Difusión

Cada modelo de difusión expresa el flujo de difusión mediante el uso de concentraciones, densidades y sus derivadas. El flujo es un vector.${\displaystyle \mathbf {J} }$representando la cantidad y dirección de transferencia. Dado un área pequeña${\displaystyle \Delta S}$con normalidad${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$la transferencia de una cantidad física${\displaystyle N}$a través de la zona${\displaystyle \Delta S}$por tiempo${\displaystyle \Delta t}$es

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\nu }})\,\Delta S\,\Delta t+o(\Delta S\,\Delta t)\,,}$

dónde${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\nu }})}$es el producto interno y${\displaystyle o(\cdots )}$es la notación de o minúscula . Si usamos la notación de área vectorial${\displaystyle \Delta \mathbf {S} ={\boldsymbol {\nu }}\,\Delta S}$entonces

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,\Delta \mathbf {S} )\,\Delta t+o(\Delta \mathbf {S} \,\Delta t)\,.}$

La dimensión del flujo de difusión es [flujo]  =  [cantidad]/([tiempo]·[área]). La magnitud física que se difunde${\displaystyle N}$puede ser el número de partículas, masa, energía, carga eléctrica o cualquier otra cantidad escalar extensa . Para su densidad,${\displaystyle n}$La ecuación de difusión tiene la forma

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} +W\,,}$

dónde${\displaystyle W}$es la intensidad de cualquier fuente local de esta magnitud (por ejemplo, la velocidad de una reacción química). Para la ecuación de difusión, las condiciones de contorno de flujo nulo se pueden formular como${\displaystyle (\mathbf {J} (x),{\boldsymbol {\nu }}(x))=0}$en el límite, donde${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$es la normal al límite en el punto${\displaystyle x}$.

Primera ley de Fick: El flujo de difusión,${\displaystyle \mathbf {J} }$, es proporcional al gradiente negativo de concentración espacial,${\displaystyle n(x,t)}$:

${\displaystyle \mathbf {J} =-D(x)\,\nabla n(x,t),}$

donde D es el coeficiente de difusión , que puede estimarse para una mezcla dada utilizando, por ejemplo, el modelo de correlación empírico de Vignes ^{[ 17 ]} o el escalamiento de entropía con motivación física. ^{[ 18 ]} La ecuación de difusión correspondiente (segunda ley de Fick) es

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot (D(x)\,\nabla n(x,t))\,.}$

En caso de que el coeficiente de difusión sea independiente de${\displaystyle x}$La segunda ley de Fick se puede simplificar a:

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=D\,\Delta n(x,t)\ ,}$

dónde${\displaystyle \Delta }$es el operador de Laplace ,

${\displaystyle \Delta n(x,t)=\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial x_{i}^{2}}}\ .}$

La ley de Fick describe la difusión de una mezcla en un medio. La concentración de esta mezcla debe ser pequeña y el gradiente de esta concentración también debe ser pequeño. La fuerza impulsora de la difusión en la ley de Fick es el antigradiente de concentración.${\displaystyle -\nabla n}$.

En 1931, Lars Onsager ^{[ 19 ]} incluyó los procesos de transporte multicomponente en el contexto general de la termodinámica lineal de no equilibrio. Para el transporte multicomponente,

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=\sum _{j}L_{ij}X_{j}\,,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {J} _ {i}}$es el flujo de la${\displaystyle i}$magnitud física (componente),${\displaystyle X_{j}}$es el${\displaystyle j}$la fuerza termodinámica y${\displaystyle L_{ij}}$es la matriz de Onsager de coeficientes de transporte cinético .

Onsager introdujo las fuerzas termodinámicas para los procesos de transporte como los gradientes espaciales de las derivadas de la densidad de entropía.${\displaystyle s}$(utilizó el término "fuerza" entre comillas o "fuerza impulsora"):

${\displaystyle X_{i}=\nabla {\frac {\partial s(n)}{\partial n_{i}}}\,,}$

dónde${\displaystyle n_{i}}$son las "coordenadas termodinámicas". Para la transferencia de calor y masa se puede tomar${\displaystyle n_{0}=u}$(la densidad de energía interna ) y${\displaystyle n_{i}}$es la concentración de la${\displaystyle i}$componente th. Las fuerzas impulsoras correspondientes son los vectores espaciales.

${\displaystyle X_{0}=\nabla {\frac {1}{T}}\ ,\;\;\;X_{i}=-\nabla {\frac {\mu _{i}}{T}}\;(i>0),}$porque${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {1}{T}}\,\mathrm {d} u-\sum _{i\geq 1}{\frac {\mu _{i}}{T}}\,{\rm {d}}n_{i}}$

donde T es la temperatura absoluta y${\displaystyle \mu _{i}}$es el potencial químico de la${\displaystyle i}$Componente th. Cabe destacar que las ecuaciones de difusión separadas describen la mezcla o el transporte de masa sin movimiento global. Por lo tanto, se desprecian los términos con variación de la presión total. Esto es posible para la difusión de pequeñas cantidades y para gradientes pequeños.

Para las ecuaciones lineales de Onsager, debemos tomar las fuerzas termodinámicas en la aproximación lineal cerca del equilibrio:

${\displaystyle X_{i}=\sum _{k\geq 0}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{i}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\nabla n_{k}\ ,}$

donde los derivados de${\displaystyle s}$se calculan en equilibrio${\displaystyle n^{*}}$. La matriz de los coeficientes cinéticos${\displaystyle L_{ij}}$deben ser simétricas ( relaciones recíprocas de Onsager ) y definidas positivas ( para el crecimiento de la entropía ).

Las ecuaciones de transporte son

${\displaystyle {\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\operatorname {div} X_{j}=\sum _{k\geq 0}\left[-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{j}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\right]\,\Delta n_{k}\ .}$

Aquí, todos los índices i , j , k = 0, 1, 2, ... están relacionados con la energía interna (0) y varios componentes. La expresión entre corchetes es la matriz.${\displaystyle D_{ik}}$de los coeficientes de difusión ( i , k  >  0), termodifusión ( i  >  0, k  =  0 o k  >  0, i  =  0) y conductividad térmica ( i = k = 0 ).

En condiciones isotérmicas T  = constante. El potencial termodinámico  relevante es la energía libre (o la entropía libre ). Las fuerzas impulsoras termodinámicas para la difusión isotérmica son antigradientes de potenciales químicos,${\displaystyle -(1/T)\,\nabla \mu _{j}}$y la matriz de coeficientes de difusión es

${\displaystyle D_{ik}={\frac {1}{T}}\sum _{j\geq 1}L_{ij}\left.{\frac {\partial \mu _{j}(n,T)}{\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}}$

( i,k  >  0).

Existe una arbitrariedad intrínseca en la definición de las fuerzas termodinámicas y los coeficientes cinéticos porque no se pueden medir por separado, sino solo sus combinaciones.${\textstyle \sum _{j}L_{ij}X_{j}}$Se pueden medir. Por ejemplo, en el trabajo original de Onsager ^{[ 19 ],} las fuerzas termodinámicas incluyen un multiplicador adicional T , mientras que en el Curso de Física Teórica ^{[ 20 ]} se omite este multiplicador, pero el signo de las fuerzas termodinámicas es opuesto. Todos estos cambios se complementan con los cambios correspondientes en los coeficientes y no afectan las cantidades medibles.

La relación de Einstein (teoría cinética) conecta el coeficiente de difusión y la movilidad (la relación entre la velocidad de deriva terminal de la partícula y una fuerza aplicada ). ^{[ 21 ]} Para partículas cargadas:

${\displaystyle D={\frac {\mu \,k_{\text{B}}T}{q}},}$

donde D es la constante de difusión , μ es la "movilidad", k _B es la constante de Boltzmann , T es la temperatura absoluta y q es la carga elemental , es decir, la carga de un electrón.

A continuación, para combinar en la misma fórmula el potencial químico μ y la movilidad, utilizamos para la movilidad la notación${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

El enfoque basado en la movilidad fue aplicado posteriormente por T. Teorell. ^{[ 22 ]} En 1935, estudió la difusión de iones a través de una membrana. Formuló la esencia de su enfoque en la fórmula:

El flujo es igual a movilidad × concentración × fuerza por gramo-ión .

Esta es la llamada fórmula de Teorell . El término "gramo-ión" ("gramo-partícula") se utiliza para una cantidad de una sustancia que contiene el número de Avogadro de iones (partículas). El término moderno común es mol .

La fuerza en condiciones isotérmicas consta de dos partes:

1. Fuerza de difusión causada por el gradiente de concentración:${\displaystyle -RT{\frac {1}{n}}\,\nabla n=-RT\,\nabla (\ln(n/n^{\text{eq}}))}$.
2. Fuerza electrostática causada por un gradiente de potencial eléctrico:${\displaystyle q\,\nabla \varphi }$.

Aquí R es la constante de los gases , T es la temperatura absoluta, n es la concentración, la concentración de equilibrio está marcada con un superíndice "eq", q es la carga y φ es el potencial eléctrico.

La diferencia, simple pero crucial, entre la fórmula de Teorell y las leyes de Onsager radica en el factor de concentración en la expresión de Teorell para el flujo. En el enfoque de Einstein-Teorell, si para una fuerza finita la concentración tiende a cero, entonces el flujo también tiende a cero, mientras que las ecuaciones de Onsager violan esta regla simple y físicamente obvia.

La formulación general de la fórmula de Teorell para sistemas no perfectos en condiciones isotérmicas es ^{[ 16 ].}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})),}$

donde μ es el potencial químico , μ ₀ es el valor estándar del potencial químico. La expresión${\displaystyle a=\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)}$es la llamada actividad . Mide la "concentración efectiva" de una especie en una mezcla no ideal. En esta notación, la fórmula de Teorell para el flujo tiene una forma muy simple ^{[ 16 ].}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}a(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})).}$

La desviación estándar de la actividad incluye un factor de normalización y para concentraciones pequeñas${\displaystyle a=n/n^{\ominus }+o(n/n^{\ominus })}$, dónde${\displaystyle n^{\ominus }}$es la concentración estándar. Por lo tanto, esta fórmula para el flujo describe el flujo de la cantidad adimensional normalizada.${\displaystyle n/n^{\ominus }}$:

${\displaystyle {\frac {\partial (n/n^{\ominus })}{\partial t}}=\nabla \cdot [{\mathfrak {m}}a(\nabla \mu -({\text{external force per mole}}))].}$

El modelo de Einstein ignora la inercia de la partícula parcial difusora. La ecuación de Langevin alternativa parte de la segunda ley del movimiento de Newton: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}+F(t)}$

dónde

• x es la posición.
• μ es la movilidad de la partícula en el fluido o gas, que se puede calcular utilizando la relación de Einstein (teoría cinética) .
• m es la masa de la partícula.
• F es la fuerza aleatoria aplicada a la partícula.
• Es hora.

Al resolver esta ecuación, se obtuvo la constante de difusión dependiente del tiempo en el límite de tiempo largo y cuando la partícula es significativamente más densa que el fluido circundante, ^{[ 23 ]}

${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T(1-e^{-t/(m\mu )})}$

dónde

• k _B es la constante de Boltzmann ;
• T es la temperatura absoluta .
• μ es la movilidad de la partícula en el fluido o gas, que se puede calcular utilizando la relación de Einstein (teoría cinética) .
• m es la masa de la partícula.
• Es hora.

En escalas de tiempo largas, se recupera el resultado de Einstein, pero en escalas de tiempo cortas, también se explica el régimen balístico . Además, a diferencia del enfoque de Einstein, se puede definir una velocidad, lo que conduce al teorema de fluctuación-disipación , que relaciona la competencia entre la fricción y las fuerzas aleatorias en la definición de la temperatura. ^{[ 23 ] : 3.2}

La difusión de reactivos en la superficie de un catalizador puede desempeñar un papel importante en la catálisis heterogénea. El modelo de difusión en la monocapa ideal se basa en los saltos de los reactivos hacia los espacios libres más cercanos. Este modelo se utilizó para la oxidación de CO sobre Pt a baja presión de gas.

El sistema incluye varios reactivos${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{m}}$en la superficie. Sus concentraciones superficiales son${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}.}$La superficie es una red de sitios de adsorción. Cada molécula de reactivo ocupa un lugar en la superficie. Algunos de los lugares están libres. La concentración de los lugares libres es${\displaystyle z=c_{0}}$. La suma de todos${\displaystyle c_{i}}$(incluidos los lugares libres) es constante, la densidad de lugares de adsorción b .

El modelo de salto proporciona para el flujo de difusión de${\displaystyle A_{i}}$( i  =  1,  ..., n ): 

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-D_{i}[z\,\nabla c_{i}-c_{i}\nabla z]\,.}$

La ecuación de difusión correspondiente es: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=D_{i}[z\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta z]\,.}$

Debido a la ley de conservación,${\displaystyle z=b-\sum _{i=1}^{n}c_{i}\,,}$y tenemos el sistema de m ecuaciones de difusión. Para un componente obtenemos la ley de Fick y ecuaciones lineales porque${\displaystyle (b-c)\,\nabla c-c\,\nabla (b-c)=b\,\nabla c}$Para dos o más componentes, las ecuaciones son no lineales.

Si todas las partículas pueden intercambiar sus posiciones con sus vecinos más cercanos, entonces una generalización simple da como resultado:

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\nabla c_{i}-c_{i}\,\nabla c_{j}]}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta c_{j}]}$

dónde${\displaystyle D_{ij}=D_{ji}\geq 0}$es una matriz simétrica de coeficientes que caracterizan las intensidades de los saltos. Los lugares libres (vacantes) deben considerarse como "partículas" especiales con concentración${\displaystyle c_{0}}$.

Diversas versiones de estos modelos de salto también son adecuadas para mecanismos de difusión simples en sólidos.

Para la difusión en medios porosos las ecuaciones básicas son (si Φ es constante): ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} =-\phi D\,\nabla n^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\,,}$

donde D es el coeficiente de difusión, Φ es la porosidad, n es la concentración, m  >  0 (generalmente m  >  1, el caso m  =  1 corresponde a la ley de Fick).

Es necesario tener en cuenta adecuadamente la porosidad (Φ) del medio poroso tanto en los términos de flujo como en los de acumulación. ^{[ 25 ]} Por ejemplo, cuando la porosidad tiende a cero, el flujo molar en el medio poroso tiende a cero para un gradiente de concentración dado. Al aplicar la divergencia del flujo, los términos de porosidad se cancelan y se obtiene la segunda ecuación anterior.

Para la difusión de gases en medios porosos, esta ecuación es la formalización de la ley de Darcy : el flujo volumétrico de un gas en el medio poroso es

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu }}\,\nabla p}$

donde k es la permeabilidad del medio, μ es la viscosidad y p es la presión.

El flujo molar advectivo se expresa como:

J  = nq 

y para${\displaystyle p\sim n^{\gamma }}$La ley de Darcy proporciona la ecuación de difusión en medios porosos con m  = γ + 1.   

En medios porosos, la velocidad lineal promedio (ν) se relaciona con el flujo volumétrico de la siguiente manera:

${\displaystyle \upsilon =q/\phi }$

La combinación del flujo molar advectivo con el flujo difusivo da como resultado la ecuación de dispersión por advección.

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\ -\nu \cdot \nabla n^{m},}$

Para la infiltración de agua subterránea, la aproximación de Boussinesq da la misma ecuación con m = 2.   

Para plasmas con alto nivel de radiación, la ecuación de Zeldovich -Raizer da m  >  4 para la transferencia de calor.

El coeficiente de difusión${\displaystyle D}$es el coeficiente en la primera ley de Fick${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x}$, donde J es el flujo de difusión ( cantidad de sustancia ) por unidad de área por unidad de tiempo, n (para mezclas ideales) es la concentración, x es la posición [longitud].

Consideremos dos gases con moléculas del mismo diámetro d y masa m ( autodifusión ). En este caso, la teoría elemental del camino libre medio de la difusión proporciona el coeficiente de difusión.

${\displaystyle D={\frac {1}{3}}\ell v_{T}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}m}}}{\frac {T^{3/2}}{Pd^{2}}}\,,}$

donde k _B es la constante de Boltzmann , T es la temperatura , P es la presión ,${\displaystyle \ell }$es el camino libre medio y v _T es la velocidad térmica media:

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\rm {B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}P}}\,,\;\;\;v_{T}={\sqrt {\frac {8k_{\rm {B}}T}{\pi m}}}\,.}$

Podemos ver que el coeficiente de difusión en la aproximación del camino libre medio crece con T como T ^3/2 y disminuye con P como 1/ P . Si usamos para P la ley de los gases ideales P  = RnT con la concentración total n , entonces podemos ver que para una concentración n dada el coeficiente de difusión crece con T como T ^1/2 y para una temperatura dada disminuye con la concentración total como 1/ n .  

Para dos gases diferentes, A y B, con masas moleculares m _A , m _B y diámetros moleculares d _A , d _B , la estimación del camino libre medio del coeficiente de difusión de A en B y de B en A es:

${\displaystyle D_{\rm {AB}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2m_{\rm {A}}}}+{\frac {1}{2m_{\rm {B}}}}}}{\frac {4T^{3/2}}{P(d_{\rm {A}}+d_{\rm {B}})^{2}}}\,,}$

En la cinética de Boltzmann de la mezcla de gases, cada gas tiene su propia función de distribución,${\displaystyle f_{i}(x,c,t)}$donde t es el instante de tiempo, x es la posición y c es la velocidad de la molécula del i- ésimo componente de la mezcla. Cada componente tiene su velocidad media.${\textstyle C_{i}(x,t)={\frac {1}{n_{i}}}\int _{c}cf(x,c,t)\,dc}$. Si las velocidades${\displaystyle C_{i}(x,t)}$Si no coinciden, entonces existe difusión .

En la aproximación de Chapman-Enskog , todas las funciones de distribución se expresan a través de las densidades de las cantidades conservadas: ^{[ 14 ]}

• concentraciones individuales de partículas,${\textstyle n_{i}(x,t)=\int _{c}f_{i}(x,c,t)\,dc}$(partículas por volumen),
• densidad de momento${\textstyle \sum _{i}m_{i}n_{i}C_{i}(x,t)}$( m _i es la masa de la i- ésima partícula),
• densidad de energía cinética$${\displaystyle \sum _{i}\left(n_{i}{\frac {m_{i}C_{i}^{2}(x,t)}{2}}+\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc\right).}$$

La temperatura cinética T y la presión P se definen en el espacio 3D como

${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T={\frac {1}{n}}\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc;\quad P=k_{\rm {B}}nT,}$

dónde${\textstyle n=\sum _{i}n_{i}}$es la densidad total.

Para dos gases, la diferencia entre velocidades,${\displaystyle C_{1}-C_{2}}$viene dada por la expresión: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle C_{1}-C_{2}=-{\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}D_{12}\left\{\nabla \left({\frac {n_{1}}{n}}\right)+{\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{Pn(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P-{\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})+k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T\right\},}$

dónde${\displaystyle F_{i}}$es la fuerza aplicada a las moléculas del i- ésimo componente y${\displaystyle k_{T}}$es la relación de termodifusión.

El coeficiente D ₁₂ es positivo. Este es el coeficiente de difusión. Cuatro términos en la fórmula para C ₁ − C ₂ describen cuatro efectos principales en la difusión de gases:

1. ${\displaystyle \nabla \,\left({\frac {n_{1}}{n}}\right)}$describe el flujo del primer componente desde las áreas con la alta relación n ₁ / n hacia las áreas con valores más bajos de esta relación (y, análogamente, el flujo del segundo componente desde n ₂ / n alto hacia n ₂ / n bajo porque n ₂ / n  =  1  – n ₁ / n ); 
2. ${\displaystyle {\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{n(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P}$describe el flujo de las moléculas más pesadas hacia las áreas con mayor presión y las moléculas más ligeras hacia las áreas con menor presión, esto es barodifusión ;
3. ${\displaystyle {\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})}$Describe la difusión causada por la diferencia de fuerzas aplicadas a moléculas de distintos tipos. Por ejemplo, en el campo gravitatorio terrestre, las moléculas más pesadas deberían descender, o en un campo eléctrico, las moléculas cargadas deberían moverse, hasta que este efecto se equilibre con la suma de otros términos. Este efecto no debe confundirse con la barodifusión causada por el gradiente de presión.
4. ${\displaystyle k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T}$Describe la termodifusión , el flujo de difusión causado por el gradiente de temperatura.

Todos estos efectos se denominan difusión porque describen las diferencias entre las velocidades de los distintos componentes de la mezcla. Por lo tanto, estos efectos no pueden describirse como transporte masivo y difieren de la advección o la convección.

En la primera aproximación, ^{[ 14 ]}

• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{2n(d_{1}+d_{2})^{2}}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}}$$para esferas rígidas;
• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{8nA_{1}({\nu })\Gamma (3-{\frac {2}{\nu -1}})}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}\left({\frac {2kT}{\kappa _{12}}}\right)^{\frac {2}{\nu -1}}}$$para fuerza repulsiva${\displaystyle \kappa _{12}r^{-\nu }.}$

El número${\displaystyle A_{1}({\nu })}$se define mediante cuadraturas (fórmulas (3.7), (3.9), Cap. 10 del libro clásico de Chapman y Cowling ^{[ 14 ]} )

Podemos ver que la dependencia de T para las esferas rígidas es la misma que para la teoría simple del camino libre medio, pero para las leyes de repulsión de potencia el exponente es diferente. La dependencia de una concentración total n para una temperatura dada siempre tiene el mismo carácter, 1/ n .

En aplicaciones a la dinámica de gases, el flujo de difusión y el flujo global deben combinarse en un único sistema de ecuaciones de transporte. El flujo global describe la transferencia de masa. Su velocidad V es la velocidad media de la masa. Se define mediante la densidad de momento y las concentraciones de masa:

${\displaystyle V={\frac {\sum _{i}\rho _{i}C_{i}}{\rho }}\,.}$

dónde${\displaystyle \rho _{i}=m_{i}n_{i}}$es la concentración másica de la i- ésima especie,${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}}$es la densidad de masa.

Por definición, la velocidad de difusión del i- ésimo componente es${\displaystyle v_{i}=C_{i}-V}$,${\textstyle \sum _{i}\rho _{i}v_{i}=0}$La transferencia de masa del i -ésimo componente se describe mediante la ecuación de continuidad .

${\displaystyle {\frac {\partial \rho _{i}}{\partial t}}+\nabla (\rho _{i}V)+\nabla (\rho _{i}v_{i})=W_{i}\,,}$

dónde${\displaystyle W_{i}}$es la tasa neta de producción de masa en reacciones químicas,${\textstyle \sum _{i}W_{i}=0}$.

En estas ecuaciones, el término${\displaystyle \nabla (\rho _{i}V)}$describe la advección del i- ésimo componente y el término${\displaystyle \nabla (\rho _{i}v_{i})}$representa la difusión de este componente.

En 1948, Wendell H. Furry propuso utilizar la forma de las tasas de difusión encontradas en la teoría cinética como marco para el nuevo enfoque fenomenológico de la difusión en gases. Este enfoque fue desarrollado posteriormente por FA Williams y SH Lam. ^{[ 26 ]} Para las velocidades de difusión en gases multicomponentes ( N componentes) utilizaron

${\displaystyle v_{i}=-\left(\sum _{j=1}^{N}D_{ij}\mathbf {d} _{j}+D_{i}^{(T)}\,\nabla (\ln T)\right)\,;}$

${\displaystyle \mathbf {d} _{j}=\nabla X_{j}+(X_{j}-Y_{j})\,\nabla (\ln P)+\mathbf {g} _{j}\,;}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{j}={\frac {\rho }{P}}\left(Y_{j}\sum _{k=1}^{N}Y_{k}(f_{k}-f_{j})\right)\,.}$

Aquí,${\displaystyle D_{ij}}$es la matriz del coeficiente de difusión,${\displaystyle D_{i}^{(T)}}$es el coeficiente de difusión térmica,${\displaystyle f_{i}}$es la fuerza corporal por unidad de masa que actúa sobre la i- ésima especie,${\displaystyle X_{i}=P_{i}/P}$es la fracción de presión parcial de la i- ésima especie (y${\displaystyle P_{i}}$es la presión parcial),${\displaystyle Y_{i}=\rho _{i}/\rho }$es la fracción de masa de la i- ésima especie, y${\textstyle \sum _{i}X_{i}=\sum _{i}Y_{i}=1.}$

Cuando la densidad de electrones en los sólidos no está en equilibrio, se produce la difusión de electrones. Por ejemplo, cuando se aplica una polarización a los dos extremos de un trozo de semiconductor, o cuando incide luz sobre uno de ellos (véase la figura de la derecha), los electrones se difunden desde las regiones de alta densidad (centro) hacia las de baja densidad (los dos extremos), formando un gradiente de densidad electrónica. Este proceso genera una corriente, denominada corriente de difusión .

La corriente de difusión también puede describirse mediante la primera ley de Fick.

${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x\,,}$

donde J es la densidad de corriente de difusión ( cantidad de sustancia ) por unidad de área por unidad de tiempo, n (para mezclas ideales) es la densidad electrónica, x es la posición [longitud].

Los modelos analíticos y numéricos que resuelven la ecuación de difusión para diferentes condiciones iniciales y de contorno han sido populares para estudiar una amplia variedad de cambios en la superficie terrestre. La difusión se ha utilizado extensamente en estudios de erosión de laderas, erosión de acantilados, degradación de escarpes de falla, retroceso de terrazas de corte de olas/líneas costeras, incisión de canales aluviales, retroceso de la plataforma costera y progradación de deltas. ^{[ 27 ]} Aunque la superficie terrestre no se difunde literalmente en muchos de estos casos, el proceso de difusión imita eficazmente los cambios holísticos que ocurren a lo largo de décadas o milenios. Los modelos de difusión también pueden utilizarse para resolver problemas inversos de valores de contorno en los que se conoce cierta información sobre el ambiente deposicional a partir de la reconstrucción paleoambiental y la ecuación de difusión se utiliza para calcular el flujo de sedimentos y las series temporales de cambios en el relieve. ^{[ 28 ]}

La diálisis funciona según los principios de difusión de solutos y ultrafiltración de fluidos a través de una membrana semipermeable . La difusión es una propiedad de las sustancias en el agua; las sustancias en el agua tienden a moverse de un área de alta concentración a un área de baja concentración. ^{[ 29 ]} La sangre fluye por un lado de la membrana semipermeable, y el dializado, o fluido especial de diálisis, fluye por el lado opuesto. Una membrana semipermeable es una capa delgada de material que contiene orificios de diversos tamaños, o poros. Los solutos y fluidos más pequeños pasan a través de la membrana, pero esta bloquea el paso de sustancias más grandes (por ejemplo, glóbulos rojos y proteínas grandes). Esto reproduce el proceso de filtración que tiene lugar en los riñones cuando la sangre entra en ellos y las sustancias más grandes se separan de las más pequeñas en el glomérulo . ^{[ 29 ]}

Si bien el movimiento browniano de partículas mesoscópicas multimoleculares (como los granos de polen estudiados por Brown) se puede observar con un microscopio óptico, la difusión molecular solo se puede investigar en condiciones experimentales cuidadosamente controladas. Desde los experimentos de Graham, es bien sabido que evitar la convección es necesario, lo cual puede resultar una tarea compleja.

En condiciones normales, la difusión molecular predomina únicamente en longitudes comprendidas entre nanómetros y milímetros. En escalas mayores, el transporte en líquidos y gases se debe normalmente a otro fenómeno : la convección . Para separar la difusión en estos casos, se requieren esfuerzos especiales.

En cambio, la conducción de calor a través de medios sólidos es un fenómeno cotidiano (por ejemplo, una cuchara de metal parcialmente sumergida en un líquido caliente). Esto explica por qué la difusión del calor se explicó matemáticamente antes que la difusión de la masa.

• La difusión anisotrópica , también conocida como la ecuación de Perona-Malik, mejora los gradientes altos.
• Difusión atómica en sólidos
• Difusión de Bohm , propagación del plasma a través de campos magnéticos.
• Difusión de remolinos , en la descripción de grano grueso del flujo turbulento
• Efusión de un gas a través de pequeños orificios
• Difusión electrónica , que da como resultado una corriente eléctrica llamada corriente de difusión.
• Difusión facilitada , presente en algunos organismos.
• Difusión gaseosa , utilizada para la separación de isótopos.
• Ecuación del calor , difusión de la energía térmica
• Difusión de Itō , matematización del movimiento browniano, proceso estocástico continuo.
• Difusión de gas de Knudsen en poros largos con frecuentes colisiones con las paredes.
• Vuelo de Lévy
• Difusión molecular , difusión de moléculas desde áreas más densas a áreas menos densas.
• Difusión del momento, por ejemplo, la difusión del campo de velocidad hidrodinámica.
• difusión de fotones
• difusión plasmática
• Paseo aleatorio , ^{[ 30 ]} modelo para la difusión
• Difusión inversa , en contra del gradiente de concentración, en la separación de fases.
• Difusión rotacional , reorientación aleatoria de moléculas
• Difusión de espín , difusión de momentos magnéticos de espín en sólidos
• Difusión superficial , difusión de partículas adsorbidas en una superficie.
• La taxis es la actividad de movimiento direccional de un animal en respuesta a un estímulo.
  • La cinesis es la actividad de movimiento no direccional de un animal en respuesta a un estímulo.
• Difusión transcultural , difusión de rasgos culturales a través de áreas geográficas.
• Difusión turbulenta , transporte de masa, calor o momento dentro de un fluido turbulento.