordenadas elípticas radiales y angulares definidas por  :$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta \,,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta \,.\end{aligned}}}$$

Existe otra clase importante de modos de onda paraxial en coordenadas cilíndricas , en la que la amplitud compleja es proporcional a una función hipergeométrica confluente .

Estos modos presentan un perfil de fase singular y son autofunciones del momento angular orbital del fotón . Sus perfiles de intensidad se caracterizan por un único anillo brillante; al igual que los modos de Laguerre-Gauss, sus intensidades se reducen a cero en el centro (sobre el eje óptico ), excepto para el modo fundamental (0,0). La amplitud compleja de un modo puede expresarse en términos de la coordenada radial normalizada (adimensional).${\displaystyle \rho =r/w_{0}}$y la coordenada longitudinal normalizada${\displaystyle Z=z/z_{\mathrm {R} }}$de la siguiente manera: ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}}$$

donde el índice de rotación m es un número entero, y${\displaystyle {\mathsf {p}}\geq -|m|}$es de valor real, Γ( x ) es la función gamma y ₁ F ₁ ( a , b ; x ) es una función hipergeométrica confluente.

Algunas subfamilias de modos hipergeométricos-gaussianos (HyGG) se pueden enumerar como los modos Bessel-Gaussianos modificados, los modos gaussianos exponenciales modificados, ^{[ 23 ]} y los modos Laguerre-Gaussianos modificados.

El conjunto de modos hipergeométricos-gaussianos es sobrecompleto y no es un conjunto ortogonal de modos. A pesar de su perfil de campo complicado, los modos HyGG tienen un perfil muy simple en la cintura del haz ( z = 0 ): $${\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.}$$