Función Digamma

En matemáticas , la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \psi (z)={\frac {d}{dz}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$

Es la primera de las funciones poligamma . Esta función es estrictamente creciente y estrictamente cóncava en${\displaystyle (0,\infty )}$, ^{[ 4 ]} y se comporta asintóticamente como ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},}$

para números complejos con módulo grande (${\displaystyle |z|\rightarrow \infty }$) en el sector${\displaystyle \left|\arg z\right|<\pi -\varepsilon }$para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$.

La función digamma se suele denotar como${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$o Ϝ ^{[ 6 ]} (la forma mayúscula de la letra griega arcaica digamma que significa doble gamma ).

La función gamma obedece la ecuación

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

Tomando el logaritmo en ambos lados y utilizando la propiedad de ecuación funcional de la función log-gamma se obtiene:

${\displaystyle \log \Gamma (z+1)=\log(z)+\log \Gamma (z),}$

Al derivar ambos lados con respecto a z se obtiene:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

Dado que los números armónicos se definen para enteros positivos n como

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

La función digamma está relacionada con ellos por

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma,}$

donde H ₀ = 0, y γ es la constante de Euler-Mascheroni . Para argumentos semi-enteros, la función digamma toma los valores

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}=-\gamma -2\ln 2+2H_{2n}-H_{n}.}$

Si la parte real de z es positiva, entonces la función digamma tiene la siguiente representación integral debida a Gauss: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

Combinando esta expresión con una identidad integral para la constante de Euler-Mascheroni${\displaystyle \gamma }$da:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

La integral es el número armónico de Euler.${\displaystyle H_{z}}$, por lo que la fórmula anterior también puede escribirse

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

Una consecuencia es la siguiente generalización de la relación de recurrencia:

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

Una representación integral debida a Dirichlet es: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

La representación integral de Gauss puede manipularse para dar el inicio de la expansión asintótica de${\displaystyle \psi }$. ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

Esta fórmula es también consecuencia de la primera integral de Binet para la función gamma. La integral puede reconocerse como una transformada de Laplace .

La segunda integral de Binet para la función gamma da una fórmula diferente para${\displaystyle \psi }$ which also gives the first few terms of the asymptotic expansion:^[9]

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

From the definition of ${\displaystyle \psi }$ and the integral representation of the gamma function, one obtains

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

with ${\displaystyle \Re z>0}$.^[10]

The function ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$ is an entire function,^[11] and it can be represented by the infinite product

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

Here ${\displaystyle x_{k}}$ is the kth zero of ${\displaystyle \psi }$ (see below), and ${\displaystyle \gamma }$ is the Euler–Mascheroni constant.

Note: This is also equal to ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ due to the definition of the digamma function: ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$.

Las funciones digamma y poligamma satisfacen fórmulas de reflexión similares a las de la función gamma :

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$.

${\displaystyle \psi '(-x)+\psi '(x)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$.

${\displaystyle \psi ''(-x)-\psi ''(x)={\frac {2\pi ^{3}\cot(\pi x)}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {2}{x^{3}}}}$.

La función digamma satisface la relación de recurrencia

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

Así, se puede decir que "telescopio" ⁠ 1 / x ⁠ , porque uno tiene

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

donde Δ es el operador de diferencia hacia adelante . Esto satisface la relación de recurrencia de una suma parcial de la serie armónica , lo que implica la fórmula

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

En realidad, ψ es la única solución de la ecuación funcional.

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

que es monótona en R ⁺ y satisface F (1) = − γ . Este hecho se deduce inmediatamente de la unicidad de la función Γ dada su ecuación de recurrencia y la restricción de convexidad . Esto implica la útil ecuación de diferencias:

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

Existen numerosas fórmulas de suma finita para la función digamma. Las fórmulas de suma básicas, como

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

se deben a Gauss. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Fórmulas más complicadas, como

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

se deben a obras de ciertos autores modernos (véase, por ejemplo, el Apéndice B en Blagouchine (2014) ^{[ 18 ]} ).

También tenemos ^{[ 19 ]}

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma -\ln k={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...}$

Para enteros positivos r y m ( r < m ), la función digamma puede expresarse en términos de la constante de Euler y un número finito de funciones elementales ^{[ 20 ] [ 21 ].}

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

lo cual se cumple, debido a su ecuación de recurrencia, para todos los argumentos racionales.

El teorema de la multiplicación de la${\displaystyle \Gamma }$-función es equivalente a ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \psi (nz)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\psi \left(z+{\frac {k}{n}}\right)+\ln n.}$

La función digamma tiene la expansión asintótica

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},}$

donde B _k es el k- ésimo número de Bernoulli y ζ es la función zeta de Riemann . Los primeros términos de esta expansión son:

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

Aunque la suma infinita no converge para ningún z , cualquier suma parcial finita se vuelve cada vez más precisa a medida que z aumenta.

La expansión se puede encontrar aplicando la fórmula de Euler-Maclaurin a la suma ^{[ 23 ].}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

La expansión también puede derivarse de la representación integral que proviene de la segunda fórmula integral de Binet para la función gamma.${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$Al tratar la serie geométrica y sustituirla por una representación integral de los números de Bernoulli, se obtiene la misma serie asintótica que la anterior. Además, al expandir solo un número finito de términos de la serie, se obtiene una fórmula con un término de error explícito:

${\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Cuando x > 0 , la función

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

es completamente monótona y, en particular, positiva. Esto es consecuencia del teorema de Bernstein sobre funciones monótonas aplicado a la representación integral derivada de la primera integral de Binet para la función gamma. Además, por la desigualdad de convexidad${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$, el integrando en esta representación está acotado superiormente por${\displaystyle e^{-tz}/2}$. Como consecuencia

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)}$

es también completamente monótona. De ello se deduce que, para todo x > 0 ,

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.}$

Esto recupera un teorema de Horst Alzer. ^{[ 24 ]} Alzer también demostró que, para s ∈ (0, 1) ,

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

Cotas relacionadas fueron obtenidas por Elezovic, Giordano y Pecaric, quienes demostraron que, para x > 0 ,

${\displaystyle \ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

dónde${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$es la constante de Euler-Mascheroni . ^{[ 25 ]} Las constantes (${\displaystyle 0.5}$y${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.56}$) que aparecen dentro de estos límites son los mejores posibles. ^{[ 26 ]}

El teorema del valor medio implica el siguiente análogo de la desigualdad de Gautschi : Si x > c , donde c ≈ 1,461 es la única raíz real positiva de la función digamma, y ​​si s > 0 , entonces

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

Además, la igualdad se cumple si y solo si s = 1. ^{[ 27 ]}

Inspirados por la desigualdad del valor medio armónico para la función gamma clásica, Horzt Alzer y Graham Jameson demostraron, entre otras cosas, una desigualdad del valor medio armónico para la función digamma:

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$para${\displaystyle x>0}$

La igualdad se cumple si y solo si${\displaystyle x=1}$. ^{[ 28 ]}

La expansión asintótica proporciona una manera sencilla de calcular ψ ( x ) cuando la parte real de x es grande. Para calcular ψ ( x ) para x pequeño , se utiliza la relación de recurrencia.

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

se puede utilizar para desplazar el valor de x a un valor más alto. Beal ^{[ 29 ]} sugiere utilizar la recurrencia anterior para desplazar x a un valor mayor que 6 y luego aplicar la expansión anterior con los términos por encima de x ¹⁴ truncados, lo que produce "precisión más que suficiente" (al menos 12 dígitos excepto cerca de los ceros).

Cuando x tiende a infinito, ψ ( x ) se acerca arbitrariamente tanto a ln( x − 1 / 2 ) como a ln x . Al descender de x + 1 a x , ψ disminuye en 1 / x , ln ( x − 1 / 2 ) disminuye en ln ( x + 1 / 2 ) / ( x − 1 / 2 ) , que es mayor que 1 / x , y ln x disminuye en ln(1 + 1 / x ) , que es menor que 1 / x . De esto vemos que para cualquier x positivo mayor que 1 / 2 ,

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

o, para cualquier x positivo ,

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

La función exponencial exp ψ ( x ) es aproximadamente x − 1 / 2 para valores grandes de x , pero se acerca a x para valores pequeños de x , aproximándose a 0 en x = 0 .

Para x < 1 , podemos calcular límites basándonos en el hecho de que entre 1 y 2, ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] , por lo que

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

o

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

A partir de la serie asintótica anterior para ψ , se puede derivar una serie asintótica para exp(− ψ ( x )) . La serie se ajusta bien al comportamiento general, es decir, se comporta asintóticamente como debería para argumentos grandes, y también tiene un cero de multiplicidad no acotada en el origen.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

Esto es similar a una expansión de Taylor de exp(− ψ (1 / y )) en y = 0 , pero no converge. ^{[ 30 ]} (La función no es analítica en el infinito.) Existe una serie similar para exp( ψ ( x )) que comienza con${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

Si se calcula la serie asintótica para ψ ( x +1/2), se observa que no existen potencias impares de x (no hay término x ⁻¹ ). Esto conduce al siguiente desarrollo asintótico, que evita el cálculo de términos de orden par.

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

Similar en espíritu a la aproximación de Lanczos de la${\displaystyle \Gamma }$La función es la aproximación de Spouge .

Otra alternativa es utilizar la relación de recurrencia o la fórmula de multiplicación para desplazar el argumento de${\displaystyle \psi (x)}$dentro del rango${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$y para evaluar la serie de Chebyshev allí. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

La función digamma tiene valores en forma cerrada para números racionales, como resultado del teorema digamma de Gauss . Algunos se enumeran a continuación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

Además, al tomar la derivada logarítmica de${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$o${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$dónde${\displaystyle b}$es de valor real, se puede deducir fácilmente que

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

Aparte del teorema digamma de Gauss, no se conoce ninguna fórmula cerrada similar para la parte real en general. Tenemos, por ejemplo, en la unidad imaginaria la aproximación numérica OEIS : A248177 

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

Las raíces de la función digamma son los puntos de silla de la función gamma de valor complejo. Por lo tanto, todas se encuentran sobre el eje real . La única que se encuentra sobre el eje real positivo es el único mínimo de la función gamma de valor real en R ⁺ en x ₀ =1.461 632 144 968 362 341 26 ... . Todos los demás ocurren individualmente entre los polos en el eje negativo:

x ₁ =−0,504 083 008 264 455 409 25 ...

x ₂ =−1,573 498 473 162 390 458 77 ...

x ₃ =−2.610 720 868 444 144 650 00 ...

x ₄ =−3,635 293 366 436 901 097 83 ...

${\displaystyle \vdots }$

Ya en 1881, Charles Hermite observó ^{[ 33 ]} que

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

se cumple asintóticamente. Una mejor aproximación de la ubicación de las raíces viene dada por

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

y utilizando otro término, se vuelve aún mejor.

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

que ambos surgen de la fórmula de reflexión a través de

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

y sustituyendo ψ ( x _n ) por su expansión asintótica no convergente. El segundo término correcto de esta expansión es 1 / 2 n , donde el dado funciona bien para aproximar raíces con n pequeño .

Se puede dar otra mejora de la fórmula de Hermite: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

En cuanto a los ceros, las siguientes identidades de suma infinita fueron demostradas recientemente por István Mező y Michael Hoffman ^{[ 11 ] [ 34 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

En general, la función

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

Se puede determinar y es estudiado en detalle por los autores citados.

Los siguientes resultados ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

También es cierto.

La función digamma aparece en la regularización de integrales divergentes.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

Esta integral puede aproximarse mediante una serie armónica general divergente, pero se puede adjuntar el siguiente valor a la serie.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

Muchas distribuciones de probabilidad importantes utilizan la función gamma en la definición de sus funciones de densidad o masa de probabilidad. En estadística, al realizar la estimación de máxima verosimilitud en modelos que involucran dichas distribuciones, la función digamma aparece de forma natural al calcular la derivada del logaritmo de la verosimilitud para hallar los máximos.

• Función poligamma
• Función trigamma
• Expansiones de Chebyshev de la función digamma en Wimp, Jet (1961). "Aproximaciones polinómicas a transformadas integrales" . Math. Comp . 15 (74): 174–178 . doi : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .