Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

constante de Boltzmann

k B , k "},"label3":{"wt":"Value in [[joule]]s per [[kelvin]]"},"data3":{"wt":"{{val|1.380649|e=-23|u=J.K-1}} "},"label4":{"wt":"Value in [[electronvolt]]s per [[kelvin]]"},"dat...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

La constante de Boltzmann ( kB o k ) es el factor de proporcionalidad que relaciona la energía térmica relativa promedio de las partículas en un gas con la temperatura termodinámica del gas. [ 2 ] Aparece en las definiciones del kelvin (K) y la constante molar de los gases , en la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro y en la fórmula de la entropía de Boltzmann , y se utiliza para calcular el ruido térmico en las resistencias . La constante de Boltzmann tiene dimensiones de energía dividida por temperatura , al igual que la entropía y la capacidad calorífica . Recibe su nombre del científico austriaco Ludwig Boltzmann .

Como parte de la revisión de 2019 del SI , la constante de Boltzmann es una de las siete " constantes definitorias " que se han definido de manera que tengan valores decimales finitos exactos en unidades del SI. Se utilizan en varias combinaciones para definir las siete unidades base del SI. La constante de Boltzmann se define para ser exactamente1,380 649 × 10 −23 julios por kelvin, [ 1 ] con el efecto de definir la unidad SI kelvin.

Funciones de la constante de Boltzmann

Relaciones entre las leyes de Boyle , Charles , Gay-Lussac , Avogadro , combinada e ideal de los gases , con la constante de Boltzmann k= ⁠ R / N A ⁠ = ⁠ n R / N ⁠ (en cada ley, las propiedades encerradas en un círculo son variables y las propiedades que no están encerradas en un círculo se mantienen constantes)
Definición de la IUPAC

Constante de Boltzmann : La constante de Boltzmann, k , es una de las siete constantes fijas que definen el Sistema Internacional de Unidades, el SI, con k =1,380 649 × 10 −23  J K −1 . La constante de Boltzmann es una constante de proporcionalidad entre las cantidades temperatura (con unidad de kelvin) y energía (con unidad de julio). [ 3 ]

Macroscópicamente, la ley de los gases ideales establece que, para un gas ideal , el producto de la presión p y el volumen V es proporcional al producto de la cantidad de sustancia n y la temperatura absoluta T : pagV=norteRT,{\displaystyle pV=nRT,} donde R es la constante molar de los gases (8,314 462 618 153 24  J⋅K −1 ⋅ mol −1 ). [ 4 ] Introduciendo la constante de Boltzmann como la constante de los gases por molécula [ 5 ] k = R / N A ( donde N A es la constante de Avogadro ) se transforma la ley de los gases ideales en una forma alternativa: pagV=nortekT,{\displaystyle pV=NkT,} donde N es el número de moléculas de gas.

Papel en la equipartición de la energía

Dado un sistema termodinámico a una temperatura absoluta T , la energía térmica promedio transportada por cada grado de libertad microscópico en el sistema es ⁠ 1 / 2 ⁠ kT (es decir, aproximadamente 2,07 × 10 −21  J , o0,013 eV  , a temperatura ambiente). Esto generalmente solo es cierto para sistemas clásicos con un gran número de partículas .

En mecánica estadística clásica , se predice que este promedio se cumple exactamente para gases ideales homogéneos . Los gases ideales monoatómicos (los seis gases nobles) poseen tres grados de libertad por átomo, correspondientes a las tres direcciones espaciales. Según la equipartición de la energía, esto significa que hay una energía térmica de 3/2 kT por átomo . Esto concuerda muy bien con los datos experimentales. La energía térmica se puede utilizar para calcular la velocidad cuadrática media de los átomos, que resulta ser inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa atómica . Las velocidades cuadráticas medias encontradas a temperatura ambiente reflejan esto con precisión, oscilando entre 1370  m/s para el helio , hasta240  m/s para el xenón .

La teoría cinética proporciona la presión promedio p para un gas ideal como pag=13norteVmetrov2¯.{\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.}

Combinación con la ley de los gases ideales pagV=nortekT{\displaystyle pV=NkT} muestra que la energía cinética de traslación promedio es 12metrov2¯=32kT.{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.}

Considerando que el vector de velocidad de movimiento traslacional v tiene tres grados de libertad (uno para cada dimensión) , la energía promedio por grado de libertad es igual a un tercio de eso, es decir , 1/2 kT . 

La ecuación de los gases ideales también se cumple con precisión en los gases moleculares; sin embargo, la fórmula para la capacidad calorífica es más compleja, ya que las moléculas poseen grados de libertad internos adicionales, además de los tres grados de libertad para el movimiento de la molécula en su conjunto. Los gases diatómicos, por ejemplo, poseen un total de seis grados de libertad simples por molécula relacionados con el movimiento atómico (tres traslacionales, dos rotacionales y uno vibracional). A bajas temperaturas, no todos estos grados de libertad participan plenamente en la capacidad calorífica del gas, debido a las limitaciones cuánticas en la disponibilidad de estados excitados a la energía térmica relevante por molécula.

Papel en los factores de Boltzmann

En términos más generales, los sistemas en equilibrio a temperatura T tienen una probabilidad P i de ocupar un estado i con energía E ponderada por el factor de Boltzmann correspondiente : PAGi∝exp⁡(−mikT)Z,{\displaystyle P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},} donde Z es la función de partición . Nuevamente, es la cantidad de tipo energía kT la que adquiere una importancia central.

Las consecuencias de esto incluyen (además de los resultados para gases ideales mencionados anteriormente) la ecuación de Arrhenius en la cinética química .

Papel en la definición estadística de la entropía

Tumba de Boltzmann en el cementerio Zentralfriedhof de Viena, con busto y fórmula de la entropía.

En mecánica estadística, la entropía S de un sistema aislado en equilibrio termodinámico se define como el logaritmo natural de W , el número de estados microscópicos distintos disponibles para el sistema dadas las restricciones macroscópicas (como una energía total fija E ): S=kln⁡W.{\displaystyle S=k\,\ln W.}

Esta ecuación, que relaciona los detalles microscópicos, o microestados, del sistema (a través de W ) con su estado macroscópico (a través de la entropía S ), es la idea central de la mecánica estadística. Su importancia es tal que está inscrita en la lápida de Boltzmann.

La constante de proporcionalidad k sirve para igualar la entropía mecánica estadística a la entropía termodinámica clásica de Clausius : ΔS=∫dQT.{\displaystyle \Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.}

En su lugar, se podría elegir una entropía adimensional reescalada en términos microscópicos tal que S′=ln⁡W,ΔS′=∫dQkT.{\displaystyle {S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.}

Esta es una forma más natural y esta entropía reescalada se corresponde exactamente con la entropía de información de Shannon .

La energía característica kT es, por lo tanto, la energía necesaria para aumentar la entropía reescalada en un nat .

Voltaje térmico

En los semiconductores , la ecuación del diodo de Shockley —la relación entre el flujo de corriente eléctrica y el potencial electrostático a través de una unión p-n— depende de una tensión característica llamada tensión térmica , denotada por V T. La tensión térmica depende de la temperatura absoluta T como VT=kTq=RTF,{\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},} donde q es la magnitud de la carga eléctrica en el electrón con un valor1,602 176 634 × 10 −19  C . [ 6 ] Equivalentemente, VTT=kq≈8.617333262×10−5 V/K.{\displaystyle {V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .}

A temperatura ambiente de 300 K (27 °C; 80 °F) , V T es aproximadamente   25,85  mV , [ 7 ] [ 8 ] que se puede obtener sustituyendo los valores de la siguiente manera: VT=kTq=1.38×10−23 J⋅K−1×300 K1.6×10−19 do≃25,85 metroV{\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25,85\ \mathrm {mV} }

A la temperatura estándar de 298,15 K (25,00 °C; 77,00 °F) , es aproximadamente   25,69  mV . El voltaje térmico también es importante en plasmas y soluciones electrolíticas (por ejemplo, la ecuación de Nernst ); en ambos casos proporciona una medida de cuánto afecta la distribución espacial de electrones o iones a un límite mantenido a un voltaje fijo. [ 9 ] [ 10 ]

Historia

La constante de Boltzmann recibe su nombre de su descubridor austriaco del siglo XIX, Ludwig Boltzmann . Aunque Boltzmann vinculó por primera vez la entropía y la probabilidad en 1877, la relación nunca se expresó con una constante específica hasta que Max Planck introdujo por primera vez k y le dio un valor más preciso (1,346 × 10 −23  J/K , aproximadamente un 2,5 % menor que la cifra actual), en su derivación de la ley de radiación de cuerpo negro en 1900–1901. [ 11 ] Antes de 1900, las ecuaciones que involucraban factores de Boltzmann no se escribían usando las energías por molécula y la constante de Boltzmann, sino más bien usando una forma de la constante de los gases R , y energías macroscópicas para cantidades macroscópicas de la sustancia. La icónica forma concisa de la ecuación S = k ln W en la lápida de Boltzmann se debe en realidad a Planck, no a Boltzmann. Planck la introdujo en el mismo trabajo que su homónimo h . [ 12 ]

En 1920, Planck escribió en su discurso de aceptación del Premio Nobel : [ 13 ]

A esta constante se la suele denominar constante de Boltzmann, aunque, que yo sepa, el propio Boltzmann nunca la introdujo; una situación peculiar que puede explicarse por el hecho de que Boltzmann, como se desprende de sus declaraciones ocasionales, nunca pensó en la posibilidad de realizar una medición exacta de dicha constante.

Esta "situación peculiar" se ilustra con una referencia a uno de los grandes debates científicos de la época. En la segunda mitad del siglo XIX, existía un desacuerdo considerable sobre si los átomos y las moléculas eran reales o si simplemente constituían una herramienta heurística para resolver problemas. No había consenso sobre si las moléculas químicas , medidas por sus pesos atómicos , eran iguales a las moléculas físicas , medidas por la teoría cinética . La conferencia de Planck de 1920 continuó: [ 13 ]

Nada ilustra mejor el ritmo vertiginoso y positivo de los progresos que ha experimentado el arte de la experimentación en los últimos veinte años, que el hecho de que, desde entonces, no solo se ha descubierto un método, sino un gran número de métodos para medir la masa de una molécula con prácticamente la misma precisión que la alcanzada para un planeta.

En las versiones del SI anteriores a la revisión de 2019 , la constante de Boltzmann era una magnitud medida en lugar de tener un valor numérico fijo. Su definición exacta también varió a lo largo de los años debido a las redefiniciones del kelvin (véase Kelvin §  Historia ) y otras unidades base del SI (véase Joule §  Historia ).

En 2017, las mediciones más precisas de la constante de Boltzmann se obtuvieron mediante termometría acústica de gases, que determina la velocidad del sonido de un gas monoatómico en una cámara elipsoidal triaxial utilizando resonancias acústicas y de microondas. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] Este esfuerzo de una década fue emprendido con diferentes técnicas por varios laboratorios; [ a ] ​​es una de las piedras angulares de la revisión del SI. Con base en estas mediciones, el valor deSe recomendó 1,380 649 × 10 −23  J/K como valor fijo final de la constante de Boltzmann que se utilizaría para la revisión de 2019 del SI. [ 17 ]

Como condición previa para redefinir la constante de Boltzmann, debe existir un valor experimental con una incertidumbre relativa inferior a 1 ppm y al menos una medición de una segunda técnica con una incertidumbre relativa inferior a 3  ppm. La termometría acústica de gases alcanzó 0,2  ppm y la termometría de ruido de Johnson alcanzó 2,8  ppm. [ 18 ]

Valor en diferentes unidades

Dado que k es una constante de proporcionalidad entre la temperatura y la energía, su valor numérico depende de la elección de unidades para la energía y la temperatura. El pequeño valor numérico de la constante de Boltzmann en unidades del SI significa que un cambio de temperatura de 1  K cambia la energía de una partícula en una cantidad pequeña. Un cambio de1 °C  se define como lo mismo que un cambio de1  K . La energía característica kT es un término que se encuentra en muchas relaciones físicas.

La constante de Boltzmann establece una relación entre la longitud de onda y la temperatura (dividiendo hc / k por una longitud de onda se obtiene una temperatura) con1000 nm  estando relacionado con14 387 .777  K , y también una relación entre voltaje y temperatura, donde un voltio corresponde a11 604 .518  K .

unidades naturales

La constante de Boltzmann proporciona una correspondencia entre la energía microscópica característica E y la escala de temperatura macroscópica T = ⁠ E / k ⁠ . En física fundamental, esta correspondencia se simplifica a menudo utilizando las unidades naturales de establecer k a la unidad. Esta convención significa que las cantidades de temperatura y energía tienen las mismas dimensiones . [ 22 ] [ 23 ] En particular, la unidad SI kelvin se vuelve superflua, al definirse en términos de julios como 1 K =1,380 649 × 10 −23  J . [ 24 ] Con esta convención, la temperatura siempre se da en unidades de energía, y la constante de Boltzmann no se necesita explícitamente en las fórmulas. [ 22 ]

Esta convención simplifica muchas relaciones y fórmulas físicas. Por ejemplo, la fórmula de equipartición para la energía asociada a cada grado de libertad clásico se convierte en: midoF=12T{\displaystyle E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T}

Como otro ejemplo, la definición de entropía termodinámica coincide con la forma de la entropía de la información : S=−∑iPAGiln⁡PAGi.{\displaystyle S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.} donde P i es la probabilidad de cada microestado . Si se supone que cada microestado es igualmente probable y W es el número de microestados, entonces la fórmula de entropía de Boltzmann se convierte en:S=ln⁡W{\displaystyle S=\ln W}

Véase también

Notas

  1. ↑ Técnicas independientes utilizadas: termometría acústica de gases, termometría de gases con constante dieléctrica, termometría de ruido de Johnson . Laboratorios participantes citados por CODATA en 2017: LNE - Cnam (Francia), NPL (Reino Unido), INRIM (Italia), PTB (Alemania), NIST (EE. UU.), NIM (China).

Referencias

  1. 1 2 3 Newell, David B.; Tiesinga, Eite (2019). El Sistema Internacional de Unidades (SI) . Publicación especial 330 del NIST. Gaithersburg, Maryland: Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . doi : 10.6028/nist.sp.330-2019 . S2CID 242934226 . {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda )
  2. ↑ Feynman, Richard (1970). The Feynman Lectures on Physics Vol I. Addison Wesley Longman. ISBN 978-0-201-02115-8.
  3. ↑ "Constante de Boltzmann" . Libro de Oro . IUPAC. 2020. doi : 10.1351/goldbook.B00695 . Consultado el 1 de abril de 2024 .
  4. ↑ "Actas de la 106.ª reunión" (PDF) . 16-20 de octubre de 2017.
  5. ↑ Petrucci, Ralph H.; Harwood, William S.; Herring, F. Geoffrey (2002). Química general: principios y aplicaciones modernas (8.ª ed.). Prentice Hall. pág. 785. ISBN   0-13-014329-4.
  6. ↑ "Valor CODATA 2022: carga elemental" . Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
  7. ↑ Rashid, Muhammad H. (2016). Circuitos microelectrónicos: análisis y diseño (3.ª ed.). Cengage Learning. pp. 183–184 . ISBN   9781305635166.
  8. ↑ Cataldo, Enrico; Di Lieto, Alberto; Maccarrone, Francesco; Paffuti, Giampiero (18 de agosto de 2016). "Mediciones y análisis de la característica corriente-tensión de un diodo pn para un laboratorio de física de pregrado". arXiv : 1608.05638v1 [ physics.ed-ph ].
  9. ↑ Kirby, Brian J. (2009). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: Transporte en dispositivos microfluídicos (PDF) . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
  10. ↑ Tabeling, Patrick (2006). Introducción a la microfluídica . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856864-3.
  11. ^ Planck, Max (1901). "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum" . Annalen der Physik . 309 (3): 553– 63. Bibcode : 1901AnP...309..553P . doi : 10.1002/andp.19013090310 .Español: «Sobre la ley de distribución de la energía en el espectro normal» . Archivado del original el 17 de diciembre de 2008.
  12. ↑ Gearhart, Clayton A. (2002). "Planck, el cuanto y los historiadores" . Física en perspectiva . 4 (2): 177. Bibcode : 2002PhP.....4..170G . doi : 10.1007/s00016-002-8363-7 . ISSN 1422-6944 . S2CID 26918826 .  
  13. 1 2 Planck, Max (2 de junio de 1920). "Génesis y estado actual del desarrollo de la teoría cuántica" . Conferencias Nobel, Física 1901-1921 . Elsevier Publishing Company, Ámsterdam (publicado en 1967).
  14. ↑ Pitre, L; Sparasci, F; Risegari, L; Guianvarc'h, C; Martin, C; Himbert, ME; Plimmer, MD; Allard, A; Marty, B; Giuliano Albo, PA; Gao, B; Moldover, MR; Mehl, JB (1 de diciembre de 2017). "Nueva medición de la constante de Boltzmann mediante termometría acústica del gas helio-4" (PDF) . Metrologia . 54 (6): 856– 873. Bibcode : 2017Metro..54..856P . doi : 10.1088/1681-7575/aa7bf5 . hdl : 11696/57295 . S2CID 53680647. Archivado del original (PDF) el 5 de marzo de 2019. 
  15. ↑ de Podesta, Michael; Mark, Darren F; Dymock, Ross C; Underwood, Robin; Bacquart, Thomas; Sutton, Gavin; Davidson, Stuart; Machin, Graham (1 de octubre de 2017). "Reestimación de las relaciones isotópicas del argón que conducen a una estimación revisada de la constante de Boltzmann" (PDF) . Metrologia . 54 (5): 683– 692. Bibcode : 2017Metro..54..683D . doi : 10.1088/1681-7575/aa7880 . S2CID 125912713 . 
  16. ^ Fischer, J; Fellmuth, B; Gaiser, C; Zandt, T; Pitre, L; Sparasci, F; Plimmer, MD; de Podestá, M; Underwood, R; Sutton, G; Machín, G; Gavioso, RM; Ripa, D Madonna; Steur, PPM; Qu, J (2018). "El proyecto Boltzmann" . Metrología . 55 (2): 10.1088/1681–7575/aaa790. Código Bib : 2018Metro..55R...1F . doi : 10.1088/1681-7575/aaa790 . ISSN 0026-1394 . PMC 6508687 . PMID 31080297 .   
  17. ^ Newell, DB; Cabiati, F.; Fischer, J.; Fujii, K.; Karshenboim, SG; Margolis, HS; Mirandés, E. de; Mohr, PJ; Núñez, F. (2018). «Los valores CODATA 2017 de h , e , k y N A para la revisión del SI» . Metrología . 55 (1): L13. Código Bib : 2018Metro..55L..13N . doi : 10.1088/1681-7575/aa950a . ISSN 0026-1394 . 
  18. ↑ "La 'termometría de ruido' del NIST proporciona nuevas mediciones precisas de la constante de Boltzmann" . NIST . 29 de junio de 2017.
  19. ↑ "Valor CODATA 2022: constante de Boltzmann" . Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
  20. ↑ "Valor CODATA: relación kelvin-electronvoltio" .
  21. ↑ "Valor CODATA: relación kelvin-kilogramo" .
  22. 1 2 Kalinin, M.; Kononogov, S. (2005). "La constante de Boltzmann, el significado energético de la temperatura y la irreversibilidad termodinámica". Measurement Techniques . 48 (7): 632– 636. Bibcode : 2005MeasT..48..632K . doi : 10.1007/s11018-005-0195-9 . S2CID 118726162 . 
  23. ↑ Kittel, Charles; Kroemer, Herbert (1980). Física térmica (2.ª ed.). San Francisco: WH Freeman. pág. 41. ISBN   0716710889Preferimos utilizar una escala de temperatura más natural... la temperatura fundamental tiene unidades de energía .
  24. ↑ Mohr, Peter J.; Shirley, Eric L.; Phillips, William D.; Trott, Michael (1 de octubre de 2022). "Sobre la dimensión de los ángulos y sus unidades" . Metrologia . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Bibcode : 2022Metro..59e3001M . doi : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 . La comunidad científica podría haber decidido tener un sistema de unidades en el que la temperatura se mida en julios, pero nos resulta más conveniente medir la temperatura en kelvins.
  • Borrador del Capítulo 2 del Folleto del SI, tras la redefinición de las unidades básicas (preparado por el Comité Consultivo de Unidades).
  • Un gran paso hacia la redefinición del kelvin: los científicos encuentran una nueva forma de determinar la constante de Boltzmann.