Filtro digital

En el procesamiento de señales , un filtro digital es un sistema que realiza operaciones matemáticas sobre una señal discreta muestreada para reducir o realzar ciertos aspectos de dicha señal. Esto contrasta con el otro tipo principal de filtro electrónico , el filtro analógico , que suele ser un circuito electrónico que opera sobre señales analógicas de tiempo continuo .

Un sistema de filtrado digital generalmente consta de un convertidor analógico-digital (ADC) para muestrear la señal de entrada, seguido de un microprocesador y algunos componentes periféricos como memoria para almacenar datos y coeficientes de filtro, etc. Las instrucciones del programa (software) que se ejecutan en el microprocesador implementan el filtro digital realizando las operaciones matemáticas necesarias sobre los números recibidos del ADC. En algunas aplicaciones de alto rendimiento, se utiliza un FPGA o un ASIC en lugar de un microprocesador de propósito general, o un procesador de señal digital (DSP) especializado con una arquitectura paralela específica para acelerar operaciones como el filtrado. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Los filtros digitales pueden ser más caros que un filtro analógico equivalente debido a su mayor complejidad, pero hacen viables muchos diseños que resultan poco prácticos o imposibles con filtros analógicos. Los filtros digitales suelen ser de muy alto orden y a menudo son filtros de respuesta de impulso finita, lo que permite una respuesta de fase lineal . En el contexto de sistemas analógicos en tiempo real, los filtros digitales a veces presentan problemas de latencia (la diferencia de tiempo entre la entrada y la respuesta) debido a las conversiones analógicas-digitales y digitales-analógicas asociadas , los filtros anti-aliasing o a otros retrasos en su implementación.

Los filtros digitales son habituales y un elemento esencial de los dispositivos electrónicos cotidianos, como radios , teléfonos móviles y receptores AV .

Caracterización

Un filtro digital se caracteriza por su función de transferencia o, equivalentemente, por su ecuación de diferencias . El análisis matemático de la función de transferencia permite describir su respuesta ante cualquier entrada. Por lo tanto, el diseño de un filtro consiste en definir las especificaciones adecuadas para el problema (por ejemplo, un filtro paso bajo de segundo orden con una frecuencia de corte específica) y, posteriormente, generar una función de transferencia que cumpla con dichas especificaciones.

La función de transferencia para un filtro digital lineal e invariante en el tiempo se puede expresar como una función de transferencia en el dominio Z ; si es causal, entonces tiene la forma: ^{[ 3 ]}

H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots +b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots +a_{M}z^{-M}}}

donde el orden del filtro es el mayor de N o M. Consulte la ecuación LCCD de la transformada Z para obtener más información sobre esta función de transferencia.

Esta es la forma de un filtro recursivo , que normalmente conduce a un comportamiento de respuesta de impulso infinita (IIR), pero si el denominador se hace igual a la unidad , es decir, sin retroalimentación, entonces se convierte en un filtro de respuesta de impulso finita (FIR).

Técnicas de análisis

Se pueden emplear diversas técnicas matemáticas para analizar el comportamiento de un filtro digital determinado. Muchas de estas técnicas de análisis también se utilizan en el diseño y, a menudo, constituyen la base de las especificaciones del filtro.

Normalmente, los filtros se caracterizan calculando cómo responderán a una entrada simple, como un impulso. A partir de esta información, se puede calcular la respuesta del filtro a señales más complejas.

Respuesta impulsional

La respuesta impulsional , a menudo denominada $h[k]$ o $h_{k}$ , es una medida de cómo responderá un filtro a la función delta de Kronecker . ^{[ 4 ]} Por ejemplo, dada una ecuación de diferencias, se establecería $x_{0}=1$ y $x_{k}=0$ para $k\neq 0$ y evaluar. La respuesta impulsional es una caracterización del comportamiento del filtro. Los filtros digitales se suelen clasificar en dos categorías: respuesta impulsional infinita (IIR) y respuesta impulsional finita (FIR). En el caso de los filtros FIR lineales e invariantes en el tiempo, la respuesta impulsional es exactamente igual a la secuencia de coeficientes del filtro y, por lo tanto:

\ y_{n}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{nk}=\sum _{k=0}^{N}h_{k}x_{nk}

Por otro lado, los filtros IIR son recursivos, y su salida depende tanto de las entradas actuales como de las anteriores, así como de las salidas anteriores. La forma general de un filtro IIR es, por lo tanto:

\ \sum _{m=0}^{M}a_{m}y_{nm}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{nk}

La representación gráfica de la respuesta impulsional revela cómo responde un filtro a una perturbación repentina y momentánea. Un filtro IIR siempre es recursivo. Si bien es posible que un filtro recursivo tenga una respuesta impulsional finita, un filtro no recursivo siempre la tiene. Un ejemplo es el filtro de media móvil (MA), que puede implementarse tanto de forma recursiva como no recursiva.

ecuación de diferencias

En sistemas de tiempo discreto , el filtro digital se implementa a menudo convirtiendo la función de transferencia en una ecuación de diferencias lineal con coeficientes constantes (LCCD) mediante la transformada Z. La función de transferencia discreta en el dominio de la frecuencia se escribe como la razón de dos polinomios. Por ejemplo:

H(z)={\frac {(z+1)^{2}}{(z-{\frac {1}{2}})(z+{\frac {3}{4}})}}

Esto se amplía:

H(z)={\frac {z^{2}+2z+1}{z^{2}+{\frac {1}{4}}z-{\frac {3}{8}}}}

y para hacer que el filtro correspondiente sea causal , el numerador y el denominador se dividen por el orden más alto de $z$ :

H(z)={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}={\frac {Y(z)}{X(z)}}

Los coeficientes del denominador, $a_{k}$ , son los coeficientes de 'retroalimentación hacia atrás' y los coeficientes del numerador son los coeficientes de 'retroalimentación hacia adelante', $b_{k}$ La ecuación de diferencias lineal resultante es:

y[n]=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y[nk]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x[nk]

o, para el ejemplo anterior:

{\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}

Reorganizando términos:

\Rightarrow (1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2})Y(z)=(1+2z^{-1}+z^{-2})X(z)

Luego, aplicando la transformada Z inversa :

\Rightarrow y[n]+{\frac {1}{4}}y[n-1]-{\frac {3}{8}}y[n-2]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]

y finalmente, resolviendo para $y[n]$ :

y[n]=-{\frac {1}{4}}y[n-1]+{\frac {3}{8}}y[n-2]+x[n]+2x[n-1]+x[n-2]

Esta ecuación muestra cómo calcular la siguiente muestra de salida, $y[n]$ , en términos de los resultados pasados, $y[n-p]$ , la entrada actual, $x[n]$ y las entradas anteriores, $x[n-p]$ Aplicar el filtro a una entrada de este formato equivale a una realización de Forma Directa I o II (véase más abajo), dependiendo del orden exacto de evaluación.

En términos sencillos, por ejemplo, como lo usaría un programador informático que implementa la ecuación anterior en código, se puede describir de la siguiente manera:

$y$ = el valor de salida o filtrado $x$ = la entrada o valor bruto entrante $n$ = el número de muestra, el número de iteración o el número de período de tiempo

y por lo tanto:

$y[n]$ = el valor filtrado (de salida) actual $y[n-1]$ = el último valor filtrado (de salida) $y[n-2]$ = el penúltimo valor filtrado (de salida) $x[n]$ = el valor de entrada sin procesar actual $x[n-1]$ = el último valor de entrada sin procesar $x[n-2]$ = el penúltimo valor de entrada sin procesar

Diseño de filtros

Si bien los filtros son fáciles de entender y calcular, los desafíos prácticos de su diseño e implementación son significativos y son objeto de mucha investigación avanzada.

Existen dos categorías de filtros digitales: el filtro recursivo y el filtro no recursivo . Estos se conocen comúnmente como filtros IIR y filtros FIR, respectivamente. ^{[ 5 ]}

Realización del filtro

Una vez diseñado un filtro, debe implementarse mediante el desarrollo de un diagrama de flujo de señales que describa el filtro en términos de operaciones sobre secuencias de muestras.

Una función de transferencia dada puede realizarse de muchas maneras. Consideremos cómo una expresión simple como $ax+bx+c$ podría evaluarse – también se podría calcular el equivalente $x(a+b)+c$ De igual modo, todas las realizaciones pueden considerarse factorizaciones de la misma función de transferencia, pero cada una tendrá propiedades numéricas distintas. En concreto, algunas son más eficientes en cuanto al número de operaciones o elementos de almacenamiento necesarios para su implementación, mientras que otras ofrecen ventajas como una mayor estabilidad numérica y una reducción del error de redondeo . Algunas estructuras son más adecuadas para la aritmética de punto fijo y otras para la de punto flotante .

Forma directa I

Un método sencillo para la implementación de filtros IIR es la forma directa I , donde la ecuación de diferencias se evalúa directamente. Esta forma es práctica para filtros pequeños, pero puede resultar ineficiente e impráctica (numéricamente inestable) para diseños complejos. ^{[ 6 ]} En general, esta forma requiere 2N elementos de retardo (tanto para las señales de entrada como de salida) para un filtro de orden N.

Forma directa II

La forma directa alternativa II solo necesita N unidades de retardo, donde N es el orden del filtro, potencialmente la mitad que la forma directa I. Esta estructura se obtiene invirtiendo el orden de las secciones del numerador y el denominador de la forma directa I, ya que de hecho son dos sistemas lineales y se aplica la propiedad conmutativa. Entonces, se observará que hay dos columnas de retardos ( $z^{-1}$ ) que se conectan a la red central, y estas se pueden combinar ya que son redundantes, lo que da como resultado la implementación que se muestra a continuación.

La desventaja es que la forma directa II aumenta la posibilidad de desbordamiento aritmético para filtros de Q alto o resonancia. ^{[ 7 ]} Se ha demostrado que a medida que Q aumenta, el ruido de redondeo de ambas topologías de forma directa aumenta sin límites. ^{[ 8 ]} Esto se debe a que, conceptualmente, la señal se pasa primero a través de un filtro de polos (que normalmente aumenta la ganancia en las frecuencias de resonancia) antes de que el resultado se sature, luego se pasa a través de un filtro de ceros (que a menudo atenúa gran parte de lo que amplifica la mitad de polos).

Secciones de segundo orden en cascada

Una estrategia común consiste en implementar un filtro digital de orden superior (mayor que 2) como una serie en cascada de secciones biquadrátricas (o biquad ) de segundo orden ^{[ 9 ]} (véase filtro biquad digital ). La ventaja de esta estrategia es que el rango de coeficientes es limitado. La conexión en cascada de secciones de forma directa II da como resultado N elementos de retardo para filtros de orden N. La conexión en cascada de secciones de forma directa I da como resultado N + 2 elementos de retardo, ya que los elementos de retardo de la entrada de cualquier sección (excepto la primera) son redundantes con los elementos de retardo de la salida de la sección precedente.

Otras formas

Otras formas incluyen:

Transposición de la forma directa I y II
Subsecciones de orden inferior (típicamente de segundo orden) en serie/cascada
Subsecciones paralelas de orden inferior (típicas de segundo orden)
- Expansión continua de fracciones
Celosía y escalera
- Formas reticulares de uno, dos y tres múltiplos
- Formas de escalera normalizadas de tres y cuatro múltiplos
- Estructuras ARMA
Estructuras de espacio de estados:
- óptimo (en el sentido de mínimo ruido): $(N+1)^{2}$ parámetros
- óptimo por bloques y óptimo por secciones: $4N-1$ parámetros
- Entrada equilibrada con rotación de Givens : $4N-1$ parámetros ^{[ 10 ]}
Formas acopladas: Gold Rader (normal), Variable de estado (Chamberlin), Kingsbury, Variable de estado modificada, Zölzer, Zölzer modificada
Filtros digitales de onda (WDF) ^{[ 11 ]}
Agarwal–Burrus (1AB y 2AB)
Harris-Brooking
ND-TDL
Multifeedback
Formas inspiradas en la tecnología analógica, como los filtros de Sallen-key y de variables de estado.
matrices sistólicas

Comparación de filtros analógicos y digitales

Los filtros digitales no están sujetos a las tolerancias de los componentes, las variaciones de temperatura ni las no linealidades que complican enormemente el diseño de los filtros analógicos. Estos últimos constan de componentes electrónicos imperfectos, cuyos valores también pueden variar con la temperatura y sufrir deriva con el tiempo. A medida que aumenta el orden de un filtro analógico y, por lo tanto, el número de componentes, el efecto de los errores variables de los componentes se magnifica considerablemente. En los filtros digitales, los valores de los coeficientes se almacenan en la memoria del ordenador, lo que los hace mucho más estables y predecibles. ^{[ 12 ]}

Debido a que los coeficientes de los filtros digitales son definidos, se pueden utilizar para lograr diseños mucho más complejos y selectivos . En concreto, con los filtros digitales se puede conseguir una menor ondulación en la banda de paso, una transición más rápida y una mayor atenuación en la banda de rechazo que con los filtros analógicos. Incluso si el diseño se pudiera lograr con filtros analógicos, el coste de ingeniería para diseñar un filtro digital equivalente sería probablemente mucho menor. Además, es fácil modificar los coeficientes de un filtro digital para crear un filtro adaptativo o un filtro paramétrico controlable por el usuario. Si bien estas técnicas son posibles en un filtro analógico, resultan considerablemente más difíciles.

Los filtros digitales se pueden utilizar en el diseño de filtros de respuesta de impulso finito, que permiten obtener pendientes de atenuación extremadamente pronunciadas sin desfase. Los filtros analógicos que realizan la misma función suelen ser mucho más complejos, ya que requieren numerosos elementos de retardo.

Los filtros digitales dependen menos de los circuitos analógicos, lo que potencialmente permite una mejor relación señal-ruido . Un filtro digital introduce ruido en una señal durante el filtrado analógico de paso bajo, la conversión analógica-digital, la conversión digital-analógica y puede introducir ruido digital debido a la cuantización. En los filtros analógicos, cada componente es una fuente de ruido térmico (como el ruido de Johnson ), por lo que a medida que aumenta la complejidad del filtro, también aumenta el ruido.

Sin embargo, los filtros digitales introducen una latencia fundamental mayor en el sistema. En un filtro analógico, la latencia suele ser insignificante; estrictamente hablando, es el tiempo que tarda una señal eléctrica en propagarse a través del circuito del filtro. En los sistemas digitales, la latencia se introduce no solo por los elementos de retardo en la ruta de la señal digital, sino también por los convertidores analógico-digital y digital-analógico necesarios para que un sistema procese señales analógicas. Los filtros digitales también deben lidiar con la cuantización y los errores de redondeo.

Además, en casos muy sencillos o cuando las frecuencias y las pendientes del filtro son fijas, resulta más rentable utilizar un filtro analógico. La introducción de un filtro digital requiere una considerable cantidad de circuitos adicionales, como ya se mencionó, incluyendo dos filtros analógicos de paso bajo. Los filtros analógicos también consumen mucha menos energía que los digitales y, por lo tanto, son la única solución cuando los requisitos de potencia son estrictos.

Al diseñar un circuito eléctrico en una placa de circuito impreso (PCB), generalmente es más sencillo utilizar una solución digital, ya que las unidades de procesamiento se han optimizado considerablemente con el paso de los años. El mismo circuito, al utilizar componentes analógicos, requeriría mucho más espacio . Dos alternativas son los FPAA ^{[ 13 ]} y los ASIC , pero resultan costosos para pequeñas cantidades.

Tipos de filtros digitales

Existen diversas formas de caracterizar los filtros; por ejemplo:

Un filtro lineal es una transformación lineal de las muestras de entrada; los demás filtros son no lineales . Los filtros lineales satisfacen el principio de superposición , es decir, si una entrada es una combinación lineal ponderada de diferentes señales, la salida es una combinación lineal ponderada de manera similar de las señales de salida correspondientes.
Un filtro causal utiliza únicamente muestras anteriores de las señales de entrada o salida, mientras que un filtro no causal utiliza muestras de entrada futuras. Un filtro no causal generalmente se puede convertir en un filtro causal añadiéndole un retardo.
Un filtro invariante en el tiempo tiene propiedades constantes a lo largo del tiempo; otros filtros, como los filtros adaptativos, cambian con el tiempo.
Un filtro estable produce una salida que converge a un valor constante con el tiempo o permanece acotada dentro de un intervalo finito. Un filtro inestable puede producir una salida que crece sin límites, con una entrada acotada o incluso nula.
Un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) utiliza únicamente las señales de entrada, mientras que un filtro de respuesta de impulso infinito (IIR) utiliza tanto la señal de entrada como muestras anteriores de la señal de salida. Los filtros FIR son siempre estables, mientras que los filtros IIR pueden ser inestables.

Un filtro puede representarse mediante un diagrama de bloques , que luego puede utilizarse para derivar un algoritmo de procesamiento de muestras para implementar el filtro con instrucciones de hardware. Un filtro también puede describirse como una ecuación de diferencias , un conjunto de ceros y polos , o una respuesta impulsional o una respuesta escalón .

Algunos filtros digitales se basan en la transformada rápida de Fourier , un algoritmo matemático que extrae rápidamente el espectro de frecuencia de una señal, lo que permite manipularlo (por ejemplo, para crear filtros de paso de banda de muy alto orden) antes de convertir el espectro modificado de nuevo en una señal de serie temporal mediante una operación de transformada rápida de Fourier inversa. Estos filtros tienen un coste computacional de O(n log n), mientras que los filtros digitales convencionales suelen tener un coste de O(n² ⁾ .

Otra forma de filtro digital es la de un modelo de espacio de estados . Un filtro de espacio de estados muy utilizado es el filtro de Kalman, publicado por Rudolf Kálmán en 1960.

Los filtros lineales tradicionales suelen basarse en la atenuación. Como alternativa, se pueden diseñar filtros no lineales, incluidos los filtros de transferencia de energía ^{[ 14 ]} , que permiten al usuario mover la energía de forma controlada para que el ruido o los efectos no deseados se desplacen a nuevas bandas de frecuencia, ya sean más bajas o más altas, se distribuyan en un rango de frecuencias, se dividan o se enfoquen. Los filtros de transferencia de energía complementan los diseños de filtros tradicionales e introducen muchos más grados de libertad en el diseño de filtros. Los filtros digitales de transferencia de energía son relativamente fáciles de diseñar e implementar y aprovechan la dinámica no lineal.

Véase también

Referencias

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↑ Priya, P; Ashok, S (abril de 2018). "Diseño de filtro digital IIR utilizando Xilinx System Generator para implementación en FPGA". Conferencia Internacional de 2018 sobre Comunicación y Procesamiento de Señales (ICCSP) . págs. 0054–0057 . doi : 10.1109/ICCSP.2018.8524520 . ISBN 978-1-5386-3521-6. S2CID 53284942 .
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Lecturas adicionales

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Rabiner, LR ; McClellan, JH ; Parks, TW (abril de 1975). "Técnicas de diseño de filtros digitales FIR mediante aproximación ponderada de Chebyshev". Actas del IEEE . 63 (4): 595– 610. Bibcode : 1975IEEEP..63..595R . doi : 10.1109/PROC.1975.9794 . S2CID 12579115 .
Deczky, AG (octubre de 1972). "Síntesis de filtros digitales recursivos utilizando el criterio de error p mínimo". IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics . 20 (4): 257– 263. doi : 10.1109/TAU.1972.1162392 .

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[2] Priya, P; Ashok, S (abril de 2018). "Diseño de filtro digital IIR utilizando Xilinx System Generator para implementación en FPGA". Conferencia Internacional de 2018 sobre Comunicación y Procesamiento de Señales (ICCSP) . págs. 0054–0057 . doi : 10.1109/ICCSP.2018.8524520 . ISBN 978-1-5386-3521-6. S2CID 53284942 .

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