Número de reensamblaje de dígitos

En matemáticas , los números de reensamblaje de dígitos , o números de Osiris , son números que son iguales a la suma de permutaciones de submuestras de sus propios dígitos (compárese con el desmembramiento y reconstrucción del dios Osiris en la mitología egipcia ). Por ejemplo, 132 = 12 + 21 + 13 + 31 + 23 + 32. ^{[ 1 ]}

En base diez , los números de Osiris más pequeños son estos, con una longitud numérica de tres dígitos y un rango de dígitos de dos para las sumas permutadas:

132 = 12 + 21 + 13 + 31 + 23 + 32

264 = 24 + 42 + 26 + 62 + 46 + 64

396 = 36 + 63 + 39 + 93 + 69 + 96

Nótese que todos son múltiplos de 132. Un número de Osiris mayor en base diez es este, con una longitud numérica de cinco dígitos y un intervalo de tres dígitos para las sumas permutadas:

35964 = 345 + 354 + 435 + 453 + 534 + 543 + 346 + 364 + 436 + 463 + 634 + 643 + 349 + 394 + 439 + 493 + 934 + 943 + 356 + 365 + 536 + 563 + 635 + 653 + 359 + 395 + 539 + 593 + 935 + 953 + 369 + 396 + 639 + 693 + 936 + 963 + 456 + 465 + 546 + 564 + 645 + 654 + 459 + 495 + 549 + 594 + 945 + 954 + 469 + 496 + 649 + 694 + 946 + 964 + 569 + 596 + 659 + 695 + 956 + 965

Si el cero se trata como un dígito completo en todas las posiciones, entonces 207 en base diez es un número de Osiris máximo , siendo igual a la suma de todos los números distintos posibles formados a partir de submuestras permutadas de sus dígitos:

207 = 2 + 0 + 7 + 20 + 02 + 27 + 72 + 07 + 70

En otras bases , existen números de Osiris máximos que no contienen ceros. Por ejemplo:

253 ₉ = 2 + 3 + 5 + 23 + 32 + 25 + 52 + 35 + 53 (base = 9)

210 = 2 + 3 + 5 + 21 + 29 + 23 + 47 + 32 + 48 (base = 10)

276 ₁₃ = 2 + 6 + 7 + 26 + 62 + 27 + 72 + 67 + 76 (b=13)

435 = 2 + 6 + 7 + 32 + 80 + 33 + 93 + 85 + 97 (b=10)

DF53 ₁₇ = 3 + 5 + D + F + 35 + 53 + 3D + D3 + 3F + F3 + 5D + D5 + 5F + F5 + DF + FD + 35D + 3D5 + 53D + 5D3 + D35 + D53 + 35F + 3F5 + 53F + 5F3 + F35 + F53 + 3DF + 3FD + D3F + DF3 + F3D + FD3 + 5DF + 5FD + D5F + DF5 + F5D + FD5 (b=17)

68292 = 3 + 5 + 13 + 15 + 56 + 88 + 64 + 224 + 66 + 258 + 98 + 226 + 100 + 260 + 236 + 268 + 965 + 1093 + 1509 + 1669 + 3813 + 3845 + 967 + 1127 + 1511 + 1703 + 4391 + 4423 + 1103 + 1135 + 3823 + 4015 + 4399 + 4559 + 1681 + 1713 + 3857 + 4017 + 4433 + 4561 (b=10)

Utilizando la misma terminología, 132, 264 y 396 son números mínimos de Osiris , ya que son iguales a la suma de todos los números formados a partir de muestras permutadas de solo dos de sus dígitos. 35964 también es mínimo, pues es la suma de muestras de tres dígitos, pero 34658 es un número multimínimo de Osiris , pues es igual a la suma de todos los números formados a partir de muestras permutadas de uno o tres de sus dígitos.

34658 = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 345 + 354 + 435 + 453 + 534 + 543 + 346 + 364 + 436 + 463 + 634 + 643 + 348 + 384 + 438 + 483 + 834 + 843 + 356 + 365 + 536 + 563 + 635 + 653 + 358 + 385 + 538 + 583 + 835 + 853 + 368 + 386 + 638 + 683 + 836 + 863 + 456 + 465 + 546 + 564 + 645 + 654 + 458 + 485 + 548 + 584 + 845 + 854 + 468 + 486 + 648 + 684 + 846 + 864 + 568 + 586 + 658 + 685 + 856 + 865

Los números 30659 y 38657 son igualmente multiminimales, ya que utilizan muestras permutadas de uno y tres de sus dígitos.

La comprobación de los números de Osiris se simplifica cuando se observa que, por ejemplo, cada dígito de 132 aparece dos veces en la posición de las unidades y las decenas de las sumas:

132 = 12 + 21 + 13 + 31 + 23 + 32 = 2x11 + 2x22 + 2x33 = 22 + 44 + 66

La prueba se puede simplificar aún más:

132 = 2 x (11 + 22 + 33) = 2 x (1 + 2 + 3) x 11 = 2 x 6 x 11

Si solo se consideran números con dígitos distintos de cero, un número de tres dígitos en base diez puede tener una suma de dígitos que va desde 6 = 1+2+3 hasta 24 = 7+8+9. Si estas posibles sumas de dígitos se utilizan en la fórmula 2 x suma de dígitos x 11, la suma de dígitos del resultado determinará si se trata o no de un número de Osiris.

1. 2 x 6 x 11 = 132.

2. Suma de dígitos (132) = 1 + 2 + 3 = 6 .

3. Por lo tanto, 132 es un número de Osiris.

1. 2 x 7 x 11 = 154.

2. Suma de dígitos (154) = 1 + 5 + 4 = 10 .

3. Por lo tanto, 154 no es un número de Osiris.

En 35964, cada dígito aparece 12 veces en las posiciones de las unidades, las decenas y las centenas de las sumas:

35964 = 12x333 + 12x444 + 12x555 + 12x666 + 12x999 = 3996 + 5328 + 6660 + 7992 + 11988

35964 = 12 x (333 + 444 + 555 + 666 + 999) = 12 x (3 + 4 + 5 + 6 + 9) x 111 = 12 x 27 x 111

La prueba para otros números de Osiris de cinco dígitos de la misma forma (muestreando tres dígitos) utilizará sumas de dígitos potenciales entre 15 = 1+2+3+4+5 y 35 = 5+6+7+8+9. Cuando se prueba este rango de sumas de dígitos, solo 35964 devuelve la misma suma de dígitos que la utilizada en la fórmula. Estas pruebas simplificadas reducen considerablemente la tarea de encontrar números de Osiris grandes en una base particular. Por ejemplo, para probar por fuerza bruta si las muestras permutadas de seis dígitos de n = 332,639,667,360 son iguales a n implicaría sumar 665,280 números, donde 665,280 = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 12! / 6!. Sin embargo, debido a que cada dígito de n aparece 55440 veces en cada una de las seis posiciones posibles en las muestras, la prueba se reduce a esto:

1. Suma de dígitos ( 332,639,667,360 ) = 3+3+2+6+3+9+6+6+7+3+6+0 = 54

2. 55440 x 54 x 111,111 = 332,639,667,360

3. Por lo tanto, 332.639.667.360 es un número de Osiris.

• Suma de dígitos