Teorema de duplicación de dimensión

En teoría de probabilidad , los teoremas de duplicación de dimensión son dos resultados sobre la dimensión de Hausdorff de una imagen de un movimiento browniano . En esencia, ambos enunciados dicen que la dimensión de un conjunto sometido a un movimiento browniano se duplica casi con toda seguridad . ${\estilo de visualización A}$

El primer resultado se debe a Henry P. McKean Jr. y, por lo tanto, se lo denomina teorema de McKean (1955). El segundo teorema es un refinamiento del resultado de McKean y se lo denomina teorema de Kaufman (1969), ya que fue demostrado por Robert Kaufman. ^{[1] [2]}

Para un movimiento browniano -dimensional y un conjunto definimos la imagen de bajo , es decir ${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización W(t)}$${\displaystyle A\subconjunto [0,\infty )}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización W}$

${\displaystyle W(A):=\{W(t):t\en A\}\subconjunto \mathbb {R} ^{d}.}$

Sea un movimiento browniano de dimensión . Sea , entonces ${\estilo de visualización W(t)}$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle A\subconjunto [0,\infty )}$

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A}$

${\estilo de visualización P}$-Casi seguro.

Sea un movimiento browniano de dimensión . Entonces , casi con seguridad, para cualquier conjunto , tenemos ${\estilo de visualización W(t)}$${\displaystyle d\geq 2}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle A\subconjunto [0,\infty )}$

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A.}$

La diferencia entre los teoremas es la siguiente: en el resultado de McKean, los conjuntos nulos , donde la afirmación no es verdadera, dependen de la elección de . El resultado de Kaufman, por otra parte, es verdadero para todas las elecciones de simultáneamente. Esto significa que el teorema de Kaufman también se puede aplicar a conjuntos aleatorios . ${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$

• Mörters, Peter; Peres, Yuval (2010). Movimiento browniano . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 279.
• Schilling, René L.; Partzsch, Lothar (2014). Movimiento browniano . De Gruyter. pag. 169.